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百家樂中的算牌
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簡介
幾十年來，我一直強調百家樂本質上是一種獨立嘗試的遊戲。換句話說，研究牌盒過去的結果並沒有什麼幫助。然而，雖然研究莊家和閒家的贏牌規律對你沒用，但算牌卻能幫上一點忙。
為了避免混淆，在撰寫有關百家樂的文章時，我將在提到玩遊戲的人時使用全部小寫，而在提到下注時將玩家大寫。
移除的效果
在像二十一點或百家樂這樣的遊戲中，玩家在洗牌前會玩多手牌，而任何關於算牌如何提高勝率的討論，都始於研究移除任何一張特定牌的影響。例如，在二十一點中，移除一張5對玩家有利，移除一張A則不利。這是因為5通常對玩家不利，而A則有利。下表顯示了移除所有10點對三種主要賭注的影響。這些數字是從八副牌中移除一張牌後玩家預期價值的增加值乘以一千萬。
移除的效果
| 卡片 | 銀行家 | 玩家 | 領帶 |
|---|---|---|---|
| 0 | 188 | -178 | 5129 |
| 1 | 440 | -448 | 1293 |
| 2 | 522 | -543 | -2392 |
| 3 | 649 | -672 | -2141 |
| 4 | 1157 | -1195 | -2924 |
| 5 | -827 | 841 | -2644 |
| 6 | -1132 | 1128 | -11595 |
| 7 | -827 | 817 | -10914 |
| 8 | -502 | 533 | 6543 |
| 9 | -231 | 249 | 4260 |
有關此表如何開發的更多信息，請參閱我的百家樂附錄 2 。
從玩家下注的角度來看，一副牌中大牌較多的牌是有利的。這就是為什麼當它們離開牌盒時，對玩家下注不利。另一方面，一副牌中小牌較多的牌則對莊家下注有利。因此，如果牌盒中出現一張小牌，這會增加玩家的勝率；如果出現一張大牌，則對莊家有利。
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運行計數
為了使此方法簡單，我為等級 1 和 2 設計了一個簡單的加減策略。要使用它，請按照以下說明操作。
- 在開始穿新鞋時，將運行計數設定為 0。
- 隨著卡片的暴露，根據看到的每張卡片添加以下值。
- 1 至 4 分 = +1
- 5 至 8 分 = -1
- 0 和 9 分 = 0
- 您將根據遊戲過程中的流水點數押注閒家或莊家。具體操作將根據您使用 1 級策略還是 2 級策略進行進一步說明（請參閱下文）。
下表顯示了玩家和莊家投注的預期值 (EV)，以 -25 到 +25 的計數進行計算。
按運行計數的預期值
| 跑步 數數 | 可能性 | 玩家 電動車 | 銀行家 電動車 |
|---|---|---|---|
| -25 | 0.01% | -0.83% | -1.46% |
| -24 | 0.02% | -0.81% | -1.47% |
| -23 | 0.03% | -0.76% | -1.52% |
| -22 | 0.05% | -0.83% | -1.45% |
| -21 | 0.07% | -0.85% | -1.44% |
| -20 | 0.10% | -0.89% | -1.40% |
| -19 | 0.15% | -0.87% | -1.42% |
| -18 | 0.20% | -0.88% | -1.41% |
| -17 | 0.28% | -0.91% | -1.37% |
| -16 | 0.38% | -0.92% | -1.36% |
| -15 | 0.51% | -0.94% | -1.35% |
| -14 | 0.67% | -0.95% | -1.34% |
| -13 | 0.87% | -0.98% | -1.31% |
| -12 | 1.11% | -0.98% | -1.31% |
| -11 | 1.40% | -1.01% | -1.28% |
| -10 | 1.75% | -1.01% | -1.28% |
| -9 | 2.15% | -1.03% | -1.26% |
| -8 | 2.61% | -1.05% | -1.23% |
| -7 | 3.13% | -1.07% | -1.22% |
| -6 | 3.68% | -1.09% | -1.20% |
| -5 | 4.27% | -1.12% | -1.17% |
| -4 | 4.88% | -1.14% | -1.15% |
| -3 | 5.47% | -1.17% | -1.13% |
| -2 | 6.03% | -1.19% | -1.10% |
| -1 | 6.42% | -1.21% | -1.08% |
| 0 | 7.81% | -1.24% | -1.05% |
| 1 | 6.40% | -1.26% | -1.03% |
| 2 | 5.97% | -1.29% | -1.01% |
| 3 | 5.43% | -1.32% | -0.98% |
| 4 | 4.84% | -1.33% | -0.97% |
| 5 | 4.24% | -1.36% | -0.94% |
| 6 | 3.65% | -1.38% | -0.92% |
| 7 | 3.10% | -1。39% | -0.90% |
| 8 | 2.59% | -1.41% | -0.88% |
| 9 | 2.14% | -1.42% | -0.88% |
| 10 | 1.73% | -1.44% | -0.86% |
| 11 | 1.39% | -1.45% | -0.84% |
| 12 | 1.10% | -1.47% | -0.83% |
| 十三 | 0.86% | -1.49% | -0.81% |
| 14 | 0.66% | -1.50% | -0.80% |
| 15 | 0.50% | -1.51% | -0.79% |
| 16 | 0.37% | -1.53% | -0.76% |
| 17 | 0.28% | -1.53% | -0.77% |
| 18 | 0.20% | -1.55% | -0.75% |
| 19 | 0.14% | -1.59% | -0.71% |
| 20 | 0.10% | -1.57% | -0.72% |
| 21 | 0.07% | -1.55% | -0.75% |
| 22 | 0.05% | -1.59% | -0.71% |
| 23 | 0.03% | -1.65% | -0.65% |
| 24 | 0.02% | -1.55% | -0.75% |
| 二十五 | 0.01% | -1.76% | -0.55% |
上表顯示，當連續點數為 -4 或更少時，最佳投注是押閒家，否則押莊家。
一級策略
使用一級策略，如果總點數為 -4 或更少，則押閒家。否則，押莊家。
採用此策略，玩家押閒家的機率為28.4%。下表顯示了這些押閒家的結果。右下角顯示賭場優勢為1.06%。不計算閒家時，賭場優勢為1.24%。
一級玩家投注
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 0.447281 | 0.447281 |
| 推 | 0 | 0.094824 | 0.000000 |
| 損失 | -1 | 0.457895 | -0.457895 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010614 |
下表顯示了玩家押莊機率為 71.6% 時的結果。右下角顯示賭場優勢為 0.99%。不計算莊家時，賭場優勢為 1.06%。
一級莊家投注
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 0.95 | 0.458875 | 0.435932 |
| 推 | 0 | 0.095281 | 0.000000 |
| 損失 | -1 | 0.445844 | -0.445844 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.009912 |
下表總結了以上兩表，展示了閒家和莊家投注的可能結果。右下角單元格顯示，合併後的賭場優勢為 1.01%。相較之下，僅投注莊家的賭場優勢為 1.06%，而同時投注閒家和莊家的賭場優勢為 1.11%，且投注比例均為 28.4% 和 71.6%。
一級綜合回報表
| 賭注 | 勝利方 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 玩家 | 玩家 | 1 | 0.126836 | 0.126836 |
| 玩家 | 領帶 | 0 | 0.026889 | 0.000000 |
| 玩家 | 銀行家 | -1 | 0.129846 | -0.129846 |
| 銀行家 | 玩家 | 0.95 | 0.328751 | 0.312314 |
| 銀行家 | 領帶 | 0 | 0.068262 | 0.000000 |
| 銀行家 | 銀行家 | -1 | 0.319415 | -0.319415 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010111 |
兩註投注的預期值表格顯示，它們最接近的點數是-4。點數越接近-4，兩個投注中哪個比較好越好。也就是說，當點數接近-4時，玩家可以透過不投注來降低賭場優勢。
下表顯示了根據未下注跳過的真實點數範圍，玩家玩牌手數與賭場優勢的比率。例如，如果玩家在真實點數為-8到0時離場，那麼他將玩55.69%的牌，而他玩的這些牌的平均賭場優勢為0.95%。
跳過錯誤數
| 計數 已跳過 | 比例手 播放次數 | 豪斯 邊緣 |
|---|---|---|
| 沒有任何 | 100.00% | 1.01% |
| -4 | 95.12% | 1.00% |
| -5 至 -3 | 85.37% | 0.99% |
| -6 至 -2 | 75.66% | 0.98% |
| -7 至 -1 | 66.11% | 0.96% |
| -8 到 0 | 55.69% | 0.95% |
| -9 至 +1 | 47.13% | 0.93% |
當累積計數距離 -4 越遠時，玩家可能還會考慮下注更多。
2級
為了將賭場優勢再削減 0.01%，對於想要每手牌都下注的玩家，他可以使用這個 2 級策略。
1級和2級之間的唯一區別在於，隨著牌盒的進展，流水點數低到足以押注閒家的點會改變。這是因為在牌盒初期，任何給定的點數都會被稀釋，因為要打的牌更多。
玩家應該押閒家的「索引點」取決於玩家目前所在的珠盤的哪一列。珠盤是評分板上顯示閒家和莊家獲勝歷史記錄的表格。例如，在下圖（取自我的百家樂教練）中，玩家位於第六列。
具體來說，下表列出了珠盤中每列的指數點。當累計點數小於或等於指數值時，玩家應該下注閒家。
二級指數值
| 柱子 | 指數值 |
|---|---|
| 1 | -15 |
| 2 | -14 |
| 3 | -13 |
| 4 | -12 |
| 5 | -11 |
| 6 | -10 |
| 7 | -9 |
| 8 | -8 |
| 9 | -7 |
| 10 | -6 |
| 11 | -5 |
| 12 | -4 |
| 十三 | -3 |
| 14 | -2 |
| 15 | -1 |
下表顯示了二級模擬中玩家下注的結果，玩家下注的機率僅為18.3%。右下角單元格顯示賭場優勢為0.99%。
一級玩家投注
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 0.447709 | 0.447709 |
| 損失 | -1 | 0.457639 | -0.457639 |
| 領帶 | 0 | 0.094651 | 0.000000 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.009930 |
下表顯示了二級模擬中莊家投注的結果，莊家投注的機率僅為81.7%。右下角單元格顯示莊家優勢為1.01%。
2級莊家投注
| 卡片 | 玩家 | 銀行家 | 領帶 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 0.95 | 0.458810 | 0.435870 |
| 損失 | -1 | 0.445926 | -0.445926 |
| 領帶 | 0 | 0.095264 | 0.000000 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010056 |
下表顯示了使用二級策略時，閒家和莊家投注的綜合結果。右下角單元格顯示莊家優勢為 1.00%。
二級綜合回報表
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 獲勝玩家的賭注 | 1 | 0.081815 | 0.081815 |
| 贏得莊家賭注 | 0.95 | 0.374967 | 0.356219 |
| 領帶 | 0 | 0.095152 | 0.000000 |
| 損失 | -1 | 0.448066 | -0.448066 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010033 |
綜合考慮，與一級策略相比，僅降低0.01%對大多數人來說可能不值得大驚小怪。不過，既然我已經做了所有分析，不妨也寫寫看。
3級
第三級是第一級的改良版，其中唯一影響投注方決策的因素是流水計數。牌盒或珠盤中的位置無關緊要。第三級將每張牌的點數提升到一個新的水平，使其與賠率的影響更加成正比。下表顯示如何根據觀察到的每張牌調整流水計數。
每級 3 點
| 秩 | 積分 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 3 |
| 4 | 6 |
| 5 | -4 |
| 6 | -6 |
| 7 | -4 |
| 8 | -3 |
| 9 | -1 |
與 1 級策略一樣，從 0 開始計數，並在牌被揭開時添加每個等級的點值。
與 1 級策略不同，玩家應該押注連續計數為 -15 或更少的玩家。
採用此策略，玩家押閒家的機率為28.55%。下表顯示了這些押閒家的結果。右下角顯示賭場優勢為1.05%。不計算閒家時，賭場優勢為1.24%。
3級玩家投注
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 1 | 0.447480 | 0.447480 |
| 推 | 0 | 0.094542 | 0.000000 |
| 損失 | -1 | 0.457978 | -0.457978 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010498 |
下表顯示了玩家押莊機率為 71.6% 時的結果。右下角顯示賭場優勢為 0.99%。不計算莊家時，賭場優勢為 1.06%。
3級莊家投注
| 事件 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|
| 贏 | 0.95 | 0.458844 | 0.435902 |
| 推 | 0 | 0.095395 | 0.000000 |
| 損失 | -1 | 0.445760 | -0.445760 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.009858 |
下表總結了以上兩表，展示了閒家和莊家投注的可能結果。右下角單元格顯示，合併後的莊家優勢為 1.004%。相較之下，僅投注莊家的莊家優勢為 1.06%，而同時投注閒家和莊家的莊家優勢為 1.11%，且投注比例均為 28.4% 和 71.6%。需要提醒的是，使用一級策略，每手牌的整體莊家優勢為 1.011%，比前者高出 0.007%。
一級綜合回報表
| 賭注 | 勝利方 | 支付 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 玩家 | 玩家 | 1 | 0.127764 | 0.127764 |
| 玩家 | 領帶 | 0 | 0.026994 | 0.000000 |
| 玩家 | 銀行家 | -1 | 0.130761 | -0.130761 |
| 銀行家 | 玩家 | 0.95 | 0.327836 | 0.311444 |
| 銀行家 | 領帶 | 0 | 0.068158 | 0.000000 |
| 銀行家 | 銀行家 | -1 | 0.318487 | -0.318487 |
| 全部的 | 1.000000 | -0.010041 |
與第一級策略類似，玩家可以透過跳過那些接近兩種投注方式同樣糟糕的牌局來降低整體賭場優勢。在本例中，這個糟糕點數是-14。
下表顯示了根據未下注跳過的真實點數範圍，玩家玩牌手數與賭場優勢的比率。例如，如果玩家在真實點數為-8到0時離場，那麼他將玩55.69%的牌，而他玩的這些牌的平均賭場優勢為0.95%。
跳過錯誤數
| 計數 已跳過 | 比例手 播放次數 | 豪斯 邊緣 |
|---|---|---|
| 沒有任何 | 100.00% | -1.00% |
| -10 至 -20 | 86.55% | -0.98% |
| -5 至 -25 | 74.42% | -0.97% |
| 0 至 -30 | 61.46% | -0.95% |
| +5 至 -35 | 50.52% | -0.93% |
綜合考慮所有因素，與等級 1 相比，使用等級 3 時賭場優勢僅減少了 0.01%。對於大多數玩家來說，這可能不值得費心。
結論
如同引言中所提到的，算牌確實可以用來降低百家樂的賭場優勢。我認為，第一級適合大多數人。第二級和第三級可以降低賭場優勢約0.01%，我覺得不值得這麼費心。
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外部連結
我在 Wizard of Vegas 論壇上討論了這個主題。