德州撲克 - 機率論 - 普通

七張牌中出現四條的機率為 0.00168067，同花順的機率為 0.00027851。設 x 為出現四條的機率，y 為出現同花順的機率，則求出的機率為 combin(50,2)*48*x ² *y*(1-xy) ⁴⁷ 。答案為 0.0000421845，即 23,705 分之一。

你可以參考我關於撲克機率的部分，機率是3.03%。德州撲克和七張牌梭哈的賠率是一樣的。

對於那些不知道的讀者來說，河牌是德州撲克中的第五張也是最後一張公共牌。玩家必須在自己的兩張牌和五張公共牌之間組成最好的牌型。所以，你的問題是，玩家用七張牌組成皇家同花順，而第七張牌也屬於皇家同花順的機率是多少。在不考慮牌的情況下，用七張牌組成五張皇家同花順的機率是 4*combin(47,2)/combin(52,7) = 4324/133784560，即 30940 分之一。第七張牌組成皇家同花順的機率是 5/7。所以最終機率是 21620/936491920，即 43316 分之一。

為了方便讀者，我先問一下，如果牌堆裡還剩下47張牌，用另外兩張牌填補順子中間缺口（一或兩張）的機率是多少。如果缺口是1-combin(43,2)/combin(47,2) = 0.164662。若缺口是2張，機率是4 ² /combin(47,2) = 0.0148。

剩餘 10 張同花色的牌，牌堆中剩餘 49 張。因此，機率為 combin(9,2)/combin(49,2) = 36/1176 = 0.0306。

是的，機率是一樣的。 52張牌中隨機抽取7張，無論它們是如何從牌堆中抽出的，也無論你和誰分享，抽到的機率都是一樣的。

拿A/K的機率是(8/52)*(4/51) = 0.012066。拿任一對的機率是(3/51) = 0.058824。因此，拿到一對或更好牌的機率是0.07089。拿到剛好七手A/K或更好牌的機率是combin(35,7)*(.07089)^7*(1-.07089)^28 = 0.00772。要計算7或更大的機率，我們需要逐一計算7到35的點數。總和為0.010366551。

再出現兩張同花色牌的機率為 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439。再出現三張同花色牌的機率為 combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418。因此，再出現至少兩張同花色牌的機率為 0.117857。

也感謝您的讚美。對於不熟悉德州撲克的人來說，這個問題類似於問，如果給玩家一張A和一張K，再加上剩餘50張牌中的五張隨機牌，玩家能配對出K和/或A的機率是多少。其餘50張牌中，有44張既不是K也不是A。從44張牌中抽出任五張牌的方法數為combin(44,5) = 1,086,088。從全部50張牌中抽出任五張牌的方法數為combin(50,5) = 2,118,760。因此，無法配對出A和/或K的機率為1086088/2118760 = 51.26%。因此，您能配對出的機率為1-51.26% = 48.74%。這非常接近二分之一。

兩位玩家一共9張牌，其中必須包含兩張四條和一張單張。組合數為 combin(13,2)*44 = 3432。從52張牌中抽出9張牌的組合數為 combin(52,9) = 3,679,075,400。因此，你拿到正確牌（但順序不一定正確）的機率為 3432/3,679,075,400 = 1/1,071,992。

然而，卡片是 AAAABBBBC，並不代表兩位玩家的四條牌不同。將它們排列成一手五張牌和兩手兩張牌的組合方式共有 9!/(5!*2!*2!) = 756 種。以下是這 9 張牌的可能排列方式。

四條壞牌組合

三十六

玩家 1	玩家 2	翻牌	鏡像圖案	每個模式的組合	總組合數
AA	BB	美國商務諮詢委員會	2	72
AA	AB	ABBBC	4	四十八	192
AA	AA	BBBBC	2	6	12
AA	交流電	ABBB	4	12	四十八
AA	西元前	支氣管擴張症候群	4	24	96
AB	AB	美國商務諮詢委員會	1	144	144
AB	交流電	支氣管擴張症候群	4	四十八	192

其中只有第一組和第五組牌的結果會讓兩位玩家拿到不同的四條。因此，AAAABBBBC 組合牌出現兩張不同的四條的機率為 168/756 = 22.22%。

所以你問題的答案是 (3432/3,679,075,400)*(168/756) = 4,823,963 分之一。更實際的說，派對撲克 (Party Poker) 的輸牌手牌是四個 8，就會有一個爆冷大獎 (bad beat jackpot)。假設有兩張四條，兩張都是 8 或更大的機率是 combin(7,2)/combin(13,2) = 21/78 = 26.92%。所以，兩位玩家中任一手牌贏得這個爆冷大獎的機率是 17,917,577 分之一。

從40張非人頭牌中抽出3張的方式數為(40*39*38)/(1*2*3) = 9880。從52張非人頭牌中抽出3張的方式數為(52*51*50)/(1*2*3) = 22100。因此，抽不到人頭牌的機率為9880/22100 = 44.71%。因此，抽到人頭牌的機率為55.29%。他這邊的賭注優勢為10.58%。

在考慮自己的牌之前，機率是 4× combin (13,3)/combin(52,3) = 5.1764706%。

換個角度來看，翻牌圈第二張牌與第一張同花色牌相符的機率是 (12/51)。翻牌圈第三張牌與第一張同花色牌相符的機率是 (11/50)。 (12/51)×(11/50)=5.1764706%。

如果你考慮自己的牌，賠率會略有變化。如果你有兩張同花色的牌，那麼翻牌圈出現同花色的機率為 pr(同花色同花) + pr(不同花色同花) = combin(11,3)/combin(50,3) + 3×combin(13,3)/combin(50,3) = 5.2193878%。

如果您有兩張不同花色的牌，那麼翻牌成同花的機率為 pr（同花色）+ pr（不同花色的同花）= 2×combin（12,3）/combin（50,3）+ 2×combin（13,3）/combin（50,3）= 5.1632653%。

謝謝你的讚美，但我沒那麼聰明。幾年前我參加了門薩入學考試，但沒能達到要求的前2%。他們拒絕告訴我我的成績有多好，我至今仍感到很沮喪。 1月13日，《危險邊緣》選拔賽將在拉斯維加斯舉行，我已經預約了，但肯定也會搞砸。總之，為了回答你的問題，你現在說：

持有同花底牌：

翻牌後同花：組合（11,3）/組合（50,3）= 165/19600 = 0.842％。
轉牌後同花：(combin(11,2)*39/combin(50,3))*(9/47) = 2.096%。
河牌後沖洗：(combin(11,2)*combin(39,2)/combin(50,4))*(9/46) = 3.462%。

持有非同花底牌：

翻牌後同花：0%
轉牌後同花：2*combin(12,4)/combin(50,4) = 0.430%。
河牌後同花：（2*combin(12,3)*39/combin(50,4)）*(9/46) = 1.458%。

這是累積機率。

持有同花底牌：

翻牌同花：0.842%。
轉牌同花：2.937%。
河牌同花：6.400%。

持有非同花底牌：

翻牌圈同花：0.000%
輪流同花：0.430%。
河牌同花：1.888%。

你可以用一張 A 和一張 K、Q 或 9 湊成葫蘆。剩下 2 張 A，還有 3 張 K、Q 和 9。所以這樣的組合共有 2*3*3=18 種。唯一的另一種可能性是 K、Q 或 9 對。這樣的組合共有 3*combin(3,2)=9 種。所有組合數為 47*46/2 = 1081。所以機率為 (18+9)/1081 = 2.50%。

謝謝你的讚美。你在任何一手牌拿到底牌 A 的機率是 6/1326，也就是每 221 手牌一次。根據我的十人德州撲克部分 (/games/texas-hold-em/10players.html)，假設所有玩家都堅持到最後，用底牌 A 獲勝的機率是 31.36%。但這只是一個假設。如果非要我猜的話，我估計在真正的十人遊戲中用 A 獲勝的機率大約是 70%。所以拿到底牌 A 然後輸掉的機率是 0.3*(1/221) = 0.1357%。所以，以每次 100 美元計算，每手牌損失 13.57 美分。超過 10 人，撲克室平均每手牌損失 1.36 美元，這會大幅降低抽水。我傾向於同意你的跟注策略，這會讓更多玩家留在牌局中，並增加你輸錢的幾率。

不用客氣。所以翻牌後，你拿到了四張同花，牌面上還有兩張。拿到所需花色的機率是 9*38/ combin (47,2) = 342/1081 = 31.64%。

下表顯示了1至8個高段位玩家和2至10個玩家（包括你自己）的機率。以你舉的這個例子，高段位玩家4個，總共9個玩家，機率為16.45%。我計算這些機率時假設了牌局之間的獨立性，雖然這不是一個正確的假設，但結果應該是一個接近的估計值。

自從我發表專欄文章後，我的「維加斯巫師」網站的一位讀者做了一個模擬，並發布了以下結果。感謝 Miplet 提供的表格。

較高同花順的機率依玩家總數（橫向）排名較高（向下）Miplet 模擬

更高等級	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0.69%	1.41%	2.12%	2.83%	3.54%	4.25%	4.96%	5.66%	6.36%
2	1.28%	2.60%	3.91%	5.21%	6.48%	7.77%	9.05%	10.31%	11.56%
3	1.79%	3.61%	5.41%	7.19%	8.92%	10.68%	12.41%	14.11%	15.79%
4	2.19%	4.40%	6.58%	8.75%	10.85%	12.94%	15.01%	17.04%	19.04%
5	2.50%	5.00%	7.47%	9.92%	12.28%	14.63%	16.94%	19.21%	21.43%
6	2.71%	5.40%	8.06%	10.69%	13.23%	15.74%	18.23%	20.65%	23.03%
7	2.81%	5.61%	8.36%	11.08%	13.70%	16.30%	18.86%	21.37%	23.82%
8	2.81%	5.61%	8.36%	11.08%	13.70%	16.30%	18.86%	21.37%	23.82%

謝謝。假設皇家牌由你的兩張A中的一張組成，那麼在河牌圈組成皇家牌的機率是2*46=92。這包括你底牌A的兩種花色以及額外牌的46種可能性。從50張牌中發出5張牌，一共有(50,5) = 2,118,760種組合方式。所以機率是92/2,118,760 = 23,030分之一。

任何一位玩家拿到同花的機率是combin (11,2)/combin(49,2) = 55/1176 = 4.68%。假設每手牌之間相互獨立（但事實並非如此），那麼9位玩家沒有拿到同花的機率是 (1 − 0.0468%) ⁹ = 64.98%。因此，至少有一位玩家拿到同花的機率是 1-0.6498 = 35.02%。這只是一個快速估算。如果我進行隨機模擬，我認為機率會略高一些，因為每手牌之間相互依賴。

同花，即有三張牌與你的底牌花色相同，其機率為： combin (11,3)×combin(39,2)/combin(50,5) = 122265/2598960 = 0.057706。同花，即有另外四張牌與你的底牌花色相同，其機率為：combin(11,4)×combin(39,1)/combin(50,5) = 2145/2118760 = 0.001012。同花，即有另外五張牌與你的底牌花色相同，其機率為：combin(11,5)/combin(50,5) = 462/2118760 = 0.000218。在公共牌上完成其他花色同花的機率是 3×combin(13,5)/combin(50,5) = 3861/2118760 = 0.001822。將這些數字相加，可得出 0.057706 + 0.001012 + 0.000218 + 0.001822 = 0.060759。

棋盤上五個不同等級的組合數為combin (13,5)*4 ⁵ = 1287 × 1024 = 1,317,888。

這五個點數代表三種花色、兩種花色中的兩種以及一種花色中的一種的機率為 combin(4,2)*2*combin(5,2)*combin(3,2)=360。 Combin(4,2) 表示對於出現兩次的花色，從四種花色中選出兩種的方式數。 2 表示對於出現一次的花色，從兩種方式中選出兩種的方式數。 Combin(5,2) 表示對於兩張牌中的第一種花色，從五種花色中選出兩種的方式數。 4 ⁵表示另外兩種花色，從剩下的三種花色中選出兩種的方式數。

這五個點數代表四種花色、兩種花色中的一種以及一種花色中的三種的機率是 4*combin(5,2)*3*2=240。4 表示對於出現兩次的花色，從四種花色中選出一種花色的方式數。 Combin(5,2) 表示對於該花色的兩張牌，從五種花色中選出兩種的方式數。 3 表示第一種花色，從剩下的三種花色中選出一種的方式數。 2 表示對於第二種花色，從兩種花色中選出一種的方式數。

將四種花色的牌排列在五個不同的等級上，共有 4 ⁵ =1024 種方法。

因此，出現不超過兩張相同花色的牌的機率為 (360+240)/1024 = 600/1024 = 58.59%。

從 13 個等級中排列出 5 個等級，總共有 (13,5)=1287 種組合方式。其中沒有三個等級在 5 的範圍內的組合數量是 79。這個問題沒有簡單的公式。我不得不循環遍歷所有組合。因此，等級之間足夠間隔的機率是 79/1287 = 6.14%。

因此，破損板的機率為 (1317888/2596960)*(600/1024)*(79/1287) = 1.825211%。

我被質疑破發順子的數量。以下是所有79個可能的破發順子的清單。

2378Q 2378千 2379Q 2379千 237TQ 237TK 237JQ 237JK 237QK 2389千 238TK 238JK 238QK 2479Q 2479千 247TQ 247TK 247JQ 247JK 247QK

2489千 248TK 248JK 248QK 257TQ 257TK 257JQ 257JK 257QK 258TK 258JK 258QK 267JQ 267JK 267JA 267QK 267QA 267KA 268JK 268JA

268QK 268QA 268KA 269JA 269QA 269KA 278QK 278QA 278KA 279QA 279KA 289KA 3489千 348TK 348JK 348QK 358TK 358JK 358QK 368JK

368JA 368QK 368QA 368KA 369JA 369QA 369KA 378QK 378QA 378KA 379QA 379KA 389KA 469JA 469QA 469KA 479QA 479KA 489KA

我的新Bad Beat Jackpot 部分顯示，在 10 人遊戲中出現這種 bad beat 的機率為 0.0000108，即大約 93,000 分之一。

根據我的雙人德州撲克機率，同花 K/2 的可能結果如下：

勝率 51.24%
損失44.82%
抽獎 3.94%

我的終極德州撲克賭桌顯示，玩家在「玩牌」投注上佔有優勢，但在「底注」和「盲注」投注上處於劣勢。在這種情況下，玩家的「底注」和「盲注」投注賠率很低。然而，他在「玩牌」投注上的賠率很有利。因此，透過最大限度加註，他可以從超過50%的勝率中獲得最大價值。其他兩個投注的低賠率使總價值低於50%。如果加註幅度較小，這個價值會更低。

我也不同意27億分之一這個數字。正如你所說，他們似乎獨立計算了每個玩家的機率，只針對兩個玩家都使用底牌的情況，然後相乘。用這種方法，我得到的機率是0.000000000341101，大約是29億分之一。也許27億分之一這個機率也涉及到兩個玩家機率的捨入誤差。他們顯然也忘了把機率乘以2，原因我稍後會解釋。

四張 A 輸給同花大順有以下三種可能情況。

情況 1：一名玩家有兩張同花大順，另一名玩家有兩張 A，並且牌面上有另外兩張 A、另外兩張同花大順牌以及任何其他牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

在大多數撲克室裡，要贏得爆冷大獎，贏家和輸家都必須用掉兩張底牌。影片裡的爆冷也屬於這種類型；事實上，這些牌型也正是爆冷的。

情境 2：一位玩家有兩張同花大順 (TK)，另一位玩家有一張 A 和一張「空白」牌，並且牌面上有另外三張 A 和另外兩張同花大順牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

情境 3：一位玩家有一張同花大順 (TK) 和一張空白牌，另一位玩家有兩張 A，並且牌面上有另外兩張 A 和另外三張同花大順的牌。

例子：

玩家 1：
玩家 2：
木板：

下表顯示了玩家和棋盤每種情況的組合數。右下角單元格顯示組合總數為 16,896。

然而，即使我們把兩位玩家的牌都反過來，仍然可能出現爆牌。所以，我們應該將組合數乘以2。調整後，總有效組合數為2 × 8,448 = 16,896。

雙人德州撲克所有組合的總數為( 52,2) × (50,2) × (48,5) = 2,781,381,002,400。因此，四張 A 輸給同花大順的機率為 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747，約為 1.65 億分之一。單次爆冷的機率為 4.39 億分之一。賠率沒有影片中報道的那麼低，原因很簡單，因為兩手牌有重疊，共用一張 A。換句話說，這兩個事件呈正相關。

1. 兩人桌的牌局是用一個強力循環程序完成的，它循環了所有1225張可能的對手牌和1,712,304張可能的公共牌。對於三到八名玩家來說，循環會耗費大量的時間，所以我做了一個隨機模擬。
2. 我幾乎所有的程式都是用 C++ 寫的，包括我剛才提到的兩個程式。其餘的都是用 Java 或 PERL 寫的。我大部分的程式碼都是從其他撲克程式複製貼上過來的。新程式碼看起來只需要一天就能寫完。
3. 是的，我於1997年6月出於愛好創建了我的網站。直到2000年1月，我才開始接受廣告，並嘗試將其發展成一門生意。多年來，它經歷了三個不同的域名。這是它在1999年5月的樣子。網站的宗旨始終如一，即提供基於數學的賭博策略資源。這些年來，我一直在不斷添加更多遊戲和素材。我曾經嘗試過提供2005賽季的NFL選秀信息，但最終以失敗告終。

一副牌中剩餘的50張牌，五張牌的組合數共有(50,5)=2,118,760種。其中42張牌是2-Q。 42張牌中五張牌的組合數為(42,5)=850,668種。因此，沒有拿到K或A的機率為850,668/2,118,760 = 40.15%。因此，至少拿到一張A或K的機率為1-40.15% = 59.85%。

另一種計算方法是 1 - pr(翻牌中第一張牌不是 A 或 K) × pr(翻牌中第二張牌不是 A 或 K) × pr(翻牌中第三張牌不是 A 或 K) × pr(翻牌中第四張牌不是 A 或 K) × pr(翻牌中第五張牌不是 A 或 K) = 1 × (42/50) × (42/50) × (9419) = 1 × (42/50) × (38/46) = 59.85%。

再湊成兩張同花色的牌，組合數有 (11,2)=55 種，湊成一張不同花色的牌則有 39 種。翻牌圈的牌型組合共有 (50,3)=19,600 種。因此，翻牌圈湊成同花的四張牌的機率為 55×39/19,600 = 10.94%。

通常情況下，我厭倦了關於爆冷門（bad beat）的問題，但這題實在太難了，我實在無法忽視。在一場雙人遊戲中，如果雙方都有底牌對子，那麼在第一張牌發出之前，四張K被四張A擊敗的機率是 2 * combin (4,2) * combin (4,2) * 44 / ( combin (52,2) * combin (50,2) * combin (48,51) = 262, 130 * 136 1225 * 1712304) = 877,961,175 分之一。這是一場六人遊戲，所以共有 combin (6,2) = 15 種不同的玩家對子。在六人遊戲中，這個機率要高出 15 倍，即 58,530,745 分之一。發出所示底牌後，翻牌前，該手牌以原樣結束的機率為 38,916 分之一。

假設你的第一手同花是黑桃。每小時35手，五小時內可以玩175手。那你就有175手牌來組成紅桃、方塊和梅花的同花。我假設玩家永遠不會放棄任何有可能組成他需要的花色之一的同花的牌。

使用兩張底牌湊成特定花色（如紅桃）的同花的機率為：combin(13,2)×[combin(11,3)×combin(39,2) + combin(11,4)×39 + combin(11,5)]/(combin(52,2)×combin(50,5))) 10576566/2809475760=0.003764605。在接下來的175手牌中，湊不成紅桃同花的機率為 (1-0.003764605) ¹⁷⁵ =0.51682599。

假設其他三張牌湊不齊的機率為pr（無紅桃同花）+pr（無方塊同花）+pr（無梅花同花）是不正確的，因為你會重複計算湊不齊其中兩張牌的機率。所以你應該加上pr（無紅桃或方塊同花）+pr（無紅桃或梅花同花）+pr（無梅花或方塊同花）。然而，這會錯誤地多減未能湊齊所有三張牌的機率。所以你應該加上pr（無梅花、方塊或紅桃同花）。

進行 175 手牌並且從未獲得任何兩張特定花色的機率是 (1-2×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.266442448。

進行 175 手牌並且永遠無法獲得剩餘三種花色的機率是 (1-3×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.137015266。

所以答案是 1-3×0.51682599 + 3×0.266442448 - 0.137015266 = 0.111834108。

非常感謝dwheatley對這個問題的幫助。這個問題在我的「Wizard of Vegas 」論壇上討論過。

給定兩張不同點數的牌，湊成葫蘆的機率是1/121.6。河牌湊成葫蘆的機率是1/207。

在兩次河牌圈拿到這種牌的機率是 43,006 分之一。

如果起始牌是相同的兩張牌（僅在等級上），則發生這種情況的機率為 3,564,161 分之一。

兩次恰好出現 10-2 的機率是 295,379,826 分之一。

答案和解決方案出現在以下劇透標籤中。

[/spoiler]

在任何給定時間，您可能處於四種狀態：

• 狀態 1：第一手牌或最後一手牌不是口袋對的任何一手牌。
• 狀態 2：最後一手牌是一對底牌。
• 狀態 3：最後兩手牌是相同的底牌對。
• 狀態 4：已經連續出現三個相同的口袋對。

如果你處於狀態 1，那麼你進入狀態 2 的機率是 3/51。否則，你仍處於狀態 1。

如果你處於狀態 2，那麼你可以以 (4/52)×(3/51) 的機率進入狀態 3。否則，你將返回狀態 1。

如果你處於狀態 3，那麼你可以以 (4/52)×(3/51) 的機率進入狀態 4。否則，你將回到狀態 1。

如果您處於狀態 4，則您留在那裡。

也就是說，您可以如下建立轉換矩陣 T：

總共玩了 120 手牌，因此求出 T^120。

右上角的單元格向我們展示了從狀態 1 開始，在三手序列中經過 120 手起手牌後進入狀態 4 的機率，即 0.000141471。

取該數字的倒數，機率是 7068.605131 分之一。

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這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

我不得不為此進行模擬。在我的模擬中，我假設沒有人會棄牌。在近22億輪的模擬中，這種情況發生了312次。這相當於大約七百萬分之一的機率。