肯諾 - 常問問題

在前40個、後40個或任意40個中抽取n個數字的機率為combin(40,n)*combin(40,20-n)/combin(80,20)。因此，在前40個中恰好抽取10個數字（在後40個中也恰好抽取10個數字）的機率為combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243。一半中獎金額大於另一半的機率為1-0.203243= 0.796757。特定一半中獎金額大於該數字的機率為該數字的一半，即0.398378。如果該賭注賠率相同，則賭場優勢為20.32%。如果該賭注賠率相同，則賭場優勢為18.70%。如果賠率為4比1，玩家的優勢為1.62%。關於正期望值在線二十一點，玩家玩得越多，淨利潤的機率就越大。目前最佳遊戲是Unified Gaming的單副牌遊戲，玩家優勢為0.16%。即使玩家平註一百萬手，輸掉的機率仍約為8.6%。在Boss Media的單人遊戲中，玩家優勢為0.07%，一百萬手後輸掉的機率約為27.5%。

這沒有什麼區別。

我懷疑某些數字比其他數字更有可能。我的建議是隨便選一個，沒什麼差別。

無論你玩多少台機器，你的整體預期回報都是相同的。當然，你玩的機器越多，中獎的機率就越大，但如果所有機器都輸了，你就會損失更多錢。

牌九撲克的波動性最小，而平均而言基諾的波動性最大。

在內華達州，以及我認為在美國其他主要博彩市場，球確實是隨機的，結果也由球決定。然而，在印第安賭場有時出現的II類老虎機上，一切都有可能。

平手投注獲勝的機率為 combin(40,10)*combin(40,10)/combin(80,20) = 0.203243。賠率為 3 比 1，賭場優勢為 18.703%。正面（或反面）投注獲勝的機率為 (1-0.20343)/2 = 0.398378。賠率相同時，賭場優勢為 20.324%。

讚美能讓你事事得心應手。 n 次正面朝上的組合數為combin (40,n)*combin(40,20-n)。這是從前 40 個數字中選出 n 個數字，從後 40 個數字中選出 20-n 個數字的方法數。下表顯示了 0 到 20 次正面朝上的機率。

在 combin(80,20) = 3,535,316,142,212,180,000 中，全部命中 20 的機率為 1。因此，賠率更像是 3.5 千萬億分之一。假設地球上有 50 億人，而且他們每週都玩一次，那麼平均每 1356 萬年就會出現一位贏家。大多數賭場對命中接近 20 的玩家支付的獎金相同。例如，拉斯維加斯希爾頓酒店對命中 20 中 17 或以上的玩家支付 2 萬美元。我從未聽說過有人 20 中 20，並且非常懷疑這種情況是否真的發生過。

我不同意。我想不出哪家拉斯維加斯大道上的大型球場沒有基諾遊戲廳。一般來說，唯一沒有基諾遊戲的賭場是拉斯維加斯郊區的當地賭場，因為我們大多數當地人都知道基諾遊戲是個騙人的把戲。

P.S.：後來有一位讀者寫信糾正我，說拉斯維加斯的紐約紐約賭場取消了他們的基諾休息室。

希望你滿意，我花了一整天研究這個問題。編寫並運行模擬程式後，我發現任意三行出現11個或更多標記的機率是86.96%！這根本不給對方任何機會。你可以將標記數增加到12個，仍然有53.68%的獲勝機率，或者說有7.36%的優勢。但是，我認為你在空行投注方面選錯了方向。至少出現一個空白行的機率只有33.39%，最好選擇沒有空行的另一邊。同時，我還計算了許多其他機率，並將它們放在了新的基諾投注頁面中。以下是從該頁面中列出的這些以及其他不錯的等額投注選項。好的方面已列出。

與現場基諾遊戲非常相似，無論您選擇什麼，賠率都是相同的，但它們與遊戲抽取的球無關。

這其實是一個相當難的問題。很容易計算出四個球中任意一個被抽出的機率，包括重複的機率。棘手的部分是，假設任意一個球被抽出y次，那麼確定x個不同球被抽出的機率。我的MathProblems.info頁面，問題205上給了答案和解答。

1/2。

如果我們用基諾彩券來類比，每個人都有40個基因，每個基因都代表一個基諾球。然而，每個球都有一個唯一的編號。當兩個沒有血緣關係的人交配時，就像把他們兩人的80個球組合成一個漏斗，然後隨機選擇40個基因作為交配後代的基因。

所以，當你受孕時，你得到了一半的彩球，另一半則被浪費了。當你的兄弟姊妹受孕時，他/她得到了你出生時抽取的彩球的一半，以及另一半未被抽取的彩球。所以，你們的基因有50%是相同的。這和基諾彩券如果抽出40個號碼，連續兩次抽出平均會有20個相同的彩球的原因是一樣的。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

提醒其他讀者，埃及豔後基諾的玩法與傳統基諾類似，但如果最後抽出的球與玩家選擇的球之一匹配並獲勝，則玩家還將贏得12次免費遊戲，乘數為2倍。免費遊戲並不能獲得更多免費遊戲。

您沒有指定選號數或賠付表，所以我們以3-10-56-180-1000選號-8賠付表為例。首先，讓我們計算一下回報。

在基諾遊戲中，從 y 個球中接住 x 個球的方法數，就是從 20 個球中接住 x 個球，從 60 個球中接住 yx 個球的方法數。用 Excel 表達式表示，這等於 combin(20,x)*combin(60,yx)。再提醒一下，combin(x,y) = x!/(y!*(xy)!)。最終 x! = 1*2*3*...*x。

回顧完畢，以下是該賠付表的報酬率表。右列顯示的是預期贏利平方，我們稍後會用到。

接下來，我們來計算一下平均獎金。從上表可以看出，不計獎金的平均贏利為0.593301。在獎金中，玩家可以獲得12次雙倍免費旋轉。因此，獎金的預期贏利為2×12×0.593301 = 14.239212。

接下來，我們來計算一下贏得獎金的機率。如果玩家抓到四個數字，那麼第20個球是這四個數字之一的機率是4/20。一般來說，如果玩家抓到c個數字，那麼第20個球對中獎有幫助的機率是c/20。

贏得獎金的公式為：機率（第 4 組）*(4/20) + 機率（第 5 組）*(5/20) + 機率（第 6 組）*(6/20) + 機率（第 7 組）*(7/20) + 機率（第 8 組）*(8/20)。我們可以從上面的回報表中知道任何特定獲勝的機率。因此，贏得獎金的機率為：

0.081504*(4/20) + 0.018303*(5/20) + 0.002367*(6/20) + 0.000160*(7/20) + 0.000004*(8/20) = 0.021644。

透過贏得獎金的機率和平均獎金贏額，我們可以計算出獎金的回報為 0.021644 × 14.239212 = 0.308198。

我們不需要知道，但遊戲的整體回報是基礎遊戲的回報加上獎金的回報，等於 0.593301 + 0.308198 = 0.901498。

現在，讓我們開始討論實際的變異數。提醒一下，方差的一般公式是：

var(x + y) = var(x) + var(y) + 2*cov(x,y)，其中 var 代表方差，cov 代表協方差。在這個遊戲中：

總變異數 = var（基礎遊戲）+ var（獎勵）+ 2*cov（基礎遊戲和獎勵）。

變異數的基本公式是 E(x^2) - [E(x)]^2。換句話說，就是預期贏利的平方減去預期贏利的平方。

話雖如此，我們先從基礎遊戲的變異數開始。還記得我之前說過，我們需要第一個表格中的預期贏利平方嗎？第一個表格的右下角單元格顯示預期贏利平方為 19.530214。我們已經知道預期贏利是 0.593301。因此，基礎遊戲的變異數為 19.530214 - 0.593301 ² = 19.178208。

接下來，我們來計算獎金的變異數（假設已經中獎）。為此，回想一下：

var(ax) = a ² x，其中 a 為常數。

還記得 n 個隨機變數 x 的變異數是 nx。

也就是說，如果 x 是獎勵遊戲中的基礎贏利，那麼整個獎勵的變異數為 2 ⁽²⁾ × 12 (x)。由上文可知，基礎遊戲中單次旋轉（不計獎勵）的變異數為 19.178208。因此，假設已經獲得獎勵，則獎勵的變異數為 2 ⁽²⁾ × 12 (x) × 19.178208 = 920.554000。

然而，我們需要知道的是第一個球被抽出之前獎金的方差，包括根本沒有獎金的可能性。不，我們不能簡單地將獎金的變異數乘以中獎機率。相反，回想一下var(x) = E(x^2) - [E(x)]^2。我們將其重新排列如下：

E(x^2) = var(x) + [E(x)]^2

我們知道獎金的平均值和方差，因此獎金的預期贏利平方為 920.554000 + 19.178208 ² = 1123.309169。

因此，在抽出第一球之前，獎金贏取的預期平方是 prob(bonus) × E(x^2) = 0.021644 × 1123.309169 = 24.313239。

我們已經計算出，在第一球開球前，獎金的預期贏利為0.308198。因此，在第一球開球前，獎金的總體變異數為24.313239 - 0.308198 ² = 24.218253。

下一步是計算協方差。你可能會問：「為什麼基礎獎金和獎勵獎金之間存在相關性？」 這是因為最後一個抽出的球必須對獎金產生貢獻才能觸發獎勵。假設最後一球對獎金產生貢獻，平均獎金就會增加。提醒一下，貝葉斯條件機率公式如下：

P(A 已知 B) = P(A 和 B)/P(B)。

然後，假設最後一球被擊中，讓我們重新為基礎遊戲的回報表：

右下角單元格顯示，假設最後一球被擊中，平均勝利為 6.757734。

接下來，回想一下你在大學統計課上學到的內容：

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) 。

在我們的例子中，設 x = 基礎遊戲勝利，y = 獎勵勝利。我們先來計算 exp(xy)。

Exp(xy) = prob(贏得的獎金)*(贏得獎金時的平均基礎遊戲勝利)*average(獎金勝利) + prob(未贏得的獎金)*(未贏得獎金時的平均基礎遊戲勝利)*average(未贏得獎金時的平均獎金勝利)。 很容易得出 average(未贏得獎金時的平均獎金勝利) = 0，因此我們可以將其重寫為：

Exp(xy) = prob(贏得的獎金)*(贏得獎金後的平均基礎遊戲勝利)*平均值(贏得的獎金) =

我們已經解了 E(x) 和 E(y)，因此協方差是：

cov(x,y) = exp(xy) - exp(x)*exp(y) = 2.082719 - 0.593301 × 0.308198 = 1.899865。

讓我們回到涉及協方差時的變異數總體方程式：

總變異數 = var(基礎遊戲) + var(獎勵) + 2*cov(基礎遊戲與獎勵) = 19.178208 + 24.218253 + 2×1.899865 = 47.196191。標準差為其平方根，即 6.869948。

好了，就這樣吧。這花了我好幾個小時，希望你滿意。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

經過一番研究，我發現這並不是一個附加投注，而是20選號彩券中了零分後所支付的金額。以下是我對Station Casinos 20選號彩券的完整分析。

右下角單元格顯示該彩票的總體回報率為 69.70%，這是現場基諾彩票的典型回報率。

為了回答關於捕獲 0 的問題，機率列顯示該機率為 0.001186，並且以 1 贏 200，其回報率為 23.71%。

下表顯示了組合數、機率以及對最低球的貢獻（球與機率的乘積）。右下角單元格顯示預期最低球為 9.1818182。

有一種更簡單的方法可以解決這類問題，其中最低球的值為 1。最低球的公式是 (m+1)/(b+1)，其中 m 是球的最大值，b 是球的數量。在本例中，m=100，n=10，所以最低球的值是 101/11 = 9.181818。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。