二十一點 - 基本策略（特定牌型）

謝謝你的讚美，吉姆。是的，即使有人建議你晚點投降，你還是應該分牌。即使分牌後不能加倍，你也應該拒絕投降。基於兩副牌的遊戲，分牌後不能加倍，那麼分牌8對10的預期值為-0.480673，比投降的-0.5要好。

儘管他們聲稱擁有“世界上最自由的二十一點規則”，但在馬蹄鐵賭場（Horseshoe）或金門賭場（Golden Gate）街對面，卻有更好的單副牌遊戲。拉斯維加斯俱樂部（Las Vegas Club）的六副牌才是真正對玩家不利的。別因為被他們的招牌蒙蔽而感到難過，我年輕時也曾上當受騙，那時我還不知道規則變化的後果。

更新：這個問題之後，拉斯維加斯俱樂部修改了規則，在他們所謂的「世界上最自由的二十一點規則」中，對二十一點的賠率是6比5。6比5甚至不能算作真正的二十一點遊戲。在任何普通的3比2遊戲中，你的賠率都要高得多，這種遊戲在其他地方很容易找到。

單副牌二十一點的規則通常很嚴格。牌面朝下發牌。加倍通常限制在9比11或10比11。莊家拿到軟17點後加倍，分牌後可能不准加倍。如果二十一點的賠率低於3比2（單副牌遊戲通常如此），請務必不要玩。

您可以在我的“拉斯維加斯巫師”網站上隨時查看拉斯維加斯相對較新的二十一點規則。

無論是誰告訴你放棄兩張 8 的，他都給了你錯誤的建議，假設美式後期投降。為了說明為什麼你應該在面對 10 時分牌 8，請查看我的二十一點附錄 9b 。這顯示了任何給定玩法的任何初始情況的預期回報。表顯示，如果允許在分牌後加倍，則在雙副牌中將 8 分牌對抗 10 的預期回報為 -0.4706。換句話說，你平均預計會損失 47.06% 的初始賭注。這低於投降造成的 50% 的損失。如果在分牌後不允許加倍，那麼回報率是 -0.4801，同樣高於 -0.5。將 8 分牌對抗 9 或 A 的回報甚至更高。

在二十一點遊戲中，很少有簡單的答案。你必須考慮所有可能發生的情況，並根據機率權衡每個結果。最佳玩法是預期回報最大的玩法。根據我的二十一點附錄 9b ，在雙層牌局中，用軟 18 對抗 A 的預期回報是 -0.1004，停牌的預期回報是 -0.1005。因此，要牌只是稍微好一點。用 11 對抗 A 也是非常邊緣的玩法。實際上，在單層和雙層牌局中，它都取決於牌型，換句話說，取決於哪兩張牌的總數為 11 來決定如何出牌。但是，如果你不想記住與牌型相關的基本策略例外，那麼你應該在單層和雙層牌局中用 11 對抗 A 時加倍下注，並用四副或更多牌要牌。

這是看待投保決策的另一種方式。投保等額賭注的預期回報顯然是 1.0 個單位的賭注。為簡單起見，我們假設一副牌的數量是無限的。莊家拿到黑傑克的機率是 4/13，否則是 9/13。如果莊家拿到黑傑克，你就推牌。如果沒有，那你就贏 1.5 個單位。不投保的預期值為 (4/13)*0 + (9/13)*(1.5) = 13.5/13 = 1.0384615，大於 1.0。因此，拒絕投保或等額賭注並繼續玩牌是更好的選擇。在實際遊戲中，如果牌組數量有限，賠率會更高，因為（你手中的）牌組中已經有一張 10，這降低了莊家拿到黑傑克的機率。

「你不可兩面下注。」——《賭博十誡》（第七條）

這會是一個糟糕的玩法。例如，我的二十一點附錄 9B展示了用 10 和 6 張牌對抗莊家 7 點牌的兩種情況的回報。拿牌的預期損失為賭注的 39.6%。然而，停牌的預期損失為 47.89%。我無法輕易解釋為什麼拿牌比較好。你必須考慮所有可能發生的情況，用機率加權，然後取總和。總的來說，拿牌是兩種糟糕玩法中更好的選擇。

謝謝你的讚美。在統一遊戲 (Unified Gaming) 的二十一點遊戲中，只有當莊家亮出 10 點時，你才應該使用附錄六。當莊家亮出 A 點時，統一遊戲 (Unified Gaming) 的基本策略沒有例外。

請參閱我的拉米牌頁面，拉米牌是在哥斯達黎加流行的二十一點變體。

在我所有的單副牌二十一點策略中，這都是正確的玩法。原因是拿到第三個7的機率只有2/49，大約是4.08%。相較之下，雙副牌的機率是6/101，也就是5.94%。由於贏莊家20的希望不大，最好是拿牌，或者如果可以的話投降。沒錯，這確實推翻了我之前建議的用14來對付10的建議。

我也不喜歡這個說法。它充其量只是個記憶工具，用來幫助人們記住，如果莊家有7到10的牌，就應該打硬牌。沒有一個簡單的經驗法則，適用於所有情況。

附錄1基於無限套牌。你提到的兩種牌型都是邊界牌型，牌組數量會影響哪種打法比較好。例如，A-4 對抗 4 時，用 26 副牌加倍，用 27 副牌要牌。 A-2 對抗 5 時，牌組數也介於 8 副牌到無限副牌之間。

我煞費苦心地寫了二十一點附錄 9A-9H 來解答這類問題。例如，在六副牌的遊戲中，如果莊家在軟 17 點停牌，您可以使用二十一點附錄 9G。從中可以看出，如果莊家拿到兩張 10 點，而莊家拿到 6 點，停牌的預期收益為 0.702826。在這種情況下，分牌的預期收益為 0.622165。因此，玩家停牌比分牌可以多贏 8.07%。不要太在意其他玩家在二十一點牌桌上的言行。

雖然這局牌勢均力敵，但停牌是第三糟糕的選擇。使用我的二十一點附錄9G，我們可以得到以下預期效益：

• 支架-.536853
• 命中 -.535361
• 拆分 -.474733
• 雙倍 -1.07022

分牌是最佳選擇，因為它能將牌局的總損失降至最低。加倍和分牌的預期收益是基於該牌局相對於初始下注的總收益。例如，如果你的初始下注為100美元，然後你分牌，所有因素加起來，總預期損失為47.47美元，低於不加註的預期損失53.69美元。

是的，只要你一直拿到10，就應該繼續分牌。玩一手牌輸了並不能證明什麼。必須雙向玩數百萬手牌，並將結果匯總起來，才能真正找到最佳玩法。

請記住，大多數賭場不允許您這樣做。但是，如果可以，您應該只在 6 上加倍。無論莊家是否拿到軟 17 點，這都是正確的。如果莊家在軟 17 點上停牌，那麼面對 5 點，拿牌的預期回報是 0.162849，加倍是 0.148228，所以拿牌是更好的玩法。面對 6 點，拿牌的預期回報是 0.189020，加倍是 0.196249。所以加倍是更好的玩法。您可以在我的二十一點附錄 9e中親自查看這些數字。關於您的另一個問題，是的，在 4 副牌的遊戲中，玩家應該拿 10.2 對抗 4，但前提是莊家在軟 17 點上停牌。我自己沒有列出 4 副牌基本策略例外，因為例外很少，而且差異很小。遵循這個例外情況，你每113396手就能贏更多單位，或者說，賭場優勢降低0.000882%。在我看來，不值得費心記住這個例外情況。

這是一個有趣的情況。雖然在單副牌中，15點對10點時你應該有5/6的機率投降，但總是要牌總比總是投降要好。以下是每次要牌湊成15點的預期收益。

10+5

-.501091

9+6

-.509827

8+7

-.474794

有四種方法可以湊成10+5，而其他兩種方法各只有1種。因此，在一副牌中，若點數為15，而點數為10，則總預期報酬為 (4/6)*-.501091 + (1/6)*-.509827 + (1/6)*-.474794 = -.498164。換句話說，點數為10、5和9、6的機率略高，而點數為8、7的機率則高得多。 8、7的預期報酬率較高的原因是，牌堆裡仍然有5和6，因此點數為20或21的機率更大。

是的，在這種情況下，您可以加倍或分牌。最高限額適用於初始下注。如果限額為 200 美元，您也可以玩多手 200 美元的牌。

是的！好問題，連我都不知道這一點。牌堆越少，牌的數量越多，這種情況就越明顯。為了測試最有可能擊中的情況——8 副牌堆，只有 3 張牌——我用我的組合程序運行了所有可能的情況。下表顯示了結果。

底行右側的兩個數字表明，要牌的總體預期值為 -0.540355，停牌的總體預期值為 -0.540293。因此，停牌是略微更好的打法。遵循這條規則，每 1117910 手牌就能額外獲得一個單位。這項建議需要玩家每週玩 40 小時的二十一點，大約需要 5 年才能讓他節省一個單位。

是的，我對兩張牌的牌型清單做了一些修改。我刪除了“9+3 對 3”，並添加了“10+2 對 6”。在單副牌遊戲中，如果莊家拿到軟 17 點停牌，而玩家拿到 10+2 點，莊家拿到 6 點，那麼拿牌的預期值為 -0.159436，而停牌的預期值為 -0.160379。因此，拿牌的平均損失較小。我不想對基本策略給出簡潔扼要的答案，因為牌的出牌方式多種多樣。莊家拿到 6 點爆牌的機率比較大。然而，正如你所說，莊家拿到 6 點時更有可能拿到 17 點，而不是 5 點。 17 點不是好牌，會促使玩家拿牌並試圖擊敗它。

為了簡單起見，我們繼續使用你的例子，假設你擊中了，獲勝的機率是70%，失敗的機率是30%。擊中的預期值為0.3*1 + 0.7*-1 = -0.4。這大於投降的預期值-0.5。

我曾多次被問及這個問題，並始終堅持認為，儘管輸掉了全部賭注，但抽牌分牌A的選擇克服了歐洲的「不偷看」規則，因此分牌是更好的玩法。基於一副牌，每手牌的預期價值（考慮到莊家拿到黑傑克的可能性）為：要牌-0.532849，分牌-0.223277。因此，分牌比四副牌更好，大約31%的單位。對於四副牌的遊戲來說，分牌也是更好的選擇，Microgaming 的玩家不應該玩四副牌遊戲，因為有相同規則的單副牌遊戲可供選擇。

我花了好幾年才自己弄好分牌對子。 Gambling Tools的 Cindy 給了我很大的幫助。 Peter Griffin 在《二十一點理論》第 11 章中也談到了這個主題。假設我想計算莊家 2 點時分牌 8 的期望值。最多可以重新分牌 4 手。以下是我的做法。

1. 從鞋子裡取出一張 2 和兩張 8。
2. 決定玩家不會在任何一手牌中拿到第三個八的機率。
3. 遍歷除 8 之外的所有點數，從牌堆中減去該點數，用該點數和 8 打出一手牌，確定期望值，然後乘以 2。假設另一個 8 的機率為零，則確定每個點數對應的機率。將每個點數對應的機率與期望值進行點積。
4. 將此點積乘以步驟 2 中的機率。
5. 決定玩家重新分牌為 3 手的機率。
6. 從牌堆中再取出 8。
7. 重複步驟 3，但乘以 3 而不是 2。
8. 將步驟 7 的點積乘以步驟 5 的機率。
9. 決定玩家重新分牌為 4 手的機率。
10. 從鞋子裡取出另外兩個 8。
11. 重複步驟 3，但乘以 4 而不是 2，這次考慮獲得 8 作為第三張牌，對應於玩家被迫停止重新分牌的情況。
12. 將步驟 11 的點積乘以步驟 9 的機率。
13. 新增步驟 4、8 和 12 中的值。

最難的部分是第三步。我有一個非常難看的子程序，裡面全是我用機率樹計算的長公式。當莊家拿到10或A時，它就變得特別難看了。

你說得對，一般來說，拿到軟17點對莊家有利。但這只是一個普遍現象，並非適用於所有情況。當你手牌強到18到21點時，你希望莊家在軟17點停牌。然而，如果你手牌弱到17點以下，你希望莊家拿到軟17點。舉個策略差異的例子：當莊家拿到軟17點時，你應該用軟19點對6加倍；如果莊家拿到軟17點停牌，你應該停牌。這是因為加倍很可能會抽到壞牌，導致點數達到16點或更低。當莊家拿到軟17點時，他爆牌的次數更多，所以在這個例子中，加倍會更安全一些。

謝謝你的讚美。要回答你的問題，荷官會直接問你想做什麼。通常情況下，二十一點的所有決定都必須清晰可見，但這是我能想到的唯一例外。不過，如果你想避免輪到你時被問到，只要舉起食指表示你想要一張牌。大多數荷官都知道這意味著什麼。巧合的是，我昨天才知道，在保加利亞，如果你想加倍，就把額外的賭注放在原賭注後面；如果你想分牌，就把額外的賭注放在原賭注旁邊。

另一位讀者寫信說，在北達科他州，州法律規定要遵循保加利亞規則來處理加倍和分割。

如果玩家可以選擇加倍下注並停牌，那會比傳統的加倍更好。因此，在這種情況下，拿牌實際上對玩家的牌不利，但為了贏得雙倍的籌碼，這樣做是值得的。

是的，基本策略假設莊家沒有10。即使在莊家不看牌的歐洲，要牌/停牌策略也是一樣的，因為如果莊家有黑傑克，玩家就毫無希望了。假設莊家有一張A，而沒有黑傑克，那麼在軟17點停牌時，莊家拿到17點或以上的機率是83.3%。所以停牌甚至不是一個很危險的玩法，要牌的機率絕對更大。

不。只要你只輸掉原始賭注，就應該假設莊家沒有黑傑克。如果莊家真的有黑傑克，你也無能為力。

哦，賭博就是要冒險。成功的賭徒不會試圖最大化每手牌的淨贏機率，而是會冒險最大化他的總回報。無論是在賭博還是在生活中，有時為了長期利益，都必須承擔短期風險。所以，少考慮現在，多考慮未來。

在二十一點轉換遊戲中，玩家應該更積極地要牌，因為莊家點數為22點會導致平手。在常規二十一點遊戲中，停牌的價值很大程度上體現在莊家爆牌時。而在二十一點轉換遊戲中，許多莊家的贏牌都會轉化為平局，相較之下，要牌是更好的選擇。

我確信這個問題已經有人回答過了，但這是個好問題，所以我再回答一次。以下是一些邊緣玩法，以算牌指數為零為基礎。此列表適用於多副牌的情況，其中莊家在軟17點停牌，允許分牌後加倍。最佳玩法列在最前面，其他玩法列在後面。

• 9 對 2（擊中/加倍）
• 12 對 4（停牌/要牌）
• 12 對 6（停牌/要牌）
• 16 對 10（要牌/停牌）
• 軟 13 對 5（加倍/擊中）
• 軟 15 對 4（加倍/擊中）
• 3、3 對 2（分牌/要牌）

不，下注後直到牌局結束都不能動你的籌碼。投降的訊號是用食指在二十一點牌桌上，從左到右，在你的籌碼後面假裝畫一條線。我之前甚至不知道這一點，直到最近一位歐洲朋友在牌桌上做了這個動作。直接說「投降」也一樣有效。

原因是，如果莊家拿到22點，而你的牌是21點或更少，那就推牌。這非常有利於莊家，應該會抑制你透過加倍或分牌來增加籌碼。

這會是一個糟糕的玩法。例如，如果你在黑傑克上對著5點（六副牌莊家在軟17點停牌）加倍，根據我的黑傑克附錄9I ，你的預期收益將是0.622362。所以，即使在等額投注遊戲中，這仍然是一個錯誤，損失了大約38%的賭注。

Wong 指的是玩家 12 對抗莊家 4，並引用了 Peter Griffin 所寫的《二十一點理論》第 176 頁。是的，他是對的。在七副牌的遊戲中，要牌的預期值為 -0.210820，停牌的預期值為 -0.211106，因此要牌較高。但是，八副牌的遊戲中，要牌為 -0.2111161，停牌為 -0.211100，因此停牌更高。這是一種非常不確定的玩法，七副牌和八副牌之間確實存在牌數差異。這裡有一個更好的例子。用 A-4 對抗 4，你應該一直加倍直到有 26 副牌，但用 27 副或更多牌來要牌。

我找不到任何一手牌，額外的0.1%的籌碼量會導致策略改變。我能找到的最接近的例子是，基於六副牌，莊家在軟17點停牌，A,4對4。在這手牌中，加倍會讓玩家的預期價值損失略低於要牌的0.3%。所以，如果你能拿到0.3%或更多的籌碼量，那就加倍這手牌。我研究過的其他邊緣牌型，玩家加倍或分牌至少要損失1%，而且我從未見過二十一點中返現如此之高。

確實，一般來說，如果玩家有三張或更多張牌，16 點對 10 點時應該停牌。所以，如果我的圖表是基於賭場提供投降選項的，那麼你是正確的。然而，這個假設並非如此。如果我將規則改為 Rs（如果允許投降則投降，否則停牌），那就意味著如果不允許投降，玩家應該在兩張牌 16 點對 10 點時停牌。

原因是玩家的下一張牌可能是A，但莊家的下一張牌不是。我在附錄的解釋中已經提到，我已經假設莊家沒有黑傑克。這就是為什麼在莊家偷看並確認自己沒有黑傑克後，玩家在這種情況下略佔優勢。

說實話，這是一個老問題了，但我從 Chris F. 那裡得到了更好的答案。他正確地指出，原因在於，在創建基本策略圖表時，他們假設玩家的前兩張牌和莊家的明牌已經從牌堆中移除。一個很好的例子是，在單副牌中，正確的玩法是，當牌堆中有 7,7 時，對 10 停牌，因為牌堆中一半的 7 已經消失了，而這正是你用 3 張牌擊敗莊家 20 所需要的。

在16對10的情況下，玩家的手牌要不是10和6，就是9和7。無論哪種情況，兩張會因為要牌而爆牌的牌都被移除了。因此，牌堆裡有一些不會爆牌的小牌，這給了玩家要牌的動力。雖然這是事實，但我還是持懷疑態度，因為在無限牌堆遊戲中，要牌的機率仍然很高。然而，除了少數網路賭場外，無限牌堆只是一種抽象概念。我很好奇，如果在8副牌的遊戲中，荷官一張牌都沒發，只是說“你有16，我有10，但沒有黑傑克”，那麼最佳玩法是什麼？使用 gamblingtools.net（網站已不存在）上的黑傑克分析器，我輸入了8副牌，然後小心翼翼地把牌堆裡的所有牌都抽光，除了沒有6和2張10。然後我給了莊家一張10，我自己也給了10和6。所以玩家這手牌是用來對抗一副中性牌的，這副牌有31張A-9牌，還有124張10。預期值如下：

雖然預期值數字相同，但小程式會強調停牌是更好的玩法，大概是因為停牌比小數點後四位更高。如果我刪除以下數字：A、2、3、4、5、6、8、10、10、10，以模擬 9、7 對 10，結果也一樣，因為玩家使用的是完全相同的中性牌盒。

這顯示即使在八副牌的遊戲中只有三張牌，移除的效果也有多強大。回到最初的問題，在計算完玩家的兩張牌和莊家的明牌後，零點數反映的是一副完全中性的牌。所以正如我剛才所展示的，進入中性牌堆後，停牌的幾率更大。在無限牌堆中，要牌是正確的，因為沒有移除的效果。如果你在中性牌盒中意外擊中 16 對 10，並拿到一張小牌，那麼莊家就有更大的機會拿到底牌 10。這一事實反映在八副牌遊戲中停牌的預期值更高，但在無限牌堆中無關緊要。以下是無限牌堆遊戲中的預期值：

史丹福‧黃（Stanford Wong）在其著作《基礎二十一點》（Basic Blackjack）中給出了這樣的基本策略，見表46。他也提到，1995年拉斯維加斯波本街賭場（Bourbon Street casino）曾推出一項促銷活動，每50分鐘，荷官會亮出自己的兩張牌，持續五手。據黃稱，在此期間，玩家的優勢約為10%。

這是個好問題。我個人會根據已經打出的牌，尤其是第二手牌的狀況來判斷邊緣打法。如果非要我這麼做，我會說使用例外策略比只使用基本策略更好。然而，基本策略的例外策略僅適用於第一手牌，因此它們對於分牌來說並不完全準確，因為牌組的組成會略有不同。

是的，我的基本策略圖表旨在根據前兩張牌確定最佳玩法。這是製定基本策略的常用方法。這種方法的一個好處是可以精確計算每種玩法的預期值並與其他來源進行比較。但是，你提出的觀點很有道理。因此，我詢問了《Blackjack Attack》的作者唐·施萊辛格，是否存在任何已知的玩法，其中初始手牌的最佳玩法不同於最大化整個二十一點遊戲的預期值的最佳玩法。他回答說，在雙層牌遊戲中，軟 18 對抗莊家的 A，而莊家在軟 17 點停牌，就是這樣一種玩法。如我的二十一點附錄 9所示，停牌的預期值為 -0.100502，要牌的預期值為 -0.100359。因此，基於前兩張牌，要牌的賠率為 0.000143。但是，看到軟 18 的方式遠不止一張 A 和一張 7。下表顯示了這手牌可能出現的所有方式。

列標題說明

玩家卡：玩家手中的牌
條件機率：假設玩家擁有軟 18 點，而莊家擁有 A 點，則給定手牌組成的機率。
Hit EV：擊中後的期望值
站立EV：站立的預期值
命中回報：機率與命中預期值的乘積
林分回報：機率與林分期望值的乘積

底行右側兩個單元格顯示，總體而言，擊球的預期值為 -0.105807，停球的預期值為 -0.102375。因此，表格顯示停球的賠率為 0.00343。

為了驗證這些結果，我根據相關規則進行了兩次模擬，一次模擬要牌，一次模擬停牌。我只統計了在遊戲過程中出現軟18對抗莊家A的牌局。以下是我的結果。

因此，模擬結果顯示，在所有可能出現這手牌的情況下，停牌的機率為0.0025。因此，從實際玩所有牌的角度考慮，最佳玩法是停牌，這與我的基本策略圖所示相反。

感謝您的讚美。假設有六副牌（莊家在軟17點時要牌或停牌都無所謂）。我的二十一點附錄9顯示，6+4對A的預期值為+0.081336，6+4對10的預期值為+0.026796。預期值為正的原因是，我的預期值表假設莊家已經偷看過黑傑克，並確認自己沒有。同時，玩家仍然可以抽到一張A，湊成21點。換句話說，玩家可以在下一張牌湊成21點，而莊家不能，這是假設。如果我有一張符合歐洲不偷看規則的預期值表，那麼預期值確實會是負數。

我以前說過，雖然我很尊重莊家，但他們也給了很多糟糕的建議和錯誤訊息。用四對五或六分牌是一種常見的玩法，玩家和莊家都會錯誤地反對分牌。有時你會聽到有人錯誤地說，你永遠不應該分“任何以F開頭的牌”，也就是四、五和人頭牌。對於五和人頭牌來說，這話沒錯，但如果允許分牌後加倍，玩家確實應該用四對五或六分牌。否則，玩家應該要牌，除非在單副牌遊戲中，如果允許加倍，他應該要牌。我的二十一點附錄9顯示，在六副牌遊戲中，莊家拿到軟17，對6的預期值為4和4。

立場：-0.114085
命中：+ 0.113365
雙精度：+ 0.092929
拆分：+0.207228（允許拆分後加倍）
拆分：+ 0.056954（拆分後不允許加倍）

謝謝你的讚美。如果我玩的是基本策略（而不是算牌），如果我手上已經有4或5，我通常會停牌。如果是明牌遊戲，有其他玩家，我會環顧牌桌，然後根據自己的判斷來決定。

在常規二十一點遊戲中，玩家確實應該在莊家拿到10或A時分牌。但是，如果莊家不小心翻開兩張牌，總點數為10或11，玩家應該在10時要牌，在11時停牌。這是因為，當莊家拿到10或A時，輪到你時，你就知道莊家沒有黑傑克，因為他會偷看底牌確認。所以你可以更積極地出牌。但是，當莊家的兩張牌都翻開，總點數為10或11時，莊家肯定可以拿到一張A對應10，或者一張10對應11，總點數為21，所以在這種情況下，你應該採取更保守的策略。

我覺得你把取牌和莊家的明牌搞混了。下表顯示的是玩家僅根據莊家的明牌，在莊家檢查是否有黑傑克之前，根據莊家的明牌獲得的預期值，假設莊家在軟17點和無限牌上停牌。

所以，如果可以為莊家選擇一張明牌，那應該選六。六對莊家不利，對玩家也不利。綜合考慮，如果可以從牌盒中取出一張牌，應該選五。

謝謝。幾乎每家賭場禮品店都會出售基本的策略卡，但不知為何，他們沒有標明何時應該投降。投降的情況並不多，但這些情況經常發生，所以我認為值得記住。在六副牌的遊戲中，如果莊家拿到軟17點停牌，投降機率為0.07%，如果拿到軟17點，投降機率為0.09%。

我的二十一點附錄9就是為這類問題設計的。假設有6副牌，我的表格顯示，8+2對7的加倍預期值為0.396342。8+3對10的加倍預期值為0.176919。所以你說得對，10對7的加倍是更好的選擇。

假設拉斯維加斯大道的規則較為寬鬆（六副牌，莊家在軟17點停牌，分牌後允許加倍，允許後期投降，允許再次分牌A），以下是最初兩張牌加倍時各種可能結果的機率。這不包括分牌後加倍。

我的二十一點附錄14顯示，如果你的第一張牌是6，你的預期價值就已經約為-21%。例如，如果他下注100美元，那麼賣出這手牌並下注的合理價格大約是79美元。或許你可以利用他的抱怨，提出以低於79美分的合理價格買下他的牌。我建議75美分的出價，這樣既能為你帶來優勢，又不會佔太多便宜。

我的閃光二十一點莊家策略展示了在莊家意外暴露底牌的情況下該如何應對。然而，大多數玩家，包括我，都沒有記住這一點。在這種情況下，如果莊家的兩張牌總點數不超過九點，你可以使用基本策略，假設莊家的明牌等於他兩張牌的總和。根據這個經驗法則，三位玩家都玩得正確。與莊家的說法相反，玩家完全有權利用從此類莊家錯誤中收集到的任何資訊。我不僅會無視莊家的評論，還會繼續玩，希望他再犯錯。

不用客氣。對於那些可能不明白這個問題的讀者，「查理」規則是指玩家只要拿到一定數量的牌（通常是五到七張）且沒有爆牌，就自動獲勝。下表針對三張或三張以上的牌，顯示了當玩家距離這種自動獲勝者只差一兩張牌時的基本策略。

希望您滿意，我添加了一個新頁面來回答這個問題。請參閱我的“二十一點附錄 19” 。

原因是我的二十一點基本策略是基於8副或更少的牌，而閃牌莊家策略則是基於無限多副牌。在無限副牌的二十一點遊戲中，你也應該打出A2而不是5。無限副牌假設是分析二十一點的偷懶方法。我之所以這樣做，是因為我認為這個頁面不常用，而且錯誤成本非常低，每202,000個單位的賭注只犯一個單位的錯誤。

原因是我的表格假設前排玩家會繼續重新分牌（如果可以的話）。這會降低單張10的價值，因為我假設前排玩家會繼續犯同樣的錯誤（如果可以的話）。我剛剛把這個條件加入了那個頁面。

這些表格假設莊家沒有黑傑克。這是因為輪到玩家行動時，莊家已經偷看了黑傑克。假設莊家沒有黑傑克，正確的加倍或分牌決策應該基於條件期望。否則，玩家面對10或A時，會過於膽怯，不敢加倍或分牌。將機率和期望值的點積相加會得到錯誤的結果，因為莊家拿到黑傑克時，並沒有損失。

要計算整個遊戲的賭場優勢，你應該減去莊家拿到黑傑克時的預期損失。如果是六副牌，莊家拿到黑傑克的機率是10的數量乘以A的數量，再除以兩張牌組合的數量，即 (6×16)×(6×4)/combin(312,2) = 0.047489。然而，玩家只有在沒有黑傑克時才會輸。假設莊家已經有一張黑傑克，玩家拿到黑傑克的機率是 (6×16-1)×(6×4-1)/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家輸給莊家黑傑克的機率是 0.047489 × (1-0.045621) = 0.045323。你應該從上面的點積中減去這個數字：0.04518876 - 0.045323 = -0.00615144。因此，根據附錄中規定的規則，賭場優勢為0.62%。

我感同身受。你可以想像西班牙21點有多糟糕，它要求玩家像3點對14點這樣的打法。如果只是表面現象，我就會放過它。如果只是文字問題，我會說：「這裡還有很多其他桌子。」你根本無法用解釋賠率來說服這種傻瓜。信念越荒謬，人們就越容易固執己見。

無論如何，通常沒有簡明扼要的解釋來解釋為什麼一種玩法比另一種玩法更好。要知道為什麼正確的玩法是那樣，你必須要么考慮剩餘牌可能出現的所有情況，無論是玩家還是莊家，要么把這手牌玩上千遍，甚至數百萬遍，直到牌局非常邊緣化。你應該選擇預期價值最高的。只有拒絕保險的玩法才容易解釋。

假設有六副牌，莊家在軟17點停牌，玩家可以重新分牌，最多分到四手牌。每次基本策略變化的影響在於該手牌出現的機率以及出現錯誤打法的成本。我的二十一點附錄9顯示了每手牌出現的機率以及每種打法的預期價值。假設玩家選擇要牌而非分牌，對遊戲預期價值的影響如下：

機率(8,8 vs A)×(EV(擊中)-EV(拆分)) + 機率(8,8 vs 9)×(EV(擊中)-EV(拆分)) + 機率(8,8 vs 10)×(EV(擊中)-EV(拆分))
= 0.0003036 × (-0.513551 -(-0.364371)) + 0.0004404 × (-0.505707 -(-0.38995)) + 0.0016249 × (0.53531 -5385)
= -0.019%。

因此，如果莊家拿到 9、10 或 A，而玩家拿到 8、8，賭場優勢就會增加 0.019%，也就是說，每玩 5,300 手牌，賭場優勢就會增加一次。如果玩家選擇投降而不是拿牌，賭場優勢就會降至 0.013%。所以，這並不是一個重大錯誤。相比之下，在六副牌的遊戲中，如果玩家拿到“等額賭注”，而莊家拿到 A，賭場優勢就會增加 0.014%。如果玩家對每張黑傑克和 20 都投保（這是一個常見的錯誤），那麼錯誤成本就會躍升至 0.149%！

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我的二十一點附錄9可以解答這類問題。例如，假設有六副牌，莊家拿到軟17，那麼用二十一點對抗莊家5點加倍的預期價值為0.622136，對抗莊家6點加倍的預期價值為0.667063。兩者都遠低於1.2，成本超過一半的賭注。即使二十一點只支付等額的賭注（不幸的是，現在有時確實如此），你也應該在二十一點上停牌。唯一不該在二十一點上停牌的遊戲是三倍21點，玩家在二十一點對抗莊家6點上應該三倍下注。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

是的！讓我們考慮以下情況：

6層甲板
莊家拿到軟 17
玩家有 A,6
莊家亮出 2

根據我的二十一點附錄 9 ，以下是每次玩法的預期值：

立場 -0.152739
命中 -0.000274
雙倍 -0.004882

因此，要牌是平均輸錢最少的玩法。若玩家加倍，則誤差的預期值為 -0.004882 - (-0.000274) = -0.004608。根據我的二十一點莊家優勢計算器，在這些規則下（假設投降、分牌後加倍以及A重新分牌），莊家優勢為 0.48%。通常情況下，某些選項是不允許的，從而增加了莊家優勢。因此，只要莊家在六副牌的遊戲中拿到軟 17，那麼在面對 2 時將軟 17 加倍的成本低於在另一手牌上下注相同金額的成本。

在任何涉及加註的遊戲中，你都可以提出同樣的觀點。例如，在三張牌撲克中，如果你想最小化每手牌的預期損失，那麼最佳策略是在Q64或更高牌面加註，正如我在三張牌撲克頁面上所提到的。然而，如果你的目標是最小化每手牌總投注額的預期損失，那麼最佳策略是在Q62或更高牌面加註。

這就引出了一個問題：為什麼像我這樣的賭博作家會以最小化每註初始投注的預期損失而不是總投注金額作為策略基礎？我的答案是，這主要是出於傳統。二十一點基本策略就是這樣誕生的，出於習慣和簡單性，每個人都保留了這個方法。如果休閒玩家的目標是在規定的時間內最小化損失，那麼他應該採用能夠最小化每手牌預期損失的傳統策略。如果玩家的目標是最小化總投注金額超過 x 美元的損失，那麼他應該選擇前面提到的那種略微糟糕的加倍和加註策略。我傾向於認為大多數玩家的目標都是基於時間的，因此更傾向於採用傳統策略。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我認為二十一點玩家最容易犯錯的玩法是在允許分牌後加倍的情況下，對著5或6分牌，卻用4、4分牌。在六副牌的遊戲中，出現這種情況的機率是1/1135。根據我的二十一點附錄9 ，假設玩家選擇要牌而不是分牌，那麼對著5的預期成本是2.83%，對著6的預期成本是4.38%。總的來說，如果玩家每次都犯這個錯誤，遊戲的莊家優勢就會上升0.0032%。所以，這個錯誤代價不高，因為它很少發生。然而，我從未見過其他玩家在這種情況下正確地分牌。當我看到的時候，荷官和其他玩家通常會翻白眼。有一次，我聽到另一個玩家假裝我不在場，錯誤地對荷官說：“你永遠不應該分任何以F開頭的牌。”

如果問題是，考慮到玩牌頻率和錯誤代價，哪個錯誤代價最大，那麼我只能大膽猜測。我的猜測是，最大的錯誤是沒有在應該軟加倍的時候變得軟加倍。我很少看到業餘玩家用軟17對6這樣的牌加倍。下表顯示了四種常見錯誤所導致的賭場優勢的增加。表格假設玩家在這種情況發生時總是會犯錯，而不是選擇次優選擇。例如，在12對2或3的情況下停牌，我沒有將6、6的玩家納入考慮。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

首先，值得重申的是，16對10的牌局是一手介於要牌和停牌之間的牌。如果允許投降，那麼對於採用基本策略的玩家來說，這比要牌或停牌要好得多。否則，平均而言，要牌會稍微好一點。只要從八副牌的牌盒中取出一張小牌，就能改變停牌的賠率，因為少了一張小牌，剩下的大牌就更多了，要牌的風險也就更大了。這就是為什麼我說，如果你的16點由三張或更多牌組成，你就應該停牌，因為一張三張16點通常會從牌盒中取出至少兩張小牌。

其次，洗牌後的第一手牌，如果基本策略和算牌策略在如何玩這手牌上有所不同，則以基本策略為準。基本策略是根據觀察到的具體牌型精心設計的，旨在考慮牌堆的具體構成。索引值表是一種更直觀的工具，適用於所有牌盒。

在這種特殊情況下，算牌者可以選擇要牌或停牌，這取決於他如何對真實點數進行捨入。如果他向下舍入，真實點數將為 -1，因此他要牌。如果他向上捨入，即捨入到最接近的整數，則真實點數將為 0，因此他停牌。只要我提到這一點，根據唐·施萊辛格 (Don Schlesinger) 的《黑傑克攻擊》(Blackjack Attack)，舍入的首選方法是“向下取整”，即向下舍入，在本例中為 -1，因此玩家可以正確要牌。

另一個類似的情況是 15 對 10。83% 的時間（10+5 或 8+7，但不是 9+6），這會導致洗牌後第一手牌的運行計數為 -1，而投降的索引號為 0。向下舍入會導致玩家錯誤地擊中，而投降是更好的選擇。

重點是，洗牌後第一次做決定時，如果其他玩家沒有其他牌，算牌者應該使用基本策略。之後，恢復使用索引號。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。