概率 - 骰子

[Bluejay 補充說：呃，是的，但我覺得重點是這是為了慈善事業。哪個更有趣：捐 1 英鎊給慈善機構，除了幫忙的快感什麼也得不到，還是捐 1 英鎊，除了快感之外，還有贏得一輛車的幾率？ ]

• 五張同點牌：6/6 ⁵ = 0.08%（顯而易見）
• 四張同點牌：5*6*5 = 1.93%（單張的 5 種可能位置 * 四張同點牌的 6 種等級 * 單張的 5 種等級）。
• 葫蘆：combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3.86%（combin(5,3) 三條的位置 * 三條的 6 個等級 * 對子的 2 個等級）。
• 三張同點牌：COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15.43%。 (combin(5,3) 三張同點牌的位置 * combin(2,1) 較大單張牌的位置 * 三張同點牌的 6 個等級 * combin(5,2) 兩張單張牌的等級。）
• 兩對：COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23.15%（較高對的組合(5,2) 位置 * 較低對的組合(3,2) 位置 * 兩對的組合(6,4) 位置 * 較低對的組合(3,2) 位置 * 兩對的組合(6,4) 排名 * 排名單對的 4 排名）。
• 配對：COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46.30%（配對的 combin(5,2) 位置 * 三個單例的 fact(3) 位置 * 配對的 6 個等級 * 單一的 combin(5,3) 等級）。
• 直線：2*fact(5) / 6 ⁵ = 3.09%（直線的2個跨距{1-5或2-6} * fact(5) 方式排列順序）。
• 無：((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6.17%（combin(6,5) 種方法從六個等級中選擇五個等級，減去 2 個直線等級，* fact(5) 種方法來排列順序。

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n= log(1-w)/log(1-p)

所以在你的例子中，n = log(1-.5) / log(1-(1/36)) = log(0.5) / log(35/36) = 24.6051。所以，如果24.6次投擲的成功機率是50%，那麼24次投擲的成功機率一定會略低。

3個骰子：25.93%
4個骰子：48.77%
5個骰子：66.13%。

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)，且
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

求解這兩個方程式...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
（1/36）*Ex（x）= 7/6
例如（x）= 36 *（7/6）= 42

因此連續兩次擲出 2 的平均等待時間為 42 次。

我遇到了相同類型的問題，只有預期翻轉才能得到兩次正面，在我的數學問題網站上，請參閱問題 128。

（8/36） ⁿ = 1/41,400,000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41,400,000)

n × log(8/36) = log(1/41,400,000)

n = log(1/41,400,000)/log(8/36)

n = -7.617 / -0.65321

n = 11.6608

所以，超級樂透中獎的機率，相當於連續11.66次擲7或11的機率。對於那些無法理解「部分投擲」的人，我建議將其理解為連續擲出11到12次的機率。

基本上，6 和 8 是更好的選擇，因為您可以按任意順序擊中這些數字：6 然後 8，或 8 然後 6。如果有兩個 7，則只有一個順序，即一個 7 然後另一個 7。

2.5% 的顯著水準是與預期值相差 1.96 個標準差。這可以在 Excel 中使用公式 =normsinv(0.025) 計算得出。 500 次投擲的標準差為 sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333。因此，1.96 個標準差等於 1.96 * 8.333 = 16.333 次，比預期值低。 500 次投擲中出現七的預期次數為 500*(1/6) = 83.333。因此，比預期值低 1.96 個標準差等於 83.333 − 16.333 = 67。使用二項分佈檢驗，出現 67 次或更少七的準確機率為 2.627%。

然而，從實際角度來看，存在一個臨界點。這是因為金錢帶來的幸福感並非與金錢的多寡成正比。雖然人們普遍認為金錢越多，幸福感越強，但你越富有，每一美元帶來的幸福感就越少。

我認為回答這個問題的一個好方法是運用凱利準則。根據凱利準則，玩家在做每個決定時都應該以最大化下注後資金的預期對數為目標。簡而言之（我省略了很多數學運算），玩家應該不斷加倍，直到下注金額超過其總財富的 96.5948%。財富應該定義為贏得的金額加上玩家在第一次下注前擁有的資金總和。例如，如果玩家的起始資金為 100,000 美元，他應該不斷加倍，直到贏得 4,194,304 美元。此時，玩家的總財富將達到 4,294,304 美元。他將被要求下注 4,194,304/4,294,304 = 其總財富的 96.67%，這大於 96.5948% 的停止點，所以他應該退出。

p = Prob(第一次擲出 6) + Prob(第一次擲出未出現 6)*Prob(第二次擲出未出現 7)*p。

這是因為，如果前兩次擲骰子後沒有一個玩家獲勝，遊戲就會回到原始狀態，玩家 A 獲勝的機率保持不變。

因此，我們有：

p = (5/36) + (31/36)×(30/36)×p
p = 5/36 + (930/1296)×p
p * (1-(930/1296)) = 5/36。
p * (366/1296) = 5/36
p = (5/36)×(1296/366) = 30/61。

感謝《應用組合學》的作者艾倫‧塔克 (Alan Tucker)。

從第一次擲骰開始，或從最後一次擲骰結束，得到一個指定的7的序列會稍微容易一些，因為這個序列有界於某一側。具體來說，從第一次擲骰開始，或從最後一次擲骰結束，得到s個7的序列的機率是(1/6) ^s × (5/6)。 5/6項是因為你必須在序列的開口端得到一個非7的點數。

在序列中間任一點開始 s 個 7 的序列的機率是 (1/6) ^s × (5/6) ² 。我們將 5/6 平方，因為玩家必須在序列的兩端都拿到非 7 的點數。

如果擲出 r 次，則內側序列有 2 個位置，連續 n 個 7 有 rn-1 個位置。將這些公式代入表格中，即可得出連續 7 的預期次數，範圍從 1 到 10。 「內側」列為 2*(5/6)*(1/6) ^r ，「外側」列為 (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r ，其中 r 是連續 7 的數量。因此，我們預期連續出現兩個 7 的機率為 3.46，連續出現三個 7 的機率為 0.57，連續出現四個 7 的機率為 0.10。

如果你只考慮正多邊形，並希望每個面都有相同的機率，那麼你就只能考慮柏拉圖立體。但是，如果你能取消對正多邊形的要求，那麼你也可以增加13個加泰隆尼亞立體。

回答你的另一個問題，沒有，我從未在賭場裡見過任何遊戲使用立方體以外的骰子。大約十年前，我在大西洋城的一個遊戲展上看到過一款遊戲演示，我記得它用的是菱形三十面體（加泰羅尼亞立體的一種），但我覺得它從未出現在賭場裡。我每年都會在全球遊戲博覽會上看到一款遊戲使用陀螺（類似陀螺），但可惜的是，我也沒在賭場見過。

平均結果為 12.2446，標準差為 2.8468。

如果你把問題改寫成在擲出12之前擲出五個6的機率是多少，那麼答案是(6/7) ⁵ = 46.27%。若擲出四次，答案是(6/7) ⁴ = 53.98%。所以，在擲出12之前，不存在任何剛好50/50的7。如果你想賭一把，建議你要麼在擲出12之前擲出四個7，要麼在擲出五個7之前擲出一個12。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

這表示用一個骰子擲出 1 到 6 的組合數。我知道，這很明顯。不過，請聽我說完。如果是兩個骰子，在底部添加一行，每個格子取上一行與其左側五個格子之和。然後，如果您想繼續，在右側再新增五個虛擬零。這表示擲出總數為 2 到 12 的組合數。

如果擲三個骰子，只需重複即可。這將代表3到18的組合數。

要計算任意給定點數的機率，請用該點數的組合數除以組合總數。如果是三枚骰子，其總和為 216，也可以很容易地計算為 6 的^{3 次方}。例如，三枚骰子擲出總點數 13 的機率為 21/216 = 9.72%。

所以對於 d 號骰子，你需要從 1 號骰子到 d-1 號骰子依序計算。這在任何電子表格中都很容易完成。

（35/36） ^r = 0.5
對數（35/36） ^r = 對數（0.5）
r × log(35/36) = log(0.5)
r = log(0.5)/log(35/36)
r = 24.6051

所以沒有一個整數答案。 24次擲骰子擲出12的機率是1-(35/36) ²⁴ = 49.14%。 25次擲骰子擲出12的機率是1-(35/36) ²⁵ = 50.55%。

如果你想押注，比如說你能在25輪擲出12點，或是其他人在24輪中擲不出。無論哪種情況，你都能在均等投注中佔據優勢。

對於不熟悉遊戲的人來說，進攻方和防守方都會根據戰鬥中各自擁有的軍隊數量，擲1到8個骰子。點數較高的一方獲勝。如果打平，則防守方獲勝。如果進攻方失敗，他仍然可以在發動攻擊的領土上保留一支軍隊。因此，他必須至少擁有兩支軍隊才能進攻，這樣如果他獲勝，一支軍隊可以佔領被征服的領土，另一支軍隊可以留在原地。

下表顯示了根據所有 64 種骰子組合，攻擊者獲勝的機率。

下表顯示了攻擊者的預期收益，定義為pr(攻擊者獲勝)*(防禦者骰子)+pr(防禦者獲勝)*(攻擊者骰子-1)。結果顯示，最大的預期收益是以8點進攻，對手以5點進攻。

• 2 或 12：1/30
• 3或11：2/30
• 4或10：3/30
• 5或9：4/30
• 6或8：5/30

這是第 179 欄中提出的原始問題：如果重複擲兩個骰子，直到發生以下任一事件，那麼哪個事件更有可能先發生：

• 擲出的總數為六和八，順序不限，允許重複。
• 總共擲兩次，結果都是七。

你的改變是，同一個擲骰子不能同時幫助兩個玩家。相反，他們輪流擲骰子，並且只有擲骰子的玩家可以使用該擲骰子。

答案取決於誰先擲骰子。如果先擲出需要六和八的玩家，那麼他獲勝的機率是 57.487294%。如果先擲出需要兩張七的玩家，那麼先擲出需要六和八的玩家獲勝的機率是 52.671614%。我用一個簡單的馬可夫鏈過程解決了這個問題。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

初始擲骰結果有 58 種不同的序列。我辨識每種序列的方法是：先計算骰麵數最多的數字，然後計算骰麵數第二的骰子總數，以此類推。例如，擲出 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 的機率表示為 4-3-2-1。下表列出了每個序列的組合數、擲出該序列的機率、第二次擲出相同點數 12 的機率以及兩者的乘積。對於第二次擲出的機率，我假設玩家持有初始擲骰結果最大的骰子。右下角單元格顯示的總機率為 0.0000037953，相當於 263,486 分之一。

點擊下面的按鈕以取得答案。

這是我的解決方案。 （PDF）

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

點擊下面的按鈕，查看幾個可能對您有幫助的無窮級數公式。

[劇透=提示]

提示 1：對 n 求 i = 0 到 ∞ 的和ⁱ = 1 / (1-n)

提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 總和ⁱ = n / (1-n) ²

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點擊下面的按鈕以取得解決方案。

[劇透=解]

假設擲一個公平的六面骰子，直到出現1、2、3或6。如果1、2或3是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您什麼也贏不了。如果6是這些遊戲結束數字中第一個出現的，那麼您每次擲骰子都會贏得1美元。這場比賽的平均贏利是多少？

提示 1：對 n 求 i = 0 到 ∞ 的和ⁱ = 1 / (1-n)

提示 2：i = 0 到 ∞ 的 i × n 總和ⁱ = n / (1-n) ²

預期贏利可以表示為 i = 0 到 ∞ 的 (1 + i) * (1/3) ⁱ * (1/6) 總和。 =

（1/6）* (1/3) i 的 i = 0 到 ∞ 的總和⁺ （1/6）* (i * (1/3) ⁱ ) 的 i = 0 到 ∞ 的總和。

讓我們逐一評估一下。

i = 0 到 ∞ 的和，其中 (1/3) ⁱ =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

i = 0 到 ∞ 的和 (i * (1/3) ⁱ ) =

（1/3）/（1-（1/3）） ² =

（1/3）/（4/9）=

（1/3）*（9/4）=

3/4

綜合起來，答案是

（1/6）*（3/2）+（1/6）*（3/4）=

（1/4）+（1/8）=

3/8

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

[劇透=解]

雖然這個問題可以用冗長乏味的馬可夫鏈來解決，但我更喜歡用積分法。我在我的Fire Bet和Bonus Craps頁面中解釋瞭如何使用這種方法。

想像一下，重大事件不再由一次擲骰子決定，而是被視為一個時間瞬間。假設事件之間的時間間隔具有無記憶性，平均間隔為一個時間單位。換句話說，事件之間的時間間隔服從平均值為1的指數分佈。這對裁決賭注來說無關緊要，因為事件仍然是一次一個地發生的。

根據泊松分佈，在 x 個單位時間內，骰子任一面擲出次數為零的機率為 exp(-x/6)*(x/6) ⁰ /0! = exp(-x/6)。泊松分佈也表示，任一面擲出恰好一次的機率為 exp(-x/6)*(x/6) ¹ /1! = exp(-x/6) * (x/6)。因此，任一面在 x 個單位時間內擲出兩次或兩次以上機率為 1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))。六面擲出至少兩次的機率為 (1 - exp(-x/6)*(1 + (x/6))) ^6。至少有一面未擲出至少兩次的機率等於：

我們需要將其與所有時間結合起來，以找出平均需要多長時間才能實現預期目標。

幸運的是，我們此時可以使用積分計算器。對於連結中的那個，在「計算積分」後面的文字方塊中輸入 1- (1 - exp(-x/6)*(1 + x/6))^6 dx = apx. 24.1338692，並在自訂下將積分的邊界設為 0 到 ∞。

答案是 390968681 / 16200000 = 約 24.13386919753086

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

[劇透=解]

為了避免混淆，我們用字母而不是數字來標記初始骰子。我們用字母標記每個可能的骰子狀態。例如，AAABBC 表示三個相同字母，兩個相同字母，一個相同字母。初始狀態顯然是 ABCDEF。

令 E(ABCDEF) 為從狀態 ABCDEF 開始的預期擲骰次數。

基於從一個狀態到另一個狀態的組合數量，下面的轉換矩陣顯示了從每個初始狀態（左列）到每個新狀態的轉換方式數量。順便說一下，這花了幾個小時才建造好。

我不會長篇大論地講解矩陣代數，只是假設矩陣 B 如下：

答案是矩陣 B 的行列式與矩陣 A 的行列式之比：

確定（A）= 1,461,067,501,120,670,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

確定（B）= 14,108,055,348,203,100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

Determ(B) / Determ(A) = 約 9.65599148388557

[劇透=解]

答案可以近似表示為 1 - (prob(沒有 1) + prob(沒有 2) + ... + prob(沒有 6)) = 1 - 6*(5/6)^20 = apx. 0.84349568。

然而，這會導致雙倍減去兩種不同面從未擲過的情況。從六種面中選擇兩種面，一共有(6,2)=15種方法。任兩種給定面從未擲過的機率是(4/6)^20。我們需要將這些值加到機率中，因為它們在上一個步驟中被減去了兩次。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = 約 0.84800661。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

然而，如果任何一組從未擲出的三面在第一步中被三次減去，在第二步中被三次加去，我們需要將它們減去，因為六面中並非所有面都擲出了。從六面中選擇三面共有 combin(6,3) = 20 種方法。任何特定的三面從未擲出的機率是 (3/6)^20。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20= 約 0.847987537。

然而，如果任何一組從未擲出的四面在第一步中被減去四倍，在第二步中被加去四倍，在第三步中被減去四倍，我們需要將它們加回去，因為每個這樣的狀態已經被減去了兩次。從六面中選擇四面，共有 combin(6,4) = 15 種方法。任何特定的四面從未擲出的機率是 (2/6)^20。所以，現在我們得到的結果是 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = 約 0.84798754089。

然而，如果20次擲出的點數都相同，那麼第一步就應該減去五倍，再加去五倍，第三步再減去五倍，第四步再加去五倍。我們需要把這些點數減掉。所以，現在我們得到的結果是：1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = 約 0.84798754089。

所以答案是 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = 約 0.847987898989。 [/劇透]

[劇透=解]

這個問題可以用馬可夫鏈來回答，但我更喜歡用微積分。關鍵在於，如果投擲間隔時間服從平均值為1的指數分佈，答案是一樣的。也就是說，答案可以表示為從0到無窮大的積分：

1-(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-x/18))^2*(1-exp(-x/12))^2*(1-exp(-x/9))^2*(1-exp(-5*x/36))^2*(1-exp(-x/6))

您可以使用積分計算器輕鬆解決此類積分。

您也可以使用我的預期試驗次數計算器來解決任何此類問題。

[劇透=更多評論]

很難解釋為什麼答案是無限大。更令人困惑和矛盾的是，總數相等的機率是1。

下表顯示了 1 至 16 次投擲後總數首次相同的機率。

Excel 顯示與該曲線非常接近的擬合值為 y = 0.1784*x-1.011，其中 x = 滾動次數，y = 機率。

這個無窮級數的和是無限大。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

下表顯示了任何類型的捲：

• 擲出此牌型的不同組合數。例如，對於葫蘆，三條有六種組合，對子有五種組合，總共有30種不同的葫蘆組合。
• 順序數。例如，對於葫蘆，有 combin(5,3)=10 種方法可以從五個骰子中選擇三個組成三個。另外兩顆骰子必須是對子。
• 給定牌型的擲出方式數量。這是前兩列的乘積。例如，葫蘆有 30 * 10 = 300 種擲出方式。
• 手牌的機率。例如，葫蘆的機率為 300/6 ⁵ = 0.038580。
• 兩次擲出相同點數且屬於給定牌型的機率。這是第四列機率的平方除以第二列。例如，兩次擲出相同點數的機率為 0.038580 ² 。然而，兩次擲出相同點數的機率為 1/30。因此，兩次擲出相同點數的機率為 0.038580 ² /30 = 0.00004961。

右下角單元格顯示兩次擲骰結果相同的總機率為 0.00635324。

為了像我一樣使用微積分來回答這個問題，我建議使用積分計算器，例如integral-calculator.com/上的那個。

這是我的解決方案（PDF）。

這個問題在我的Wizard of Vegas論壇中被提出（用略有不同的措辭）並被討論過。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

這個問題是在我的論壇“ 拉斯維加斯巫師”中提出並討論的。

[spoiler=答案]20.989727251191...[/劇透]

這是我的解決方案（PDF）。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

這是我的解決方案（PDF）。

[劇透=解]

讓：

• p = 從初始狀態開始先擲出 12 的機率，或是當前一次擲出的點數不是 7 時。
• q = 上次擲出的點數為 7 時，先擲出 12 的機率。

這就是所謂的馬可夫鏈問題。

在我們討論這一點之前，回想一下擲出總數 7 的機率是 1/6，擲出總數 12 的機率是 1/36。

我們可以根據 p 和 q 相互定義，如下所示：

• （1）p =（1/36）+（6/36）q +（29/36）p
• （2）q = (1/36) + (29/36)p

我們將公式 (1) 乘以 36：

36便士=1+6q+29便士
（3）7p = 1 + 6q

我們將 (2) 式中的 q 值代入 (3) 式中：

7p = 1 + 6*((1/36) + (29/36)p)
7便士=1+（1/6）+（29/6）便士
42便士=6+1+29便士
13便士=7
q = 7/13

因此，先擲出 12 的機率是 7/13 =~ 53.85%。

因此，首先擲出兩個連續 7 的機率為 46.15%。

因此，更有可能的是先擲出總數 12。