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二十一點中的方差

簡介

二十一點中的方差

本附錄提供與二十一點標準差相關的資訊。本附錄假設玩家在切牌遊戲中遵循基本策略。每張牌桌均基於約一億手牌的單獨模擬。

提醒一下，若一手牌的變異數為 v，協方差為 c，一次玩的手數為 n，則總變異數為 n×v + n×(n-1)×c。

下表是多次模擬和大量程式設計工作的成果。它顯示了不同規則集的變異數和協方差。

摘要表

甲板軟 17雙倍的
後
分裂		投降
允許		重新分割
王牌
允許		預期的
價值		變異數協方差
6站立是的是的是的-0.00281 1.303 0.479
6站立不不不-0.00573 1.295 0.478
6打是的是的是的-0.00473 1.312 0.487
6打不不不-0.00787 1.308 0.488
6打是的不不-0.00628 1.346 0.499
6打不是的不-0.00699 1.272 0.475
6打不不是的-0.00717 1.311 0.488
8打不不不-0.00812 1.309 0.489
2打是的不不-0.00398 1.341 0.495

相較之下，史丹佛‧黃（Stanford Wong）在其著作《職業二十一點》（第203頁）中表示，他的基準規則（即六副牌，莊家在軟17點停牌，分牌後不加倍，不重新分牌A，不投降）的方差為1.28，協方差為0.47。我的表格第二行顯示，對於同樣的規則，我分別得到了1.295和0.478的方差和0.478的協方差，對我來說已經足夠接近了。

規則變化對方差的影響

下表顯示了與黃氏基準規則相比，各種規則變化對預期值、變異數和協方差的影響。

規則變化的影響

規則預期的
價值		變異數協方差
站在軟 17 0.00191 -0.00838 -0.00764
允許分牌後加倍0.00159 0.03753 0.01091
允許投降0.00088 -0.03629 -0.01247
允許重新分牌 Ace 0.00070 0.00207 0.00037
八副甲板-0.00025 0.00071 0.00063
兩層甲板0.00230 -0.00530 -0.00422

下表顯示了根據上述自由脫衣舞規則，一至三手牌的淨贏機率。

自由脫衣規則－一次玩一手牌

第一個表格顯示了根據我所謂的「自由脫衣規則」玩一手牌時每個淨結果的機率，如下所示：

  • 六副甲板
  • 莊家在軟 17 點（S17）停牌
  • 前兩張牌加倍（DA2）
  • 允許分牌後加倍 (DAS)
  • 允許延遲投降（LS）
  • 允許重新分割 A 牌 (RSA)
  • 玩家最多可以重新分牌三次（P3X）

6 副牌 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 單手

淨贏可能性返回
-8 0.00000019 -0.00000154
-7 0.00000235 -0.00001643
-6 0.00001785 -0.00010709
-5 0.00008947 -0.00044736
-4 0.00048248 -0.00192993
-3 0.00207909 -0.00623728
-2 0.04180923 -0.08361847
-1 0.40171191 -0.40171191
-0.5 0.04470705 -0.02235353
0 0.08483290 0.00000000
1 0.31697909 0.31697909
1.5 0.04529632 0.06794448
2 0.05844299 0.11688598
3 0.00259645 0.00778935
4 0.00076323 0.00305292
5 0.00014491 0.00072453
6 0.00003774 0.00022646
7 0.00000609 0.00004263
8 0.00000066 0.00000526
全部的1.00000000 -0.00277282

上表反映以下：

  • 莊家優勢 = 0.28%
  • 變異數 = 1.303
  • 標準差 = 1.142

淨贏機率

我常被問到在二十一點遊戲中淨贏的機率是多少。下表回答了這個問題。

總結二十一點的淨贏利

事件可能性
贏42.43%
推8.48%
損失49.09%

接下來的三個表格根據第一個動作是拿牌、停牌或投降；加倍；還是分牌來細分可能發生的事件。

首次行動時擊中、停牌或投降的淨勝

事件全部的可能性返回
1.5 77147473 0.05144768 0.07717152
1 537410636 0.35838544 0.35838544
0 127597398 0.08509145 0
-0.5 76163623 0.05079158 -0.02539579
-1 681213441 0.45428386 -0.45428386
全部的1499532571 1 -0.04412269

首次行動加倍時的淨贏額

事件全部的可能性返回
2 89463603 0.54980265 1.09960529
0 11301274 0.06945249 0
-2 61954607 0.38074486 -0.76148972
全部的162719484 1 0.33811558

首次分牌時的淨贏額

事件全部的可能性返回
8 1079 0.00002554 0.00020428
7 10440 0.00024707 0.00172948
6 64099 0.00151694 0.00910166
5 247638 0.00586051 0.02930255
4 1307719 0.030948 0.123792
3 4437365 0.10501306 0.31503917
2 10222578 0.24192379 0.48384758
1 2822458 0.06679526 0.06679526
0 5621675 0.1330405 0
-1 3520209 0.08330798 -0.08330798
-2 9425393 0.2230579 -0.4461158
-3 3559202 0.08423077 -0.25269231
-4 828010 0.01959538 -0.07838153
-5 152687 0.00361343 -0.01806717
-6 30536 0.00072265 -0.00433592
-7 3972 0.000094 -0.000658
-8 305 0.00000722 -0.00005774
全部的42255365 1 0.14619552

自由脫衣舞規則－同時玩兩手牌

下表顯示了根據上述自由脫衣舞規則，同時玩兩手牌的淨結果。 「回報」欄顯示兩手牌的淨贏額。

6 副 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 雙手

淨贏可能性返回
-14 0.00000000 0.00000000
-13 0.00000000 -0.00000001
-12 0.00000001 -0.00000006
-11 0.00000003 -0.00000035
-10 0.00000023 -0.00000228
-9 0.00000163 -0.00001464
-8 0.00001040 -0.00008324
-7.5 0.00000000 -0.00000003
-7 0.00005327 -0.00037288
-6.5 0.00000009 -0.00000061
-6 0.00024527 -0.00147159
-5.5 0.00000114 -0.00000629
-5 0.00106847 -0.00534234
-4.5 0.00000967 -0.00004352
-4 0.00654661 -0.02618644
-3.5 0.00005733 -0.00020065
-3 0.04607814 -0.13823442
-2.5 0.00214887 -0.00537218
-2 0.23285866 -0.46571732
-1.5 0.03547663 -0.05321495
-1 0.09903321 -0.09903321
-0.5 0.01386072 -0.00693036
0 0.14677504 0.00000000
0.5 0.05888290 0.02944145
1 0.06026238 0.06026238
1.5 0.01030563 0.01545845
2 0.17250085 0.34500170
2.5 0.03020186 0.07550465
3 0.06443204 0.19329612
3.5 0.00559850 0.01959474
4 0.01072401 0.04289604
4.5 0.00024927 0.00112171
5 0.00187139 0.00935695
5.5 0.00007341 0.00040373
6 0.00049405 0.00296428
6.5 0.00001414 0.00009193
7 0.00012404 0.00086825
7.5 0.00000369 0.00002767
8 0.00002933 0.00023466
8.5 0.00000060 0.00000508
9 0.00000543 0.00004888
9.5 0.00000007 0.00000063
10 0.00000083 0.00000834
11 0.00000013 0.00000141
12 0.00000002 0.00000028
十三0.00000000 0.00000005
14 0.00000000 0.00000001
全部的1.00000000 -0.00563798

上表反映以下內容：

  • 莊家優勢 = 0.28%
  • 每輪差異 = 3.565
  • 每手波動 = 1.782
  • 每手標準差= 1.335

自由脫衣規則－一次玩三手牌

下表顯示了根據上述自由脫衣舞規則，每局三手牌的淨結果。 「回報」欄顯示三手牌的淨贏利。

6 副牌 S17 DA2 DAS LS RSA P3X — 三手牌

淨贏可能性返回
-16 0.00000000 -0.00000001
-15 0.00000000 -0.00000001
-14 0.00000001 -0.00000007
-13 0.00000003 -0.00000041
-12 0.00000018 -0.00000218
-11 0.00000100 -0.00001099
-10.5 0.00000000 0.00000000
-10 0.00000531 -0.00005309
-9.5 0.00000001 -0.00000006
-9 0.00002581 -0.00023228
-8.5 0.00000005 -0.00000047
-8 0.00011292 -0.00090339
-7.5 0.00000049 -0.00000370
-7 0.00046097 -0.00322680
-6.5 0.00000397 -0.00002581
-6 0.00197390 -0.01184341
-5.5 0.00002622 -0.00014419
-5 0.00969361 -0.04846807
-4.5 0.00022638 -0.00101870
-4 0.04183392 -0.16733566
-3.5 0.00319799 -0.01119297
-3 0.15826947 -0.47480842
-2.5 0.02641456 -0.06603640
-2 0.08893658 -0.17787317
-1.5 0.02183548 -0.03275322
-1 0.09681697 -0.09681697
-0.5 0.04992545 -0.02496273
0 0.06712076 0.00000000
0.5 0.02111145 0.01055572
1 0.08978272 0.08978272
1.5 0.03789943 0.05684914
2 0.04349592 0.08699183
2.5 0.01123447 0.02808618
3 0.10813504 0.32440511
3.5 0.02489093 0.08711825
4 0.06196736 0.24786943
4.5 0.00906613 0.04079759
5 0.01805409 0.09027044
5.5 0.00154269 0.00848480
6 0.00409323 0.02455940
6.5 0.00027059 0.00175885
7 0.00107315 0.00751203
7.5 0.00007208 0.00054062
8 0.00030105 0.00240840
8.5 0.00001824 0.00015505
9 0.00008014 0.00072126
9.5 0.00000431 0.00004096
10 0.00001901 0.00019010
10.5 0.00000081 0.00000846
11 0.00000398 0.00004379
11.5 0.00000013 0.00000144
12 0.00000078 0.00000939
12.5 0.00000002 0.00000023
十三0.00000016 0.00000214
13.5 0.00000001 0.00000008
14 0.00000003 0.00000045
14.5 0.00000000 0.00000001
15 0.00000001 0.00000009
15.5 0.00000000 0.00000000
16 0.00000000 0.00000002
17 0.00000000 0.00000001
全部的1.00000000 -0.00854917

上表反映以下：

  • 莊家優勢 = 0.285%
  • 每輪差異 = 6.785
  • 每手波動 = 2.262
  • 每手標準差= 1.504

內部連結

撰寫者: Michael Shackleford