輪盤賭 - 常問問題

你將有2/38的機率贏得140美元，24/38的機率贏得5美元，以及12/38的機率損失40美元。總體期望回報為[(2/38)*140 + (24/38)*5 + (12/38)*-40]/40 = -5.26%。這與雙零輪盤中每次投注的莊家優勢相同（除了0-00-1-2-3組合，其莊家優勢為7.89%）。

你說得對，中獎機率是24/38，也就是大約63%。然而，你得冒200美元的風險，才能贏100美元。如果你想進一步提高中獎機率，那就押注任意35個號碼。中獎機率將達到92%。

只要你避開0-0-0-1-2-3的組合，任何投注組合的賭場優勢始終是1/19，即5.26%。有一些方法可以提高你的贏錢機率，但代價是贏錢金額相對於你的總投注金額會減少。

4次中任三次任意數字的機率是38*4*(1/38) ³ *(37/38) = 1/5932。然而，如果你玩得夠久，幾乎會忍不住注意到類似的異常情況。這遠不至於引起懷疑。在現實賭場中確實存在作弊行為。通常情況下，被賭場保全抓到的都是不法荷官。雖然有一些針對線上賭場的作弊案件，但據我所知，還沒有政府機構判處任何人有罪。

請參閱我的《賭博十誡》 。第六誡是「切勿兩面下注」。關於您的輪盤賭問題，如果一次只押一個數字，則輸掉所有十個數字的機率為 (37/38) ¹⁰ = 76.59%。如果一次性將十個數字押在不同數字上，則輸掉所有十個數字的機率為 (28/38) = 73.68%。透過對沖，即一次性押註十個數字，您可以降低全輸的機率，但也將最高贏利限制在 26 美元。如果一次押一個數字，則最高贏利可達 350 美元。這兩種方法的總預期回報率相同，均為 94.74%。

有30種方式可以贏得15美元，有6種方式可以輸掉135美元，還有2種方式可以贏得45美元（而不是40美元）。這種投注組合的預期回報為((30/38)*15 + (6/38)*-135 + (2/38)*(45))/135 = -0.0526，即5.26%，只要避免可怕的0-0-0-1-2-3組合，任何一種投注或投注組合的賭場優勢就為5.5.5。在你的觀察中，你可能看到的出現次數比預期的要少，只有19-24次，這解釋了為什麼你會誤以為這種方法會贏。

你只是在重複賭徒謬誤。如果球在一個公平的輪盤上連續100次落在奇數位置，那麼下一輪是偶數的機率仍然和每次一樣，在雙零輪盤上是47.37%。所以，即使你不用下注也能旋轉，這根本沒用。球沒有記憶。

我聽說過這兩種伎倆都被用過。我對計時輪盤的裝置了解不多，只知道它們確實存在，而且時不時有人使用。在內華達州，這種裝置是絕對違法的。我聽說利用偏差的輪盤犯案的案例更多，而且這種事已經發生過很多次了。我認為使用老式輪盤的賭場是最容易被利用的目標。多年來我一直在說，我認為阿根廷就是一個成熟的目標。

如果最大損失為255個單位，那麼您最多可以下注8次。連續輸掉8次的機率為(19/37) ⁸ = 0.004835。因此，您贏得一個單位的機率為99.52%，輸掉255個單位的機率為0.48%。

每 37 對數字中，預期會出現一次重複。所以，36 個數字對應 35 對數字。因此，預期重複次數為 35/37 = 0.9459。

告訴我誰在公平的輪盤賭中贏錢，我就能告訴你誰只是運氣好，很可能會輸光所有錢。你只有巧妙地利用優勢才能在輪盤賭中獲勝，例如利用偏差的輪盤，或精準地控制輪盤。

賭場無需訴諸此類策略即可贏錢。此外，賭場無需害怕累積獎金玩家。大多數累積獎金玩家都能贏錢，但少數達到資金上限的玩家會為所有贏家支付賠款，賭場還會因此損失一部分。此外，要故意將球旋轉到特定區域需要高超的技巧。我認為，這很難做到非常精準。

謝謝你的讚美。首先，任何等額投注的標準差是0.998614，單一數字的標準差是5.762617。在1、100和10000次旋轉中，透過等額投注平注獲勝的機率分別為0.473684、0.265023和0.00000007。在1、100和10000次旋轉中，透過單一數字平注獲勝的機率分別為0.0263158、0.491567和0.18053280。你似乎想說，單一數字投注更好，因為其獲勝的機率高於多個投注。這話沒錯，但是，巨額虧損的機率也更大。在一個回合中，預期結果總是落在鐘形曲線的某個位置。對於低波動性投注（例如紅色或黑色），鐘形曲線很陡峭，不會偏離小額虧損太遠。對於高波動性投注（例如單一數字），鐘形曲線很寬，允許更大的淨結果範圍，包括好結果和壞結果。

他只是運氣好而已。我已經說過無數次了，沒有任何投注系統可以經得起時間的考驗。

馬丁格爾策略在每場遊戲中都很危險，長遠來看永遠不會贏。然而，它在百家樂中比在輪盤賭中更適合使用，因為百家樂的莊家優勢更低。玩家連續贏8次的機率是0.493163^8 = 286分之一。另外，請記住，你可能在系列賽後期贏了一手牌，但仍然會因為委託而落後。例如，如果你最初下注1美元，在第7手牌贏了，你將贏得60.80美元（64美元*95%），這不足以彌補之前輸掉的63美元。

不完全是。您有 12/38 的機率贏得 3 個單位，12/38 的機率不贏不賠，14/38 的機率輸掉 3 個單位。預期值為 [(12/38)*3 + (12/38)*0 + (14/38)*-3]/3 = (-6/38)/3 = -2/38 = -5.26%。任何投注組合都適用，只要您避開可怕的 5 個數字組合 (0/00/1/2/3)。如果您只玩一輪，並且想要最大化您的獲勝機率，那麼請在 35 個數字上均等投注。您將有 92.11% 的機率贏得 1 個單位，而輸掉 35 個單位的機率為 7.89%。

7500次旋轉？就這些嗎？如果下注積極，任何人都可以在7500次旋轉中獲得相當於總投注金額7.94%的利潤。 15000次旋轉也是如此。大多數系統的設計初衷就是為了獲得大量小額收益和少量巨額虧損。一個需要巨額資金的系統很容易在15000次旋轉後就獲利。但最終虧損會接踵而至，它經不起時間的考驗。巨額虧損也可能在一開始就出現。檢驗一個系統的真正方法是進行數十億次的試驗。我對這些系統的看法和所有系統一樣，它們一文不值。我不介意你嘗試一下，但我不介意有人把一分錢塞進賣主的口袋裡。

注意：請參閱下一欄對此問題的後續內容。

您說得對，儘管目標和本金相同，但選項B的成功機率更大。原因是選項B的平均投注金額較小，因此您的資金承受的莊家優勢較小，從而獲勝的機率更高。選項A的投注金額始終為500美元。選項B的平均投注金額為(12/37)*125 + (25/37)*(12/37)*(125+187.5)+ (25/37)*(25/37)*(125+187.5+187.5) = 337.29。

當我參加拉斯維加斯挑戰賽時，離比賽結束還有幾分鐘，我手頭上大約有8000美元，需要至少贏到24000美元。所以我把資金分成四堆，每堆2000美元，每堆都押註一個4個數字的組合，每個組合的賠率是22000美元。這樣，我就不必把全部賭注都押在賭場優勢上，這增加了我贏錢的機率。

我衡量投注價值的標準是預期回報，而不是中獎機率。因此，投注全部38個數字的莊家優勢為2/38 = 5.26%，與投注單一數字或任多個數字的莊家優勢相同。雖然投注全部38個數字淨贏的機率為0%，但缺點是只損失總投注金額的5.26%。如果被迫投注，並且希望最小化差異，那麼您應該投注全部38個數字。舉個實際的例子，如果您有促銷籌碼需要下注，而您不想冒險，那麼就投注所有籌碼以獲得準確的預期價值。因此，回答您的問題，沒有最佳的數字範圍。所有範圍的預期價值都相等。

首先，我要說這傢伙是個傻瓜。他在一個普通的美式輪盤賭上押了13.8萬美元，這個輪盤有兩個零，賭場優勢是5.26%。這相當於預期損失7,263美元。然而，如果他坐10分鐘的車去百樂宮、幻影酒店或阿拉丁酒店，他完全可以在單零輪盤賭上押注，因為單零輪盤遵循歐式規則，如果球落在零上，他會退還一半的等額投注。反正他打算押等額投注。所以，在這些完全遵循歐式規則的輪盤賭上，他的賭場優勢只有1.35%，預期損失只有1865美元。

回答你的問題，如果被迫只進行一次等額賭注，我會選擇百家樂中的莊家賭注，其賭場優勢為 1.06%。

破產風險問題在數學上很複雜。除非是簡單的輸贏遊戲，否則我建議在電腦上進行隨機模擬。

大西洋城有很多單零輪盤。那裡的大多數賭場都有，但最低投注額為25美元。

1. 不
2. Casino on Net 使用單零輪盤。因此，出現 16 次零的機率為 (25/37) ¹⁶ = 0.1887%。
3. （25/37） ¹⁷ = 0.1275%。

在雙零輪盤遊戲中，任意數字在 10 次旋轉中恰好出現 5 次的機率可以近似為 38* combin (10,5)*(1/38) ⁵ *(37/38) ⁵ = 1/359275。

謝謝。你說得對。通常情況下，6比5二十一點的莊家優勢是1.44%，而雙零輪盤賭的莊家優勢是5.26%。這差了3.7倍。然而，這些年來我的經驗是，無論莊家優勢有多差，要讓玩家離開他們喜歡的遊戲幾乎是不可能的。所以我能做的最好的就是建議他們如何玩他們喜歡的遊戲。對二十一點玩家來說，3比2的遊戲仍然不缺。玩6比5會為賭場帶來額外的0.8%的優勢，這毫無道理。我還強調，如果你是輪盤賭玩家，尋找單零輪盤賭非常重要。所以我認為兩者並無矛盾。

輪盤賭通常有兩個最低投注。例如：外圍投注 5 美元，內圍投注 1 美元。外圍投注包括所有等額投注、列註和十二註。內圍投注則指投注數字，包括 2、3、4、5 和 6 的數字組合。在這種情況下，外圍投注的最低投注額為 5 美元，內圍投注的最低投注額為 1 美元。但是，內圍投注的總投注額必須至少為 5 美元，否則不投注。

我站在你這邊。如果真能做到這一點，那麼荷官就能輕易地與玩家合謀，瓜分利潤。但我從未聽過這種情況。一個很好的測試方法是找一個聲稱能夠影響擲骰結果的人，讓他在 100 次旋轉中盡可能多地嘗試將骰子投到輪盤的特定半邊。他嘗試的次數越多，他的說法就越有說服力。下表顯示了 50 到 70 次旋轉成功的機率。例如，60 次或更多次旋轉成功的機率是 2.8444%。統計學中常見的置信閾值是 90%、95% 和 99%。要通過 90% 置信度測試（其中隨機旋轉失敗的機率為 90%），成功旋轉的次數需要達到 57 次或更多。要通過 95% 的測試，成功旋轉的次數需要達到 59 次或更多，而 99% 的測試則需要達到 63 次或更多。

至少 50 到 70 次輪盤賭成功旋轉的機率

勝利	可能性
70	0.000039
69	0.000092
68	0.000204
67	0.000437
66	0.000895
65	0.001759
64	0.003319
63	0.006016
62	0.010489
61	0.0176
60	0.028444
59	0.044313
58	0.066605
57	0.096674
56	0.135627
55	0.184101
54	0.242059
53	0.30865
52	0.382177
51	0.460205
50	0.539795

我試圖找到那個遊戲，但當我查看時，網站已經癱瘓了。然而，假設這樣的遊戲確實存在，答案是否定的。從長遠來看，沒有任何系統能夠擊敗它，也不會輸給它。每個系統的預期值都恰好為零。

無論第一個數字是多少，只有第二個旋轉匹配它的機率是 (1/37)*(36/37)。只有第三個旋轉匹配它的機率是 (36/37)*(1/37)。兩個旋轉都不匹配，但第二個和第三個旋轉互相匹配的機率是 (36/37)*(1/37)。第二個和第三個旋轉都符合它的機率是 (1/37)*(1/37)。將所有這些加起來，您將得到 3*(1/37)*(36/37)+ (1/37)*(1/37) = 7.962%。

我嘗試在那裡註冊一個帳戶來查看情況，但他們封鎖了美國玩家。我被告知最低投注額為2英鎊，最高投注額為50英鎊。即使是像無零輪盤這樣的零莊家優勢遊戲，也沒有任何投注系統能夠超過或低於0%這個數字。無論你做什麼，你投注的越多，實際莊家贏利就越接近0%。

我曾經看過一個關於他的電視節目，我很欣賞他的做法。我所定義的「系統」是指一種投注模式，例如馬丁格爾策略，應用於具有莊家優勢的遊戲，例如公平的輪盤賭。 Gonzalo Garcia-Pelayo成功做到的是調查球落在每個數字上的機率，以便發現並利用存在偏差的輪盤賭機制。我稱之為策略，而不是系統。有很多可以擊敗賭場的獲利策略，但卻沒有獲利的投注系統。

不。

謝謝你的讚美。我想我之前回答過這個問題，但答案是否定的。即使沒有賭場優勢，從長遠來看，仍然沒有任何投注系統能夠獲勝。

這遠非我第一次聽到這種說法，我對此深表懷疑。大多數荷官也相信一些流言蜚語，例如糟糕的三壘手會導致其他玩家在二十一點遊戲中輸錢，所以總的來說，他們並不是最懷疑的一群人。我認為真正的原因是，他們記得自己成功控制旋轉的次數，卻輕易忘了失敗的次數。就像他們記得三壘手搶走荷官爆牌的次數，卻忘了他拯救牌桌的次數一樣。

如果荷官真能做到這一點，那麼很容易就能找到同夥，讓他贏，讓其他玩家輸，以此來彌補損失。只要他們按照正確的程序進行旋轉，並且不與同夥一起出現在公共場合，這一切看起來就完全合法。然而，你從未聽過這種事。我想那些相信的人可能會說，這樣做的人只是在保持低調，但那些相信毫無價值的投注系統的人也會這麼說。如果這真的像你工作的輪盤賭荷官說的那麼容易，那麼由此產生的作弊問題就會非常猖獗。

任何給定數字不會命中的機率是 (37/38) ²⁰⁰ = 0.48%。

對於 38 個數字，我們可能會錯誤地說其中任何一個數字都不會被擊中的機率是 38 × (37/38) ²⁰⁰ = 18.34%。

這是不正確的，因為它重複計算了兩個未中數字的機率。所以我們需要減去這些機率。 38 個數字中，有(38,2) = 703 組，每組 2 個。任兩個給定數字未中機率為 (36/38) ²⁰⁰ = 0.000020127。我們需要減去兩個數字都未中的情況。因此，我們得到：

38×(37/38) ²⁰⁰ - 組合(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ = 16.9255%。

然而，現在我們已經抵消了三個號碼未中獎的機率。對於任何給定的三個號碼組，我們將任意一個號碼未中獎的機率計算三次。然後，我們分別減去三次，從三個號碼中選出兩個號碼，最後三個號碼全部未中獎的機率為零。共有 combin(38,3)=8,436 個這樣的組別。將它們加回去，我們現在得到：

38×(37/38) ²⁰⁰ - 組合(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + 組合(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ = 16.9862%。

然而，現在我們高估了四個號碼未中獎的機率。對於 combin(38,4)=73,815 組四個號碼中的每一組，最初都計算了四次。然後，我們減去了 combin(4,2)=6 組（每組 2 個號碼）中的每一組。之後，我們又加回了 4 組（每組 3 個號碼）的 3 個號碼。因此，對於每個四個號碼的並集，它被計算了 4 − 6 + 4 = 2 次。為了調整重複計算，我們必須對每一組進行減法。減去這些數字後，我們現在得到：

38×(37/38) ²⁰⁰ - 組合(38,2)×(36/38) ²⁰⁰ + 組合(38,3)×(35/38) ²⁰⁰ - 組合(38,4)×(34/38) ²⁰⁰ = 16.9845%。

繼續這個過程，我們會不斷交替進行加減運算，直到失去37個數字。因此，至少一個數字永遠不會被選中的機率是：

總和 i=1 至 37 [(-1) ⁽ⁱ⁺¹⁾ × combin(38,i) × ((38-i)/38) ³⁸ ] = 16.9845715651245%

以下是對 126,900,000 個這樣的 200 次旋轉實驗進行隨機模擬的結果。

至少一個數字未被擊中的次數比率為 0.169833。

可悲的是，無知的程度甚至會上升到相當高的程度。我並不否認專家可以計算出輪盤旋轉速度有多慢。然而，撇開這個問題不談，更換荷官並不能改變賠率。沒有幸運或不幸的荷官之說。迷信很難戒除。正如我多次說過的，一種信念越荒謬，就越容易被人們固執地堅持下去。

如果我的術語正確的話，「預測輪盤」是指根據球速、球位置和輪盤速度來預測球的落點。聽起來你的做法是利用偏向性輪盤，這是一種不同的優勢玩法。既然我們討論的是這個話題，那麼第三種優勢玩法就是利用“荷官簽名”，荷官的玩法非常穩定，以至於每次旋轉球和輪盤的速度幾乎都相同。這使得玩家能夠根據球的位置和過往結果來預測球的落點。

回答你的問題，你預期中獎的次數是 8672/37=234.38。變異數是 8672×(1/37)×(36/37)=228.04。標準差是變異數的平方根，即 15.10。你的中獎次數比預期多了 278-234.38=43.62。也就是 (43.62-0.5)/15.10 = 2.8556 個標準差。減去 0.5 的原因很難解釋。簡而言之，這是一個使用連續函數估計離散函數的調整因子。進行高斯近似，中獎次數達到或超過這個數字的機率是 0.21%。所以，你很有可能遇到了一個有偏差的輪盤。然而，仍有 1/466 的可能性，這只是運氣好而已。

如果他押注閒家，計算起來就容易多了。我在我的 mathproblems.info 網站上算過一個類似的輪盤賭題，題號 116。對於等額投注，通用公式是 ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1)，其中：

b = 起始資金（以單位計）。
g = 資金目標（以單位計）。
p = 贏得任何給定賭注的機率，不包括平局。
q = 在任何給定賭注中失敗的機率，不包括平局。

此處，玩家初始資金為1200萬美元，即60個單位，每個單位20萬美元，並將一直玩到資金達到120個單位或破產。因此，在玩家下注的情況下，等式值為：

b = 60
克= 120
p = 0.493175
q = 0.506825

所以答案是 ((0.506825/0.493175) ⁶⁰ -1)/(( 0.506825/0.493175) ¹²⁰ -1) = 16.27%。

由於莊家投注有5%的佣金，情況要複雜得多。這會導致玩家超額完成目標的可能性很高。如果我們增加一條規則：如果贏錢的賭注能夠幫助玩家實現目標，那麼他只需下注達到1200萬美元所需的金額，那麼我估計他成功的機率為21.66%。

資金翻倍機率的一個更簡單的公式是 1/[1+(q/p) ^b]。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

計算第一次試驗，我顯示平均值為 8.408797，中位數為 8，眾數為 7。

兩個數字不重複的機率是 37/38 = 97.37%。

三個數字不重複的機率是（37/38）×（36/38）= 92.24％。

四個無重複數字的機率為 (37/38)×(36/38)×(35/38) = 84.96%。

依照這個模式，8 個數字中沒有重複的機率是 (37/38)×(36/38)×(35/38)×...×(31/38) = 45.35%。

因此，8 個數字內重複的機率為 100% - 45.35% = 54.65%。

我猜大多數人會認為8個數字以內重複的機率會低於這個數字。如果你不介意佔你數學不好的朋友的便宜，可以跟他們打賭，至少有一個數字重複的機率是8個或更少。這樣你就押8個或更少，你的朋友押9個或更多。如果他/她猶豫不決，那就押7個或以上，這樣贏的機率是55.59%。基本上，任何一方的中位數是8的一方都有可能贏。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

不，他錯了。安迪的單註策略的機率是1/38 = 2.6316%。

經過多次反覆試驗，我設計出了「萬福瑪利亞」輪盤策略，將 30 美元變成 1,000 美元的幾率提高到 2.8074%。

巫師的輪盤賭「萬福瑪利亞」策略：

此策略假設投注必須以 1 美元為增量。所有投注計算均向下取整。

讓：
b = 您的資金
g = 你的目標

1. 如果 2*b >=g，則在任何等額賭注上投注 (gb)。
2. 否則，如果 3*b >=g，則在任意列上投注 (gb)/2。
3. 否則，如果 6*b >=g，則在任意六行（六個數字）上投注 (gb)/5。
4. 否則，如果 9*b >=g，則在任意角（四個數字）下注 (gb)/8。
5. 否則，如果 12*b >=g，則在任意街道（三個數字）上投注 (gb)/11。
6. 否則，如果 18*b >=g，則在任何分割（兩個數字）上投注 (gb)/17。
7. 否則，對任意單一數字下注 (gb)/35。

換句話說，盡量只用一次投注就達到目標，但不要超過目標金額。如果有多種方法可以實現目標，那就選擇獲勝機率最大的那個。

你可能會問，其他遊戲怎麼樣？探索頻道的配音員說：「大家都同意輪盤賭是賭場裡最好的快速致富計畫。」 好吧，我不這麼認為。即使只限於常見的遊戲和規則，我也覺得擲骰子比較好。尤其是在押注不及格和下注賠率方面。

按照我的擲骰子「萬福瑪利亞」策略（下文會解釋），30 美元變成 1,000 美元的機率是 2.9244%。這假設玩家可以下注 6 倍賠率，無論點數是多少（即允許 3 倍、4 倍或 5 倍賠率下注的情況）。這個成功機率比我的輪盤「萬福瑪利亞」策略高 0.117%，比安迪·布洛赫策略高 0.2928%。

安迪可能會辯稱，我上述論點依賴最低下注額為 1 美元的假設，這在拉斯維加斯的真人荷官遊戲中很難實現。考慮到有人會這麼說，我把最低下注額設為 5 美元，並以 5 美元為增量進行下注，並以此為前提，玩了兩局遊戲。在這種情況下，使用我的「萬福瑪利亞」策略，在輪盤賭中獲勝的機率為 2.753%，在擲骰子中獲勝的機率為 2.891%。這兩種情況下，都高於安迪·布洛赫策略下的 2.632%。

平心而論，探索頻道絕不會把上面那段瘋狂的咆哮搬上電視，他們肯定想找一些大眾能理解的簡單易懂的內容。安迪肯定在跟他們講他們想聽的東西。他建議的基本前提是，如果你想達到某個目標，那麼「打了就跑」的策略比讓賭場優勢把你壓垮在多重賭注下要好得多。這絕對是真的，也是我17年來一直在宣揚的理念。

巫師的擲骰子「萬福瑪利亞」策略。

此策略假設投注必須以 1 美元為增量，且贏取的金額將向下取整至最接近的美元。計算投注時，切勿下注過多，以免超出目標金額。此外，切勿下注超過四捨五入金額。

讓：
b = 您的資金
g = 你的目標

1. 在不通過的情況下下注 max($1,min(b/7,(gb)/6))。
2. 如果擲出一個點，並且你的籌碼足夠進行全額賠率投注，那麼就押全額賠率。否則，盡可能押注。

所以，我希望安迪和探索頻道能夠開心。我花了好幾天進行模擬，就是為了證明他們錯了。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。

一般公式為：

Pr(球落在 1) + Pr(球落在 2) + Pr(球落在 3) - Pr(球落在 1 和 2) - Pr(球落在 1 和 3) - Pr(球落在 2 和 3) + Pr(球落在 1、2 和 3)。

在雙零輪盤賭中，對於 n 次旋轉，結果為 3*(1-(37/38)^n)-3*(1-(36/38)^n)+(1-(35/38)^n)。

下表顯示了單零和雙零輪盤賭中從 3 到 100 次旋轉中滾動出所有三個數字的機率。

0和00的中獎機率分別為1/36。如果投注這些結果的賠率是通常的35比1，那麼賭場優勢就剛好是0%。

其他任何數字的中獎機率為 (34/36)*(1/36) = 2.62%。相較之下，傳統雙零輪盤的中獎機率為 1/38=2.63%。投注 1 至 36 的莊家優勢為 5.56%。相較之下，傳統雙零輪盤的莊家優勢為 5.26%。我建議在這款遊戲中只投注零和雙零。

如果有人可以確認或否認這些規則和報酬，請告訴我。

下圖按順序顯示了您在輪盤上的結果。藍線表示您的結果。紅線表示您需要的數字 207.11，以克服 5.26% 的賭場優勢。

對此分佈進行卡方檢定，結果顯示自由度為 37，統計量為 68.1。出現這種或以上偏態分佈的機率為 1/725。

我認為卡方檢定並非適用於這種情況的最佳方法，因為它沒有考慮結果的順序，但我也不知道有更好的檢定方法。有人建議使用Kolmogorov-Smirnov 檢驗，但我認為這並不合適。如果有其他適當的檢驗方法，我洗耳恭聽。

我可以說，如果你押注圍繞數字5的3個數字弧，那麼你記錄的旋轉次數將獲得10.57%的利潤。然而，如果你押注圍繞數字5的7個數字弧，利潤率就會下降到2.84%。

如果非要用簡單易懂的語言來回答，我會說輪盤確實有偏見，但並非確鑿無疑的證據。然而，這種偏見可能不足以顯著且自信地克服賭場優勢。假設賭場不在賭桌之間調換輪盤，我認為在下大注之前應該收集更多數據。很抱歉，我的回答如此模稜兩可。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

求平均值要容易得多，所以我們就從平均值開始。讓我們一步一步來：

• 第一次旋轉肯定會出現一個新數字。
• 第二次旋轉出現新數字的機率為 36/37。若某事件的機率為 p，則該事件發生的預期嘗試次數為 1/p。在這種情況下，出現第二個數字的預期嘗試次數為 37/36 = 1.0278。
• 觀測到兩個數字後，下次旋轉出現新數字的機率為35/37。因此，觀測到第二個數字後，預期旋轉次數為37/35 = 1.0571。
• 依照這個邏輯，看到每個數字的平均旋轉次數是 1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690。

中位數要複雜得多。為了找到確切的答案，與使用隨機模擬不同，我們需要運用大量的矩陣代數運算。我已經在其他「問巫師」問題中討論過如何解決類似的問題，因此不再贅述。類似問題的一個例子是連續三次擲出一對 6-6 的機率，正如「問巫師」#311中所討論的。可以說，在 145 次旋轉中看到所有數字的機率是 0.49161779，在 146 次旋轉中看到所有數字的機率是 0.501522154。因此，中位數是 146。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

與紅色相同，在雙零輪盤上的機率為47.37%，即18個黑色數字除以總共38個數字。

確實如此，但這並不重要。這與連續出現20次紅色後出現黑色的概率是相同的。事實上，在輪盤賭這類獨立試驗的遊戲中，過去的結果並不影響未來。

這可能是所有賭博系統中最為人所知的一種，稱為「馬丁格爾」。賭徒們自古以來便構思並使用它。如同所有賭博系統，它不僅無法克服莊家的優勢，甚至無法對其造成絲毫影響。原因在於賭徒終將遭遇一段糟糕的連敗，使得其資金不足以再次加倍下注。

這被稱為反馬丁格爾策略，同樣毫無價值。當你的資金被逐漸磨損至零的次數，將超過你達到目標時的贏利。無論你使用何種投注系統，或根本不使用任何系統，玩的次數越多，你在雙零輪盤中損失的金額與投注金額的比例將越接近5.26%。

[/spoiler] 答案是 3872789/118098 =~ 32.79301089 次旋轉。 [/劇透]

這是我的解決方案（PDF）。

「三分法」指出，如果輪盤上的每個數字都旋轉一次，則大約有 1/3 的數字永遠不會出現。

1/3 確實是相當糟糕的估計。更好的估計值應該是 1/e =~ 36.79%。雙零輪盤的真實百分比是 36.30%。

下表顯示了在 38 次雙零輪盤旋轉中觀察到 1 到 38 個不同數字的機率。

表格顯示，最有可能的結果是 24 個不同的數字，機率為 20.49%。平均值為 24.20656478。

有些江湖騙子會說，玩家應該觀察前九個不同的結果，然後押注，因為他們錯誤地認為這些結果比其他數字更有可能出現。這完全是錯誤的！輪盤和球沒有記憶。在公平的輪盤上，每個數字都有同等的可能性，過去的數字並不重要。