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皇家第二次機會

介紹

我第一次聽到「2nd Chance Royal」是在2006年，當時遊戲的發明者找到我，邀請我來做遊戲的數學分析。之後的某個時候，他們與IGT合作推廣這款遊戲。四年零兩個月後，它在拉斯維加斯的聖達菲站（Santa Fe Station）首次亮相。這應該能讓其他遊戲發明者了解，一款遊戲要花多久時間才能進入賭場（如果他們夠幸運的話）。

「第二次機會皇家」的重點在於，如果玩家下注最多 5 個硬幣，並且在開獎後獲得 4 個皇家符號，那麼他就可以進行第二次開獎。這是免費的——無需額外下注。當然，在拉斯維加斯，沒有真正免費的東西，所以賭場可能會稍微降低賠付表來支付這項功能。玩家將獲得第一次和第二次開獎的所有獎金。但是，第二次開獎的皇家符號的賠付是玩家下注金額的 200 倍，而不是通常的 800 倍。

策略

抱歉，說到策略，你只能靠自己了。 「第二次機會」功能的價值約為1.5%，所以玩家顯然應該更傾向於選擇皇家牌，而不是傳統的視訊撲克。

返回

我很高興地報告，我2006年的數學計算結果與IGT數學家的計算結果完全一致。下表由IGT友情提供，展示了所有可用遊戲和賠付表的預期回報（假設採用最優策略）。 2006年，我分析了其中六個。

第二次機會皇家回歸總結

遊戲返回
JACKS OR BETTER 撲克 - 8/6 99.96%
JACKS OR BETTER 撲克 - 8/5 98.82%
JACKS OR BETTER 撲克 - 7/5 97.67%
JACKS OR BETTER 撲克 - 6/5 96.52%
紅利撲克 - 7/5 99.51%
獎金撲克 - 6/5 98.37%
雙倍紅利撲克 - 9/6/5 99.37%
雙倍紅利撲克 - 9/6/4 97.95%
雙倍獎金撲克 - 8/5 95.69%
雙倍雙倍獎金撲克 - 9/5 99.37%
雙倍雙倍獎金撲克 - 8/5 98.28%
雙倍雙倍獎金撲克 - 7/5 97.22%
雙倍雙倍獎金撲克 - 6/5 96.17%
雙鬼牌撲克 - 20/12/10/4/4/3 99.06%
雙鬼牌撲克 - 20/12/9/4/4/3 98.54%
雙鬼牌撲克 - 25/16/13/4/3/2 98.31%
雙鬼牌撲克 - 20/10/8/4/4/3 97.46%
雙鬼牌撲克 - 25/15/10/4/3/2 96.38%
豪華獎金撲克 - 8/6 100.08%
豪華獎金撲克 - 8/5 98.90%
豪華獎金撲克 - 7/5 97.77%
豪華獎金撲克 - 6/5 96.88%
超級王牌獎金撲克 - 6/5 99.30%
超級雙倍獎金撲克 - 7/5 100.08%
超級雙倍獎金撲克 - 6/5 99.17%
三倍獎金撲克 - 9/6 99.70%
三倍獎金撲克 - 9/5 98.53%
三倍獎金撲克 - 8/5 97.48%
三倍獎金撲克 - 7/5 96.43%
DEUCES WILD 紅利撲克 - 10/4/3/3 99.07%
DEUCES WILD 紅利撲克 - 12/4/3/2 97.84%
DEUCES WILD 紅利撲克 - 10/4/3/2 96.97%

以下是聖塔菲加油站 25 美分和 1 美元面值的賠付表。賠付最高的是 1 美元面值的 9-6 三倍獎金。

25 分聖達菲車站付款表

遊戲賠率表返回
紅利撲克豪華版7-5 97.77%
紅利撲克6-5 98.37%
獎金 Deuces 25-12-4-3-2 97.84%
兩局狂野25-16-13-4-3-2 98.31%
雙倍獎金9-6-4 97.95%
雙倍雙倍獎金8-5 98.28%
超級雙倍獎金6-5 99.17%
三倍雙倍獎金9-5 98.53%

聖塔菲車站 1 美元付款表

遊戲賠率表返回
紅利撲克豪華版8-5 98.90%
紅利撲克7-5 99.51%
獎金 Deuces 25-10-4-3-3 99.07%
兩局狂野20-12-10-4-4-3-2 99.06%
雙倍獎金9-6-4 97.95%
雙倍雙倍獎金9-5 99.37%
超級雙倍獎金6-5 99.17%
三倍雙倍獎金9-6 99.70%

以下六張是我在2006年做的迴歸表。上面幾行是第一次抽牌後拿到四張大王的牌型。 「事件」指的是玩家第一次和第二次抽牌時分別拿到的牌。例如，如果玩家第一次抽牌後拿到2h Th Jh Qh Kh，第二次抽牌後拿到Ks Th Jh Qh Kh，那麼事件會被標記為「同花 -> 對子」。下面幾行是玩家第一次抽牌後沒有拿到四張大王的牌型。

7-5 J 或更好 — 第二次機會皇家

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 714,320,808 0.000000 0.000107
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗55 4,861,484,064 0.000003 0.000160
St 同花 -> 順子54 4,102,696,740 0.000002 0.000132
St 同花->對子51 6,259,051,032 0.000004 0.000191
St flush->無50 16,349,344,572 0.000010 0.000488
同花 -> 皇家205 16,822,740,960 0.000010 0.002060
沖洗 -> Str 沖洗55 2,870,195,688 0.000002 0.000094
沖洗 ->沖洗10 109,706,174,952 0.000066 0.000655
同花 -> 順子9 56,284,754,832 0.000034 0.000303
同花 -> 對子6 156,852,688,692 0.000094 0.000562
刷新->無5 409,556,271,564 0.000245 0.001223
順子->皇家204 8,144,383,692 0.000005 0.000992
順子->Str 同花54 2,526,112,752 0.000002 0.000081
順子->同花9 59,511,381,732 0.000036 0.000320
直行->直行8 22,806,715,944 0.000014 0.000109
順子->對子5 74,815,496,388 0.000045 0.000223
直行->無4 195,514,505,412 0.000117 0.000467
對子 -> 皇家201 24,401,319,480 0.000015 0.002929
對子 -> Str 同花51 4,354,973,892 0.000003 0.000133
對子 -> 同花6 182,197,551,480 0.000109 0.000653
對子 -> 順子5 82,623,134,268 0.000049 0.000247
對 -> 對2 209,171,193,168 0.000125 0.000250
配對->無1 590,728,815,504 0.000353 0.000353
無 ->皇家200 53,595,021,636 0.000032 0.006402
無 ->Str 刷新50 9,579,586,080 0.000006 0.000286
無 -> 刷新5 400,318,657,416 0.000239 0.001195
無 -> 直4 180,484,232,028 0.000108 0.000431
無 -> 配對1 496,813,605,192 0.000297 0.000297
無 -> 無0 1,255,382,291,808 0.000750 0.000000
皇家同花順800 50,974,846,272 0.000030 0.024355
同花順50 148,341,682,944 0.000089 0.004430
四條二十五3,934,692,381,312 0.002350 0.058748
客滿7 19,205,184,535,488 0.011470 0.080290
沖洗5 17,966,298,283,920 0.010730 0.053650
直的4 18,444,057,812,208 0.011015 0.044062
三條3 123,903,222,310,224 0.073999 0.221997
兩對2 215,599,195,914,480 0.128763 0.257525
一對1 352,111,195,951,200 0.210292 0.210292
不付牌0 918,390,851,024,976 0.548492 0.000000
全部的0 1,674,391,363,444,800 1.000000 0.976691

6-5 紅利撲克 — 第二次機會皇家

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 714,803,808 0.000000 0.000107
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗55 4,865,017,776 0.000003 0.000160
St 同花 -> 順子54 4,105,110,732 0.000002 0.000132
St 同花->對子51 6,262,914,024 0.000004 0.000191
St flush->無50 16,360,939,596 0.000010 0.000489
同花 -> 皇家205 16,827,666,384 0.000010 0.002060
沖洗 -> Str 沖洗55 2,869,120,488 0.000002 0.000094
沖洗 ->沖洗10 109,744,994,040 0.000066 0.000655
同花 -> 順子9 56,294,928,744 0.000034 0.000303
同花 -> 對子6 156,899,699,460 0.000094 0.000562
刷新->無5 409,671,317,124 0.000245 0.001223
順子->皇家204 8,145,000,840 0.000005 0.000992
順子->Str 同花54 2,525,763,984 0.000002 0.000081
順子->同花9 59,518,046,628 0.000036 0.000320
直行->直行8 22,806,939,720 0.000014 0.000109
順子->對子5 74,822,403,708 0.000045 0.000223
直行->無4 195,526,360,752 0.000117 0.000467
對子 -> 皇家201 24,405,334,848 0.000015 0.002930
對子 -> Str 同花51 4,352,967,972 0.000003 0.000133
對子 -> 同花6 182,234,779,944 0.000109 0.000653
對子 -> 順子5 82,628,421,732 0.000049 0.000247
對 -> 對2 209,206,496,856 0.000125 0.000250
配對->無1 590,822,102,376 0.000353 0.000353
無 ->皇家200 53,604,894,744 0.000032 0.006403
無 ->Str 刷新50 9,575,924,016 0.000006 0.000286
無 -> 刷新5 400,413,678,048 0.000239 0.001196
無 -> 直4 180,500,942,400 0.000108 0.000431
無 -> 配對1 496,908,758,880 0.000297 0.000297
無 -> 無0 1,255,595,961,096 0.000750 0.000000
皇家同花順800 50,979,917,520 0.000030 0.024357
同花順50 147,300,776,784 0.000088 0.004399
四A 80 329,176,528,128 0.000197 0.015728
四 2-4 40 882,720,584,928 0.000527 0.021088
四個5公里二十五2,730,865,834,368 0.001631 0.040774
客滿6 19,032,059,150,496 0.011367 0.068199
沖洗5 17,947,143,920,160 0.010719 0.053593
直的4 18,431,099,993,376 0.011008 0.044031
三條3 124,077,856,066,416 0.074103 0.222310
兩對2 215,613,096,595,344 0.128771 0.257542
一對352,229,647,908,096 0.210363 0.210363
不付牌918,281,204,878,464 0.548427 0.000000
0 1,674,391,363,444,800 1.000000 0.983730

7-5 紅利撲克 — 第二次機會皇家

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 714,180,192 0.000000 0.000107
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗55 4,860,650,448 0.000003 0.000160
St 同花 -> 順子54 4,102,002,732 0.000002 0.000132
St 同花->對子51 6,257,937,192 0.000004 0.000191
St flush->無50 16,345,928,460 0.000010 0.000488
同花 -> 皇家205 16,827,672,096 0.000010 0.002060
沖洗 -> Str 沖洗55 2,869,203,144 0.000002 0.000094
沖洗 ->沖洗10 109,743,986,712 0.000066 0.000655
同花 -> 順子9 56,296,054,344 0.000034 0.000303
同花 -> 對子6 156,899,731,716 0.000094 0.000562
刷新->無5 409,669,691,220 0.000245 0.001223
順子->皇家204 8,146,414,056 0.000005 0.000993
順子->Str 同花54 2,525,834,544 0.000002 0.000081
順子->同花9 59,528,795,940 0.000036 0.000320
直行->直行8 22,810,298,376 0.000014 0.000109
順子->對子5 74,835,033,948 0.000045 0.000223
直行->無4 195,560,120,688 0.000117 0.000467
對子 -> 皇家201 24,409,387,008 0.000015 0.002930
對子 -> Str 同花51 4,353,883,236 0.000003 0.000133
對子 -> 同花6 182,265,036,072 0.000109 0.000653
對子 -> 順子5 82,643,565,924 0.000049 0.000247
對 -> 對2 209,241,603,480 0.000125 0.000250
配對->無1 590,914,685,160 0.000353 0.000353
無 ->皇家200 53,609,203,944 0.000032 0.006403
無 ->Str 刷新50 9,576,169,968 0.000006 0.000286
無 -> 刷新5 400,444,473,456 0.000239 0.001196
無 -> 直4 180,515,306,400 0.000108 0.000431
無 -> 配對1 496,947,127,392 0.000297 0.000297
無 -> 無0 1,255,696,424,424 0.000750 0.000000
皇家同花順800 50,982,344,784 0.000030 0.024359
同花順50 146,615,161,392 0.000088 0.004378
四A 80 321,281,505,216 0.000192 0.015350
四 2-4 40 882,721,798,560 0.000527 0.021088
四個5公里二十五2,730,929,289,984 0.001631 0.040775
客滿7 19,206,597,463,200 0.011471 0.080296
沖洗5 17,931,593,479,968 0.010709 0.053547
直的4 18,423,450,124,128 0.011003 0.044012
三條3 123,915,851,971,632 0.074007 0.222020
兩對2 215,621,230,877,136 0.128776 0.257552
一對1 352,335,346,586,496 0.210426 0.210426
不付牌0 918,186,152,440,032 0.548370 0.000000
全部的1,674,391,363,444,800 1.000000 0.995149

7-5 Bonus Poker Deluxe — 第二次機會皇家

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 747,271,788 0.000000 0.000112
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗55 5,096,461,080 0.000003 0.000167
St 同花 -> 順子54 4,304,213,796 0.000003 0.000139
St 同花->對子51 6,546,204,204 0.000004 0.000199
St flush->無50 17,083,472,508 0.000010 0.000510
同花 -> 皇家205 16,908,482,220 0.000010 0.002070
沖洗 -> Str 沖洗55 2,880,130,656 0.000002 0.000095
沖洗 ->沖洗10 110,445,021,144 0.000066 0.000660
同花 -> 順子9 56,599,312,632 0.000034 0.000304
同花 -> 對子6 157,484,976,240 0.000094 0.000564
刷新->無5 411,884,915,940 0.000246 0.001230
順子->皇家204 8,111,467,848 0.000005 0.000988
順子->Str 同花54 2,518,077,696 0.000002 0.000081
順子->同花9 59,340,646,500 0.000035 0.000319
直行->直行8 22,715,385,312 0.000014 0.000109
順子->對子5 74,417,791,104 0.000044 0.000222
直行->無4 194,894,605,332 0.000116 0.000466
對子 -> 皇家201 24,633,332,856 0.000015 0.002957
對子 -> Str 同花51 4,413,612,960 0.000003 0.000134
對子 -> 同花6 184,121,115,252 0.000110 0.000660
對子 -> 順子5 83,557,337,688 0.000050 0.000250
對 -> 對2 210,999,016,272 0.000126 0.000252
配對->無1 596,981,959,884 0.000357 0.000357
無 ->皇家200 53,504,847,336 0.000032 0.006391
無 ->Str 刷新50 9,561,348,864 0.000006 0.000286
無 -> 刷新5 400,152,291,120 0.000239 0.001195
無 -> 直4 180,361,028,484 0.000108 0.000431
無 -> 配對1 495,285,250,140 0.000296 0.000296
無 -> 無0 1,254,128,344,872 0.000749 0.000000
皇家同花順800 51,147,204,192 0.000031 0.024437
同花順50 150,843,716,352 0.000090 0.004504
四條80 4,041,340,553,376 0.002414 0.193089
客滿7 16,076,668,888,224 0.009602 0.067211
沖洗5 18,046,806,856,848 0.010778 0.053891
直的4 21,115,325,908,656 0.012611 0.050443
三條3 127,897,042,056,336 0.076384 0.229153
兩對1 182,950,375,314,672 0.109264 0.109264
一對1 375,449,316,387,264 0.224230 0.224230
不付牌0 923,962,818,637,152 0.551820 0.000000
全部的1,674,391,363,444,800 1.000000 0.977665

9-6-4 雙倍獎金 — 第二次皇家機會

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 748,246,440 0.000000 0.000112
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗56 5,103,772,272 0.000003 0.000171
St 同花 -> 順子54 4,308,802,296 0.000003 0.000139
St 同花->對子51 6,551,208,756 0.000004 0.000200
St flush->無50 17,110,281,276 0.000010 0.000511
同花 -> 皇家206 17,313,845,220 0.000010 0.002130
沖洗 -> Str 沖洗56 2,907,466,776 0.000002 0.000097
沖洗 ->沖洗12 113,052,479,424 0.000068 0.000810
同花 -> 順子10 57,741,508,428 0.000034 0.000345
同花 -> 對子7 161,200,537,404 0.000096 0.000674
刷新->無6 421,466,856,588 0.000252 0.001510
順子->皇家204 7,991,440,500 0.000005 0.000974
順子->Str 同花54 2,428,345,284 0.000001 0.000078
順子->同花10 58,542,640,368 0.000035 0.000350
直行->直行8 22,168,798,320 0.000013 0.000106
順子->對子5 73,317,157,164 0.000044 0.000219
直行->無4 192,077,195,436 0.000115 0.000459
對子 -> 皇家201 24,085,774,404 0.000014 0.002891
對子 -> Str 同花51 4,317,151,140 0.000003 0.000131
對子 -> 同花7 180,157,577,604 0.000108 0.000753
對子 -> 順子5 81,527,146,560 0.000049 0.000243
對 -> 對2 205,810,243,032 0.000123 0.000246
配對->無1 584,064,432,828 0.000349 0.000349
無 ->皇家200 54,536,327,436 0.000033 0.006514
無 ->Str 刷新50 9,561,078,468 0.000006 0.000286
無 -> 刷新6 407,683,681,308 0.000243 0.001461
無 -> 直4 182,987,799,372 0.000109 0.000437
無 -> 配對1 504,605,660,904 0.000301 0.000301
無 -> 無0 1,277,540,468,880 0.000763 0.000000
皇家同花順800 51,492,395,808 0.000031 0.024602
同花順50 153,799,733,808 0.000092 0.004593
四A 160 378,848,925,504 0.000226 0.036202
四 2-4 80 882,842,208,192 0.000527 0.042181
四個5公里50 2,721,183,304,896 0.001625 0.081259
客滿9 18,072,340,816,320 0.010793 0.097140
沖洗6 18,325,035,200,304 0.010944 0.065666
直的4 20,940,967,776,960 0.012507 0.050026
三條3 125,240,622,359,328 0.074798 0.224393
兩對1 204,900,815,046,816 0.122373 0.122373
一對1 349,285,753,210,464 0.208605 0.208605
不付牌0 928,756,754,542,512 0.554683 0.000000
全部的1,674,391,363,444,800 1.000000 0.979537

7-5 雙倍獎金 — 第二次機會皇家

事件支付組合可能性返回
聖同花順->皇家250 743,391,912 0.000000 0.000111
St 沖水->Str 沖水100 0 0.000000 0.000000
St 沖洗->沖洗55 5,071,643,532 0.000003 0.000167
St 同花 -> 順子54 4,285,486,836 0.000003 0.000138
St 同花->對子51 6,511,382,844 0.000004 0.000198
St flush->無50 16,995,376,332 0.000010 0.000508
同花 -> 皇家205 16,462,823,748 0.000010 0.002016
沖洗 -> Str 沖洗55 2,863,418,436 0.000002 0.000094
沖洗 ->沖洗10 107,412,844,584 0.000064 0.000642
同花 -> 順子9 55,182,128,304 0.000033 0.000297
同花 -> 對子6 153,872,441,916 0.000092 0.000551
刷新->無5 400,122,152,676 0.000239 0.001195
順子->皇家204 7,640,388,540 0.000005 0.000931
順子->Str 同花54 2,403,196,356 0.000001 0.000078
順子->同花9 55,911,072,576 0.000033 0.000301
直行->直行8 21,437,225,688 0.000013 0.000102
順子->對子5 70,342,577,388 0.000042 0.000210
直行->無4 183,267,419,580 0.000109 0.000438
對子 -> 皇家201 23,070,035,400 0.000014 0.002769
對子 -> Str 同花51 4,268,389,140 0.000003 0.000130
對子 -> 同花6 172,587,325,068 0.000103 0.000618
對子 -> 順子5 78,519,005,424 0.000047 0.000234
對 -> 對2 197,945,757,228 0.000118 0.000236
配對->無1 558,988,391,628 0.000334 0.000334
無 ->皇家200 51,917,207,520 0.000031 0.006201
無 ->Str 刷新50 9,472,873,428 0.000006 0.000283
無 -> 刷新5 387,788,400,756 0.000232 0.001158
無 -> 直4 175,243,426,092 0.000105 0.000419
無 -> 配對1 482,344,863,156 0.000288 0.000288
無 -> 無0 1,213,995,297,624 0.000725 0.000000
皇家同花順800 49,390,211,808 0.000029 0.023598
同花順50 147,793,555,728 0.000088 0.004413
四個A+2-4 400 102,390,364,944 0.000061 0.024460
四個 2-4 + A-4 160 245,545,316,352 0.000147 0.023464
四A 160 289,047,565,296 0.000173 0.027621
四 2-4 80 661,410,285,984 0.000395 0.031601
四個5公里50 2,719,373,649,552 0.001624 0.081205
客滿7 17,588,592,259,056 0.010504 0.073531
沖洗5 18,083,246,981,184 0.010800 0.053999
直的4 20,929,476,155,616 0.012500 0.049999
三條3 126,137,734,929,360 0.075333 0.226000
兩對1 205,357,562,459,280 0.122646 0.122646
一對1 349,901,722,206,288 0.208972 0.208972
不付牌0 927,711,411,560,640 0.554059 0.000000
全部的1,674,391,363,444,800 1.000000 0.972157

致謝

  • 維加斯皇室企業：遊戲發明者，讓我了解聖達菲的佈局並幫助我創建這個頁面。
  • IGT ：遊戲製作者，感謝分享上述回報摘要表並對此頁面提供協助。

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撰寫者: Michael Shackleford