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21 + 3
版本 1
2001年4月，我在拉斯維加斯希爾頓酒店看到了21+3的第一個版本。邊注的賠率是基於玩家的前兩張牌和莊家的明牌。若三張牌等於同花、順子、同花順或三條，邊注的賠率為9比1。下表顯示了希爾頓飯店六副牌遊戲中每手牌的機率。
21+3 — 6副牌
| 手 | 組合 | 可能性 | 支付 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花順 | 10368 | 0.002068 | 9比1 | 0.018613 |
| 三條 | 26312 | 0.005248 | 9比1 | 0.047236 |
| 直的 | 155520 | 0.031021 | 9比1 | 0.279192 |
| 沖洗 | 236736 | 0.047221 | 9比1 | 0.424993 |
| 對子+同花 | 56160 | 0.011202 | 9比1 | 0.100819 |
| 對子（無同花） | 977184 | 0.194918 | 損失 | -0.194918 |
| 沒有什麼 | 3551040 | 0.708321 | 損失 | -0.708321 |
| 全部的 | 5013320 | 1 | -0.032386 |
以下是 4、6 和 8 副牌的莊家優勢。
- 1副牌 — 13.30%
- 2副牌 — 7.26%
- 4副牌 — 4.24%
- 6副牌 — 3.24%
- 8副牌——2.74%
版本 2
在拉斯維加斯的麗晶酒店（現更名為蘭帕特酒店），所有上述牌型，加上一對，賠率為5比2。我將此版本稱為“版本2”。此版本使用兩副牌。下表顯示，在這些規則下，賭場優勢為2.78%。
21+3 — 2副牌
| 手 | 組合 | 可能性 | 支付 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花順 | 384 | 0.002109 | 2.5比1 | 0.005272 |
| 三條 | 728 | 0.003998 | 2.5比1 | 0.009994 |
| 直的 | 5760 | 0.03163 | 2.5比1 | 0.079076 |
| 沖洗 | 8768 | 0.048148 | 2.5比1 | 0.120371 |
| 一對 | 34944 | 0.19189 | 2.5比1 | 0.479726 |
| 沒有什麼 | 131520 | 0.722225 | 損失 | -0.722225 |
| 全部的 | 182104 | 1 | -0.027786 |
版本 3
我有一份未經證實的報告稱，使用Wagerworks軟體的網路賭場使用以下支付表，我將其稱為「版本 3」。
21+3 — 版本 3 — 六副牌
| 手 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三條 | 100 | 1040 | 0.000207 | 0.020745 |
| 三條 | 33 | 25272 | 0.005041 | 0.166352 |
| 同花順 | 三十五 | 10368 | 0.002068 | 0.072383 |
| 直的 | 10 | 155520 | 0.031021 | 0.310214 |
| 沖洗 | 5 | 292896 | 0.058424 | 0.292118 |
| 損失 | -1 | 4528224 | 0.903239 | -0.903239 |
| 全部的 | 5013320 | 1 | -0.041427 |
儘管 Wager Works 在二十一點遊戲中只使用六副牌，但據我所知，3 到 8 副牌的莊家優勢如下。
21+3 — 版本 3 — 3-8 副牌
| 甲板 | 莊家優勢 |
|---|---|
| 3 | 7.76% |
| 4 | 5.99% |
| 5 | 4.89% |
| 6 | 4.14% |
| 7 | 3.60% |
| 8 | 3.18% |
版本 4
這個版本的賠付表為 30-20-10-5，被稱為「21+3 Xtreme」。下面的回報表顯示，六副牌的賭場優勢為 13.39%（哎喲！）。
21+3 — 版本 4 — 六副牌
| 手 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花順 | 三十 | 10,368 | 0.002068 | 0.062043 |
| 三條 | 20 | 26,312 | 0.005248 | 0.104968 |
| 直的 | 10 | 155,520 | 0.031021 | 0.310214 |
| 沖洗 | 5 | 292,896 | 0.058424 | 0.292118 |
| 失敗者 | -1 | 4,528,224 | 0.903239 | -0.903239 |
| 全部的 | 5,013,320 | 1.000000 | -0.133896 |
如果您碰巧看到它有六副牌以外的其他牌組，那麼這裡是不同牌組數量的預期值。
21+3 — 版本 4 — 1 至 8 副牌概要
| 甲板 | 預期的 價值 |
|---|---|
| 1 | -0.227330 |
| 2 | -0.172736 |
| 4 | -0.143780 |
| 5 | -0.137863 |
| 6 | -0.133896 |
| 8 | -0.128912 |
凱撒娛樂部落格提到，在拉斯維加斯巴黎賭場的派對區可以找到極限版的21+3。他們的幽默感讓我忍不住笑了出來：
「我們會計算這些附加賭注的勝率，但來拉斯維加斯不是為了數學，而是為了享受樂趣。而且，別介意這是一家賭場公司的博客。下次你路過巴黎拉斯維加斯的時候，可以去看看新開的‘哦啦啦派對區’（Ooh La La Party Pit）。”
嘿，到處都與數學有關，即使在 Party Pit 中也是如此！
版本 5
我在一家使用 Evolution Gaming 真人荷官的線上賭場看到了這個版本。以下是基於八副牌的賠率表。
21+3 — 版本 5 — 8 副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三條 | 100 | 2,912 | 0.000244 | 0.024446 |
| 同花順 | 40 | 24,576 | 0.002063 | 0.082524 |
| 三條 | 二十五 | 61,568 | 0.005169 | 0.129213 |
| 直的 | 10 | 368,640 | 0.030947 | 0.309465 |
| 沖洗 | 5 | 700,928 | 0.058841 | 0.294207 |
| 失敗者 | -1 | 10,753,536 | 0.902736 | -0.902736 |
| 全部的 | 11,912,160 | 1.000000 | -0.062882 |
以下是此賠付表針對不同數量的牌的莊家優勢。
- 4副牌：8.78%
- 5副牌：7.81%
- 6副牌：7.14%
- 7副牌：6.29%
版本 6
我收到一份未經證實的報告，堪薩斯城的 Ameristar 正在使用以下帶有兩副牌的賠率表。
21+3 — 版本 6 — 2 副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花順 | 7 | 384 | 0.002109 | 0.014761 |
| 三條 | 7 | 728 | 0.003998 | 0.027984 |
| 直的 | 7 | 5,760 | 0.031630 | 0.221412 |
| 沖洗 | 7 | 10,016 | 0.055002 | 0.385011 |
| 一對 | 0 | 33,696 | 0.185037 | 0.000000 |
| 失敗者 | -1 | 131,520 | 0.722225 | -0.722225 |
| 全部的 | 182,104 | 1.000000 | -0.073057 |
下表顯示了第 6 版賠償表按牌組數量劃分的莊家優勢。
21+3 — 版本 6
| 甲板 | 莊家優勢 |
|---|---|
| 1 | 13.70% |
| 2 | 7.31% |
| 4 | 4.15% |
| 6 | 3.10% |
| 8 | 2.58% |
版本 7
我聽說這個賠率表是由 Evolution Gaming 的真人荷官賭場使用的，該賭場使用八副牌。
21+3 — 版本 7 — 8 副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三條 | 100 | 2,912 | 0.000244 | 0.024446 |
| 同花順 | 40 | 24,576 | 0.002063 | 0.082524 |
| 三條 | 三十 | 61,568 | 0.005169 | 0.155055 |
| 直的 | 10 | 368,640 | 0.030947 | 0.309465 |
| 沖洗 | 5 | 700,928 | 0.058841 | 0.294207 |
| 失敗者 | -1 | 10,753,536 | 0.902736 | -0.902736 |
| 全部的 | 11,912,160 | 1.000000 | -0.037039 |
這是四副和六副牌的莊家優勢。
- 四副牌：6.39%
- 六副牌：3.70%
版本 8
我好像在全球遊戲博覽會上看過這個版本，不過不太確定。這個版本值得一提，因為它能為三張同花色A牌支付累積獎金。這是完整的賠償表。賠付以「一比一」計算。
版本 8 賠償表
| 事件 | 支付 |
|---|---|
| 同花三張 A | 大獎 |
| 同花三條 | 125 |
| 同花順 | 二十五 |
| 三條 | 20 |
| 直的 | 7 |
| 沖洗 | 3 |
下表顯示了我基於六副牌遊戲的分析。
版本 8 回表 — 六副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三張 A | ？ | 80 | 0.000016 | ？ |
| 同花三條 | 125 | 960 | 0.000191 | 0.023936 |
| 同花順 | 二十五 | 10,368 | 0.002068 | 0.051702 |
| 三條 | 20 | 25,272 | 0.005041 | 0.100819 |
| 直的 | 7 | 155,520 | 0.031021 | 0.217150 |
| 沖洗 | 3 | 292,896 | 0.058424 | 0.175271 |
| 失敗者 | -1 | 4,528,224 | 0.903239 | -0.903239 |
| 全部的 | 5,013,320 | 1.000000 | -0.334360 |
右下角單元格顯示，在考慮累積獎金價值之前，賭場優勢為33.44%。如果最低投注額為1美元，那麼每增加1000美元，賭場優勢就會降低1.60%。如果最低投注額為5美元，那麼每增加10,000美元，賭場優勢就會降低3.19%。
基於六副牌，當賭場優勢為零時，損益平衡點為：下注 1 美元贏 27,016.90 美元，下注 5 美元贏 135,084.50 美元。
版本 9
2021年1月29日，我在拉斯維加斯的Rampart賭場看到了這個版本。這個版本與版本8類似，不同之處在於，需要一張Q到A的同花三條才能中頭獎，而且是1美元的“紅燈”賭注，也就是說，賠付是按“一賠一”計算的。以下是賠付表。
版本 9 賠償表
| 事件 | 支付 |
|---|---|
| 同花三條（Q's-A's） | 大獎 |
| 同花三條（2-J） | 125美元 |
| 同花順 | 25美元 |
| 三條 | 20美元 |
| 直的 | 6美元 |
| 沖洗 | 2美元 |
下表顯示了我基於六副牌遊戲的分析。
版本 9 回表 — 六副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三條（Q's-A's） | 大獎 | 240 | 0.000048 | ？ |
| 同花三條（2-J） | 125.00 美元 | 800 | 0.000160 | 0.019947 |
| 同花順 | 25.00 美元 | 10,368 | 0.002068 | 0.051702 |
| 三條 | 20.00 美元 | 25,272 | 0.005041 | 0.100819 |
| 直的 | 6.00 美元 | 155,520 | 0.031021 | 0.186128 |
| 沖洗 | 2.00 美元 | 292,896 | 0.058424 | 0.116847 |
| 失敗者 | $- | 4,528,224 | 0.903239 | 0.000000 |
| 全部的 | 5,013,320 | 1.000000 | 0.475444 + ？ |
右下角單元格的預期回報率為47.54%，這還不包括累積獎金的價值。累積獎金中每增加1,000美元，回報率就會增加4.79%。例如，我看到這個附加投注時，累積獎金為3,886.15美元，預期回報率為66.15%。
在沒有賭場優勢的情況下，損益平衡點是累積獎金 10,957.37 美元。
版本 10
Concept Gaming 是一家為網路賭場提供遊戲的供應商，他們提供這種賭注，並稱之為「撲克」賭注。他們使用六副牌，賠率表為 100-35-20-15-5。贏錢以「一人份」計算。下表顯示玩家回報率為 95.14%。幫助文件聲稱回報率為 95.11%。您可以選擇相信哪一個。
版本 10 回表 — 六副牌
| 事件 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
|---|---|---|---|---|
| 同花三條 | 100 | 1,040 | 0.000207 | 0.020745 |
| 同花順 | 三十五 | 10,368 | 0.002068 | 0.072383 |
| 三條 | 20 | 25,272 | 0.005041 | 0.100819 |
| 直的 | 15 | 155,520 | 0.031021 | 0.465320 |
| 沖洗 | 5 | 292,896 | 0.058424 | 0.292118 |
| 失敗者 | 0 | 4,528,224 | 0.903239 | 0.000000 |
| 全部的 | 5,013,320 | 1.000000 | 0.951386 |