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Blackjack X-Change ⼆⼗⼀點 X-換牌

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簡介

「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀點 X-換牌」是Blackjack⼆⼗⼀點的⼀種變 體版本、讓玩家可以⽤⼀張隨機的牌來調換他⼿中的任何牌。依照狀況, 玩家可以付錢去調換⼀張壞牌、或是換掉⼀張好牌⽽得到⽀付。據我所知 這種遊戲可以在Caesars線上/⼿機賭場玩得到。

規則

「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀點 X-換牌」是基於標準的Blackjack⼆⼗⼀ 點規則、我假設讀者對此已經⾮常熟悉了。以下是針對傳統Blackjack⼆ ⼗⼀點的特別調整項⺫。

  1. 使⽤無限副牌組。
  2. 莊家在軟17點時停住不補牌。
  3. Blackjack⽀付3⽐2的賠率。
  4. 莊家偷瞄hole card洞牌、查看是否有拿到blackjack.
  5. 玩家可以在任何兩張牌加倍賭注、包括分牌之後。
  6. 玩家只能分牌⼀次。
  7. 玩家分牌Aces對⼦之後可以再補牌和加倍賭注。
  8. 玩家可以交換他⼿中的任何牌, 在⼤部份的情況, 以⼀筆價錢換取⼀張 隨機的牌。這個換牌選項適⽤於四張或更少張牌、21點或更少點的牌⾯, 並且不適⽤於加倍賭注或分牌之後的情況。
  9. 如果玩家換過⼀張牌之後, 他不可以加倍賭注或分牌。
  10. 如果玩家換過⼀張牌之後拿到blackjack, ⽀付賠率依然是3⽐2.
  11. 遊戲會對玩家收取換掉⼀張壞牌的費⽤、稱為「Buy買」的價錢, 或是 付錢給玩家換掉⼀張好牌、稱為「Sell賣」的價錢。
  12. 「Buy買」與「Sell賣」兩者的價錢視情況⽽定。遊戲對玩家收取超出 2.5%公平價錢的費⽤去「Buy買」⼀張牌、⽀付少於2.5%公平價錢去 「Sell賣」⼀張牌, 雖然我發現有時這個百分⽐是稍微太⾼了。
  13. 如果玩家買賣⼀張牌, 付出或得到的價錢會直接從玩家的餘額當中扣 減/加⼊, 不會去動到他的押注⾦額。

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舉例

Blackjack X-Change 1

從以上例⼦當中, 我押注£20並有三張牌總數為13點以對抗莊家的5點。我 有下列的選項:

  • 在15點對抗5點的狀況下補牌或停住不補牌, 如同傳統的Blackjack⼆⼗⼀ 點。
  • 買⼀張隨機的牌換掉6點牌、付費 £6.67.
  • 賣掉2點牌換成⼀張隨機牌、得到 £1.74.
  • 買⼀張隨機的牌換掉7點牌、付費 £4.90.

分析

假設玩家從未換牌, 我算出賭場優勢為0.37%. 這是玩家的期望輸值對⽐於 原初賭注的⽐率。遊戲的幫助檔案宣稱回報率為99.68%, 留下0.32%給賭 場。我懷疑從幫助檔案不同的「return回報率」是否就是回報給玩家的⾦ 額對⽐於總押注⾦額的⽐率, 包括加倍賭注與分牌。換⾔之, 這差異之處在 於⽐較house edge賭場優勢與element of risk危險元素。

以下列表顯⽰在每種狀況下的期望值, 如果只有補牌和停住不補兩種選 項。

期望值 — 補牌 或 停住不補Expand

玩家
總點數		 莊家
2		 莊家
3		 莊家
4		 莊家
5		 莊家
6		 莊家
7		 莊家
8		 莊家
9		 莊家
10		 莊家
Ace
硬4點 -0.114913 -0.082613 -0.049367 -0.012380 0.011130 -0.088279 -0.159334 -0.240666 -0.289198 -0.253077
硬5點 -0.128216 -0.095310 -0.061479 -0.023979 -0.001186 -0.119447 -0.188093 -0.266615 -0.313412 -0.278575
硬6點 -0.140759 -0.107291 -0.072917 -0.034916 -0.013006 -0.151933 -0.217242 -0.292641 -0.337749 -0.304147
硬7點 -0.109183 -0.076583 -0.043022 -0.007271 0.029185 -0.068808 -0.210605 -0.285365 -0.319055 -0.310072
硬8點 -0.021798 0.008005 0.038784 0.070805 0.114960 0.082207 -0.059898 -0.210186 -0.249375 -0.197029
硬9點 0.074446 0.101265 0.128981 0.158032 0.196019 0.171868 0.098376 -0.052178 -0.152953 -0.065681
硬10點 0.182500 0.206088 0.230470 0.256259 0.287795 0.256909 0.197954 0.116530 0.025309 0.081450
硬11點 0.238351 0.260325 0.283020 0.307350 0.333690 0.292147 0.229982 0.158257 0.119482 0.143001
硬12點 -0.253390 -0.233691 -0.211063 -0.167193 -0.153699 -0.212848 -0.271575 -0.340013 -0.381043 -0.350540
硬13點 -0.292784 -0.252250 -0.211063 -0.167193 -0.153699 -0.269073 -0.323605 -0.387155 -0.425254 -0.396930
硬14點 -0.292784 -0.252250 -0.211063 -0.167193 -0.153699 -0.321282 -0.371919 -0.430930 -0.466307 -0.440007
硬15點 -0.292784 -0.252250 -0.211063 -0.167193 -0.153699 -0.369762 -0.416782 -0.471578 -0.504428 -0.480006
硬16點 -0.292784 -0.252250 -0.211063 -0.167193 -0.153699 -0.414779 -0.458440 -0.509322 -0.539826 -0.517149
硬17點 -0.152975 -0.117216 -0.080573 -0.044941 0.011739 -0.106809 -0.381951 -0.423154 -0.419721 -0.478033
硬18點 0.121742 0.148300 0.175854 0.199561 0.283444 0.399554 0.105951 -0.183163 -0.178301 -0.100199
硬19點 0.386305 0.404363 0.423179 0.439512 0.495977 0.615976 0.593854 0.287597 0.063118 0.277636
硬20點 0.639987 0.650272 0.661050 0.670360 0.703959 0.773227 0.791815 0.758357 0.554538 0.655470
硬21點 0.882007 0.885300 0.888767 0.891754 0.902837 0.925926 0.930605 0.939176 0.962624 0.922194
軟12點 0.081836 0.103507 0.126596 0.156482 0.185954 0.165473 0.095115 0.000066 -0.070002 -0.020478
軟13點 0.046636 0.074119 0.102477 0.133363 0.161693 0.122386 0.054057 -0.037695 -0.104851 -0.057308
軟14點 0.022392 0.050807 0.080081 0.111894 0.139165 0.079507 0.013277 -0.075163 -0.139467 -0.093874
軟15點 -0.000121 0.029160 0.059285 0.091960 0.118246 0.037028 -0.027055 -0.112189 -0.173704 -0.130027
軟16點 -0.021025 0.009059 0.039975 0.073449 0.098821 -0.004890 -0.066795 -0.148644 -0.207441 -0.165637
軟17點 -0.000491 0.028975 0.059326 0.091189 0.128052 0.053823 -0.072915 -0.149787 -0.196867 -0.179569
軟18點 0.121742 0.148300 0.175854 0.199561 0.283444 0.399554 0.105951 -0.100744 -0.143808 -0.092935
軟19點 0.386305 0.404363 0.423179 0.439512 0.495977 0.615976 0.593854 0.287597 0.063118 0.277636
軟20點 0.639987 0.650272 0.661050 0.670360 0.703959 0.773227 0.791815 0.758357 0.554538 0.655470
軟21點 0.882007 0.885300 0.888767 0.891754 0.902837 0.925926 0.930605 0.939176 0.962624 0.922194

以下列表顯⽰在每種狀況下的期望值, 如果只有補牌、停住不補、加倍賭 注等幾種選項。只有顯⽰加倍賭注會是最佳玩法的玩家總點數, 否則參⾒ 以上的補牌或停住不補的列表。

期望值 — 補牌, 停住不補, 或 加倍賭注Expand

玩家
總點數		 莊家
2		 莊家
3		 莊家
4		 莊家
5		 莊家
6		 莊家
7		 莊家
8		 莊家
9		 莊家
10		 莊家
Ace
硬9點 0.074446 0.120816 0.181949 0.243057 0.317055 0.171868 0.098376 -0.052178 -0.152953 -0.065681
硬10點 0.358939 0.409321 0.460940 0.512517 0.575590 0.392412 0.286636 0.144328 0.025309 0.081450
硬11點 0.470641 0.517795 0.566041 0.614699 0.667380 0.462889 0.350693 0.227783 0.179689 0.143001
軟12點 0.081836 0.103507 0.126596 0.156482 0.185954 0.165473 0.095115 0.000066 -0.070002 -0.020478
軟13點 0.046636 0.074119 0.102477 0.133363 0.179748 0.122386 0.054057 -0.037695 -0.104851 -0.057308
軟14點 0.022392 0.050807 0.080081 0.125954 0.179748 0.079507 0.013277 -0.075163 -0.139467 -0.093874
軟15點 -0.000121 0.029160 0.059285 0.125954 0.179748 0.037028 -0.027055 -0.112189 -0.173704 -0.130027
軟16點 -0.021025 0.009059 0.058427 0.125954 0.179748 -0.004890 -0.066795 -0.148644 -0.207441 -0.165637
軟17點 -0.000491 0.055095 0.118653 0.182378 0.256104 0.053823 -0.072915 -0.149787 -0.196867 -0.179569
軟18點 0.121742 0.177641 0.237004 0.295225 0.381506 0.399554 0.105951 -0.100744 -0.143808 -0.092935

以下列表顯⽰在每種狀況下的期望值, 如果補牌、停住不補、加倍賭注、 分牌為所有的選項。

期望值 — 補牌, 停住不補, 加倍賭注, 或 分牌Expand

玩家
總點數		 莊家
2		 莊家
3		 莊家
4		 莊家
5		 莊家
6		 莊家
7		 莊家
8		 莊家
9		 莊家
10		 莊家
Ace
2,2 -0.088887 -0.025616 0.042947 0.127250 0.194779 -0.007399 -0.159334 -0.240666 -0.289198 -0.253077
3,3 -0.138164 -0.063866 0.014625 0.102293 0.169420 -0.067760 -0.217242 -0.292641 -0.337749 -0.304147
4,4 -0.021798 0.008005 0.038784 0.080260 0.145957 0.082207 -0.059898 -0.210186 -0.249375 -0.197029
5,5 0.358939 0.409321 0.460940 0.512517 0.575590 0.392412 0.286636 0.144328 0.025309 0.081450
6,6 -0.218637 -0.136678 -0.049560 0.043987 0.107923 -0.212848 -0.271575 -0.340013 -0.381043 -0.350540
7,7 -0.155485 -0.074767 0.010511 0.099965 0.187691 -0.090501 -0.371919 -0.430930 -0.466307 -0.440007
8,8 0.019285 0.086888 0.156567 0.228318 0.325533 0.211530 -0.087582 -0.405400 -0.489488 -0.394058
9,9 0.184629 0.242140 0.301503 0.363348 0.443375 0.399554 0.215323 -0.093660 -0.178301 -0.100199
10,10 0.639987 0.650272 0.661050 0.670360 0.703959 0.773227 0.791815 0.758357 0.554538 0.655470
A,A 0.739275 0.783881 0.834126 0.895723 0.977514 0.914737 0.801496 0.642847 0.528001 0.597239

以下列表顯⽰在每種狀況下、換掉⼀張牌之後的期望值。玩家的總點數標 ⽰出在買賣之後拿掉那張牌、但是隨機的那張牌還沒進來替換之前正在考 慮中的狀態。前⾯兩⾏橫向欄位是玩家只有⼀張10點或Ace的狀態、有可 能拿到blackjack的牌⾯。

換牌之後的期望值Expand

玩家
總點數		 莊家
2		 莊家
3		 莊家
4		 莊家
5		 莊家
6		 莊家
7		 莊家
8		 莊家
9		 莊家
10		 莊家
Ace
只有10點 0.230038 0.253373 0.277488 0.303047 0.333731 0.301068 0.241753 0.159670 0.066645 0.125896
只有Ace 0.559789 0.576812 0.594448 0.612905 0.639639 0.634007 0.575946 0.493984 0.429347 0.476406
硬2點 -0.075884 -0.049751 -0.022100 0.013730 0.038883 -0.027257 -0.103162 -0.190047 -0.241998 -0.203354
硬3點 -0.100523 -0.068876 -0.036261 0.000170 0.024471 -0.057438 -0.130942 -0.215077 -0.265329 -0.227937
硬4點 -0.114913 -0.082613 -0.049367 -0.012380 0.011130 -0.088279 -0.159334 -0.240666 -0.289198 -0.253077
硬5點 -0.128216 -0.095310 -0.061479 -0.023979 -0.001186 -0.119447 -0.188093 -0.266615 -0.313412 -0.278575
硬6點 -0.140759 -0.107291 -0.072917 -0.034916 -0.013006 -0.151933 -0.217242 -0.292641 -0.337749 -0.304147
硬7點 -0.109183 -0.076583 -0.043022 -0.007271 0.029185 -0.068808 -0.210605 -0.285365 -0.319055 -0.310072
硬8點 -0.021798 0.008005 0.038784 0.070805 0.114960 0.082207 -0.059898 -0.210186 -0.249375 -0.197029
硬9點 0.074446 0.101265 0.128981 0.158032 0.196019 0.171868 0.098376 -0.052178 -0.152953 -0.065681
硬10點 0.182500 0.206088 0.230470 0.256259 0.287795 0.256909 0.197954 0.116530 0.025309 0.081450
硬11點 0.238351 0.260325 0.283020 0.307350 0.333690 0.292147 0.229982 0.158257 0.119482 0.143001
硬12點 -0.253390 -0.233691 -0.213537 -0.193271 -0.170526 -0.212848 -0.271575 -0.340013 -0.381043 -0.350540
硬13點 -0.307791 -0.291210 -0.274224 -0.257333 -0.235626 -0.269073 -0.323605 -0.387155 -0.425254 -0.396930
硬14點 -0.362192 -0.348729 -0.334911 -0.321395 -0.300726 -0.321282 -0.371919 -0.430930 -0.466307 -0.440007
硬15點 -0.416594 -0.406249 -0.395599 -0.385457 -0.365826 -0.369762 -0.416782 -0.471578 -0.504428 -0.480006
硬16點 -0.470995 -0.463768 -0.456286 -0.449520 -0.430927 -0.414779 -0.458440 -0.509322 -0.539826 -0.517149
硬17點 -0.536151 -0.531674 -0.527011 -0.522986 -0.508753 -0.483486 -0.505983 -0.553695 -0.584463 -0.557300
硬18點 -0.622439 -0.620005 -0.617462 -0.615260 -0.607479 -0.591144 -0.591056 -0.616528 -0.647671 -0.626515
硬19點 -0.729077 -0.728033 -0.726937 -0.725991 -0.722554 -0.715450 -0.713660 -0.715574 -0.729449 -0.724795
硬20點 -0.855230 -0.854977 -0.854710 -0.854480 -0.853628 -0.851852 -0.851492 -0.850833 -0.849029 -0.852139
軟12點 0.081836 0.103507 0.126596 0.156482 0.185954 0.165473 0.095115 0.000066 -0.070002 -0.020478
軟13點 0.046636 0.074119 0.102477 0.133363 0.161693 0.122386 0.054057 -0.037695 -0.104851 -0.057308
軟14點 0.022392 0.050807 0.080081 0.111894 0.139165 0.079507 0.013277 -0.075163 -0.139467 -0.093874
軟15點 -0.000121 0.029160 0.059285 0.091960 0.118246 0.037028 -0.027055 -0.112189 -0.173704 -0.130027
軟16點 -0.021025 0.009059 0.039975 0.073449 0.098821 -0.004890 -0.066795 -0.148644 -0.207441 -0.165637
軟17點 -0.000491 0.028975 0.059326 0.091189 0.128052 0.053823 -0.072915 -0.149787 -0.196867 -0.179569
軟18點 0.062905 0.090248 0.118502 0.147613 0.190753 0.170676 0.039677 -0.100744 -0.143808 -0.092935
軟19點 0.123958 0.149340 0.175577 0.202986 0.239799 0.220620 0.152270 0.007893 -0.088096 -0.005743
軟20點 0.182500 0.206088 0.230470 0.256259 0.287795 0.256909 0.197954 0.116530 0.025309 0.081450
軟21點 0.238351 0.260325 0.283020 0.307350 0.333690 0.292147 0.229982 0.158257 0.119482 0.143001

接下來, 讓我們檢視以下的例⼦。

Blackjack X-Change 4

我押注£100並有⼀⼿軟牌19點以對抗莊家的6點。從基本策略當中我們知 道, 如果莊家在軟牌17點時停住不補, 我們絕不在軟19點時加倍賭注, 所以 我們查看第⼀份期望值列表以得知這種狀況的期望值為 0.495977 乘上 押 注⾦額, 或是 £100 × 0.495977 = £49.5977.

⼀旦選擇以£37.16的價錢賣出那張Ace, 那將會留給我們⼀張硬8點和⼀張 隨機的牌。上⽅的列表顯⽰在這樣的狀況時的期望值為 0.114960 乘上押 注⾦額, 亦即 £100 × 0.114960 = £ 11.4960. 這是降低的期望值, 相較於維 持在19點狀態, 是 £49.5977 - £ 11.4960 = £ 38.1017. 我們被提供售出那 張Ace的標價所得為£37.16. 售價相⽐於公平價錢的⽐率為 37.16/£ 38.1017 = 97.53%. 換⾔之, 我們得出那張Ace的售價是低過公平價錢的 2.47%.

另⼀個選項是花費£14.76買⼀張牌以替換那張8點牌。這樣會讓我們有⼀ 張Ace和⼀張隨機的牌。記住規則上表⽰, 如果換來的那張牌是10點, 則玩 家可以得到3⽐2的⽀付賠率。上⽅列表中「只有Ace」那⼀欄在這狀況顯 ⽰的期望值為 0.639639 乘上押注⾦額, 或 £100 × 0.639639 = £ 63.9639. 這和在19點停住不補的期望值相較起來是增加的, 亦即 £63.9639 - £ 49.5977 = £ 14.3662. 我們被提供買⼊⼀張牌以取代那張8點牌的標價為£ 14.76. 買⼊標價對⽐於公平價錢的⽐率為 £ 14.76/£ 14.3662 = 102.74%. 換⾔之, 我們付出的買價⾼過公平價錢的2.74%

策略

以下是我針對「Blackjack X-Change ⼆⼗⼀點 X-換牌」的基本策略。如 果某些軟牌的加倍賭注和標準莊家在軟17點時停住不補牌的策略不同, 那 是因為無限副牌的緣故。

Blackjack X-Change basic strategy

關於換牌, 玩家絕對不要去做, 因為 2.5% 到 3.0% 的範圍是⾼過基本遊戲 的0.32%.

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撰寫者: Michael Shackleford