百家樂 - 常問問題

首先，我假設您不計算平局。換句話說，您的意思是 75 手牌不平手。 75 手牌不平手的可能性非常小。在 75 手牌中，莊家獲勝的預期次數為 38.00913745。標準差是 75、莊家獲勝機率和閒家獲勝機率乘積的平方根。假設沒有平局，莊家獲勝的機率為 0.506788499，閒家獲勝的機率為 0.493211501。因此，標準差為 4.329727904。然後，您必須對二項分佈進行半點修正，並在標準常態分佈表中尋找 Z 統計量（此步驟留給讀者）。最終答案是，莊家贏 52 次或以上的機率是 0.0009。您的問題也考慮了莊家贏 23 次或更少（也相差 29 次或更多）的可能性，這個機率是 0.0004。所以最終答案是，相差 29 次或更多的機率是 0.0013，即 769 分之一。

謝謝你的讚美。我在百家樂附錄2中提到了算牌的弱點。長話短說，除非你用電腦，否則百家樂是無法算牌的。

莊家獲勝的機率為45.843%，閒家獲勝的機率為44.615%，平手獲勝的機率為9.543%。因此，如果佣金為4%，莊家下注的回報率為.45845*.96 - .44615 = -.00606。也就是說，賭場仍然擁有0.6%的微弱優勢。

這是馬丁格爾投注系統的一種近似變體，玩家每次輸錢後都會加倍下注。通常情況下，採用馬丁格爾投注系統的玩家會贏錢，但偶爾也會遭遇超出承受能力的連輸，從而遭受巨額損失。假設你的朋友押注該玩家，那麼任何特定投注連續輸九次的機率為 (2153464/(2153464+2212744)) ⁹ =~ 0.001727，即 579 分之一（假設忽略平手）。在我的投注系統部分中，可以找到更多關於馬丁格爾投注系統荒謬之處的資訊。然而，信念越荒謬，人們就越容易固執己見。通常需要一場巨額損失才能讓任何特定投注系統的信徒放棄信仰。

玩家押莊每單位的預期報酬為 .45843*.95 + .44615*-1 = -.01064。玩家的損失就是賭場的收益。因此，賭場優勢為 -1*-.01064 = .01064 = 1.064%。同樣，玩家押注的預期回報為 .45843*-1 + .44615*1 = -.01228。因此，玩家押注的賭場優勢為 1.228%。

這會是一個糟糕的玩法。例如，我的二十一點附錄 9B展示了用 10 和 6 張牌對抗莊家 7 點牌的兩種情況的回報。拿牌的預期損失為賭注的 39.6%。然而，停牌的預期損失為 47.89%。我無法輕易解釋為什麼拿牌比較好。你必須考慮所有可能發生的情況，用機率加權，然後取總和。總的來說，拿牌是兩種糟糕玩法中更好的選擇。

我有一整頁關於百家樂算牌的討論。簡言之，閒家的最佳牌型是4，莊家的最佳牌型是6。

首先，他們很可能每手牌後都會洗牌。即使他們真的進入了牌盒，我也懷疑他們是否玩完整個牌盒。平均每手牌的牌數是4.94張。假設有15張棄牌，一副六副牌盒大約會有60手牌。然而，從數學上講，他們什麼時候洗牌並沒有什麼區別。

所有投注系統都有缺陷。像您這樣的累進系統通常能贏，但偶爾也會虧損慘重。從長遠來看，您的收益不會比平注投注者或其他系統的使用者更好或更差。

我的 Java 遊戲是基於 Visual J++ 自帶的隨機數產生器。就個人遊戲而言，它應該相當公平。我推測任何偏差只有在數百萬手牌之後才會顯現出來。您的結果並非由偏差的隨機數產生器造成，而是運氣和累積投注系統共同作用的結果。

等待連續四張牌是沒用的。牌沒有記憶。輸了之後加倍也沒什麼用。我建議每次都押莊家。跳過幾手牌沒問題，事實上，完全不玩才是最好的策略。

百家樂中的莊家投注並非正期望投注。你混淆了贏錢的機率和正期望值。即使沒有投注系統，你也有可能贏得任何莊家投注，但由於 5% 的佣金，你贏得的金額會低於你的投注金額。這使得莊家投注成為負期望投注。

以下是我的二十一點附錄 2 中為計算玩家賭注而分配的每個等級的值。真實計數是運算計數除以剩餘牌組的數量。

我證明，如果真實點數超過 17,720，那麼玩家下注的賭場優勢將降至 1.06%，與莊家下註一樣有利。當真實點數超過 17,720 時，玩家下注更有利。

我必須說，您只需走到二十一點賭桌前，使用基本策略即可獲得更低的莊家優勢。

莊家獲勝的機率為45.86%，閒家獲勝的機率為44.62%。因此，賭場優勢為44.62%-0.9*45.86%=3.346%。

更準確的方法是除以剩餘牌的確切數量。他試圖證明，百家樂在所有實際用途上都是不可數的，即使對於電腦來說，即使是完美的算牌者也是如此。所以沒有必要設計一個更實用的計數方法。如果百家樂不值得完美算牌者玩，那麼對一般人來說，它當然也不值得玩。

首先，讓我們為那些不了解的人定義一下比洞賽優惠券。這在賭場趣味書籍中很常見。如果玩家使用比洞賽優惠券進行真正的等額投注，那麼如果玩家獲勝，比洞賽優惠券將轉換為等額現金。例如，如果玩家擁有 5 美元的比洞賽優惠券，並在輪盤賭中用它押注 5 美元的紅色，那麼如果玩家獲勝，他的 5 美元將贏得 5 美元，他的比洞賽優惠券將轉換為 5 美元。無論玩家輸贏，他都將失去比洞賽優惠券。如果出現平局，玩家可以保留比洞賽優惠券。

如果在二十一點中使用配對玩法，通常只會支付等額的賭注。這會使匹配玩法本身的價值降低 2.3%，這實在是太多了。在真正的等額賭注中，百家樂中最適合使用配對玩法的遊戲是閒家賭注。此賭注的勝率高達 49.32%。對於擲骰子中的不通過賭注，該機率為 49.30%。假設你不會以其他方式下注，那麼閒家賭注的匹配玩法價值為面值的 47.95%。

對於沒有賭場經驗，又想玩點容易玩的，我建議先從百家樂開始。每次都押莊家就好。

(8 ² /combin(416,2))* (7 ² /combin(414,2)) = 0.00000043，或 2308093 中的 1

它們有很多，但都毫無價值。

馬丁格爾策略在每場遊戲中都很危險，長遠來看永遠不會贏。然而，它在百家樂中比在輪盤賭中更適合使用，因為百家樂的莊家優勢更低。玩家連續贏8次的機率是0.493163^8 = 286分之一。另外，請記住，你可能在系列賽後期贏了一手牌，但仍然會因為委託而落後。例如，如果你最初下注1美元，在第7手牌贏了，你將贏得60.80美元（64美元*95%），這不足以彌補之前輸掉的63美元。

這取決於遊戲的玩法。如果將最佳策略與最佳策略進行比較，那麼擲骰子更勝一籌。只下注線注並採用最大賠率，擲骰子的總賭場優勢遠低於1%。百家樂中，押莊家贏的最好情況是賭場優勢為1.06%。然而，由於玩家的下注次數眾多，擲骰子的實際賭場優勢如果更高，我也不會感到驚訝。

首先，我假設你想讓我忽略平局。從我的百家樂部分來看，假設沒有平局，玩家獲勝的機率是 49.32%。我們將使用二項分佈的常態近似來解決這個問題。玩家獲勝的預期次數為 500*0.4932 = 246.58。46% 的決策次數為 230。標準差為 (500*(0.4932)*(1-0.4932)) ^1/2 = 11.18。所以…

pr(玩家獲勝> 230) =
pr(玩家勝率-246.58 > 230-246.58) =
1-pr(玩家獲勝-246.58 <= 230-246.58) =
1-pr(玩家獲勝-246.58+0.5 <= 230-246.58+0.5) =
1-pr((玩家獲勝-246.58+0.5)/11.18) <= (230-246.58+0.5)/11.18) =
1-Z(-1.44) =
1-0.075145503 =
0.924854497

所以答案是 92.49%。

莊家賭注的賭場優勢為 4.07%。

就我所知，主流軟體公司發牌的方式都是公平隨機的。我個人檢查過Odds On、Infinite Casino和IQ Ludorum的日誌文件，發現它們確實公平。數學定律表明，發牌次數越多，實際回報就越接近理論回報。如果你想證明事實並非如此，我建議你記錄發牌情況，並對結果進行統計檢定。更多信息，請參閱我的黑名單。

謝謝你的讚美。我已經在我的百家樂專欄裡討論過免佣金百家樂了。沒錯，贏6點是傻瓜賭注。莊家贏6點的機率是5.39%，閒家贏6點的機率是6.26%。莊家的賭場優勢是30%，閒家的賭場優勢是18.68%。

假設忽略平局，單一莊家獲勝的機率為 0.50682483，單一閒家獲勝的機率為 0.49317517。因此，跳過平局，接下來 8 手牌莊家獲勝的機率為 0.50682483 ⁽⁸⁾ = 0.004353746。閒家獲勝的機率為 0.49317517 ⁽⁸⁾ = 0.003499529。

謝謝你的讚美。你說得對，如果取消了比洞賽，你不應該投降。還有一些其他的策略變化，但我從未列出清單。一般來說，賭場不允許將比洞賽籌碼加倍，在這種情況下，你應該不太願意加倍。史丹福·黃（Stanford Wong）的《基礎二十一點》（Basic Blackjack）指出如果允許比洞賽加倍，何時應該加倍。我的建議是在百家樂中將比洞賽用於閒家投注。

我的網站管理員 Michael Bluejay 是一位忠實的 Mac 用戶，他有一個關於Macintosh 賭場遊戲的有用頁面。

謝謝你的誇獎。正如我在牌九撲克專欄中所說，莊家贏的機率是29.98%，閒家贏的機率是28.55%，平手的機率是41.47%。所以，如果你的佣金是1%，那麼在一對一遊戲中，作為莊家的預期收益將是.2998-.2885-0.01 = 0.0043，即閒家優勢為0.43%。作為閒家，預期收益是.2855-.2998-0.01 = -0.0243，即莊家優勢為2.43%。

回顧過去的遊戲並詢問賠率是不好的做法。我更喜歡提出一個假設，然後收集數據來證明或反駁它。但是，如果必須的話，我會這樣提你的問題：“我押莊68次，輸了25.95個單位（44-0.95*19）。輸這麼多或更多的機率是多少？”

要回答這個問題，我們必須先找到押莊單註的變異數。以下是我在百家樂專欄中根據Microgaming單副牌規則得出的可能結果及其機率。

勝率：45.96%
虧損：44.68%
推：9.36%

因此單次投注的變異數為 .4596*(.95) ² + .4468*(-1) ² +.0936*0 ² - (-0.010117) ² = 0.861468877。

其中68個投注的變異數就是單一投注變異數的68倍，即68*0.861468877=58.57988361。68個投注的標準差就是變異數的平方根，即58.57988361 ^1/2 = 7.653749644。

在單副牌遊戲中，莊家下注的賭場優勢為 1.01%。因此，在 68 次下注中，您預計會損失 0.67 個單位。您損失了 25.95 個單位，比預期多 25.28 個單位。因此，您的結果為 25.28/7.653749644 = 3.30 個標準差，低於預期。然後，您可以使用常態分佈表來計算此結果的機率。 Excel 有一個功能可以執行此計算，只需在任意儲存格中輸入 =normsdist(-3.30)，結果為 0.000483424，即 2069 分之 1。這就是您損失金額相同或更多的機率。我很感激您沒有指控任何不正當行為。但是，如果您指控了，我認為這不足以證明任何事情。這很容易被解釋為簡單的運氣不好。

感謝您的讚賞。首先，百家樂並非在所有實際用途上都可計數。我自己也對您的第二個問題感到疑惑。我以前用過Uston的加/減法，後來改用了Wong的高/低法。回想起來，我認為Wong的高/低法並沒有更強大，但它包含的資訊更多。我的二十一點附錄7顯示，從每副牌中移除一張2會使玩家的回報增加0.39%，而移除一張7只會增加0.29%。所以，如果您必須只追蹤一張牌，那麼2更好。 Knockout Count同時追蹤2和7。我的意見是，如果您還沒有開始計數，那麼2-6的高/低法會略勝一籌，但是如果您已經在使用其他方法，那麼您應該堅持使用這種方法。

首先，我要說這傢伙是個傻瓜。他在一個普通的美式輪盤賭上押了13.8萬美元，這個輪盤有兩個零，賭場優勢是5.26%。這相當於預期損失7,263美元。然而，如果他坐10分鐘的車去百樂宮、幻影酒店或阿拉丁酒店，他完全可以在單零輪盤賭上押注，因為單零輪盤遵循歐式規則，如果球落在零上，他會退還一半的等額投注。反正他打算押等額投注。所以，在這些完全遵循歐式規則的輪盤賭上，他的賭場優勢只有1.35%，預期損失只有1865美元。

回答你的問題，如果被迫只進行一次等額賭注，我會選擇百家樂中的莊家賭注，其賭場優勢為 1.06%。

百家樂（在大型賭桌上）是唯一允許玩家損壞牌的賭場遊戲。我聽到的一個解釋是，亞洲玩家在慢慢翻看牌時會把牌彎折，這樣每張牌就只能用一次。因此，只要荷官在用過一次後更換牌，賭場就可能允許玩家隨意處置這些牌。識別牌對百家樂玩家來說意義不大，因為荷官不會像二十一點那樣拿走底牌，玩家也無法選擇要牌還是停牌。然而，博彩規則也規定，如果發生爭執，紙帶必須顯示所有牌，但如果玩家先撕掉紙帶，就無法做到這一點。在節目中，你提到玩家並不知道這一點，我認為雙方都處理得很糟糕，導致了節目中出現的激烈爭論。如果我是賭場經理，我會解釋我剛才說的話，然後讓玩家把牌正面朝上放在桌上，然後再把它撕成碎片。

順便提一下，本季某個時候我會出現在《賭場》節目。故事講的是一些大學生試圖盡快把1000美元變成5000美元。他們向我諮詢如何實現這個目標。

更新：那一集沒播出。可能是因為我。

賭場優勢為0.93%。更多詳情請參閱我的百家樂附錄6 。

並沒有一個神奇的數字可以讓你進入長期運行，或確定樣本量何時足以證明一個假設。這始終是程度問題。但是，我們可以說樣本平均數的標準差與樣本數的平方根成反比。你的問題比較模糊，所以讓我重新表達一下：需要多大的樣本量才能讓樣本平均值在 95% 的機率下與實際平均值的偏差在 1% 以內？從我的賭場優勢部分，我們看到莊家下注的標準差是 0.93，閒家下注的標準差是 0.95。由於你來回反复，我們將使用平均值 0.94。現在我揮揮手，得到的答案是 33,944 手牌。每副牌 60 手，總共有 566 副牌。

你說“我不需要投注系統”，但何時押莊或押閒的決策規則肯定是一個投注系統。不過，我仍然懷疑你能否在1600雙鞋的比賽中獲得可觀的利潤。

為了揭穿博彩系統的真相，我過去常說，過去在賭博中並不重要。然而，偶爾有人會反駁我說，過去對算牌者來說很重要，這話沒錯。所以現在我說，在輪盤和擲骰子等獨立試驗的遊戲中，過去並不重要。正如我在百家樂附錄2所示，一副牌盒裡有很多小牌對閒家有利，一副牌盒裡有很多大牌對莊家有利。因此，在百家樂中，下一個結果與上一個結果相反的可能性極小。所以，是的，百家樂的賠率確實會隨著牌局的展開而變化，但變化幅度很小。就所有實際用途而言，該遊戲是不可數的。我不知道莊家是否能贏得每一手牌，但我推測答案是肯定的。

我會把200美元押在百家樂的閒家注上。如果贏了，就走；如果輸了，就押400美元（或你輸掉的金額）。然後就一直使用馬丁格爾策略，直到你贏回200美元，或是輸掉全部5000美元。

幸運的是，我是詹姆士龐德的忠實粉絲，擁有所有龐德電影的DVD。我查了《諾博士》 ，他似乎在玩「鐵路牌」。這段對話是用法語說的，這對我來說沒什麼幫助。 《最高機密》裡也有類似的場景。在那部電影裡，邦德似乎在玩百家樂，扮演莊家，但莊家表演後，他停頓了一下，另一個角色告訴邦德：「勝算更大，保持現狀不變。」這意味著邦德可以自由選擇是否要第三張牌，而百家樂則沒有這個選項。據我了解，我的賭博經驗表明，美式百家樂是「鐵路牌」的簡化版，發牌規則是預先決定的。順便說一句，根據www.casino-info.com的資料，美式百家樂起源於古巴哈瓦那的卡普里賭場。

謝謝你的評論。我又把《最高機密》裡那個場景看了好幾遍，還是沒搞懂到底是怎麼回事。荷官用法語解說，更沒用。牌桌也很簡單，像撲克牌桌一樣，不像美式牌桌那樣，可以根據位置判斷賭注，這更沒用。

我們看到邦德在發牌，但一位看不見的荷官正在付錢給玩家。邦德的下注顯然與桌上唯一的另一位下注者相反。第一手牌中，另一位角色翻出一張兩張自然牌8，龐德翻出一張兩張5，龐德贏了這手牌。這意味著另一位玩家押莊，而邦德押閒。在第二手牌中，另一位下注者在妻子的慫恿下，將賭注從50萬加到100萬。拿到前兩張牌後，他要求第三張牌。邦德翻開自己的兩張牌，露出一張人頭牌和一張5，並給了另一位下注者第三張牌。另一位下注者的牌還沒有翻開，但他似乎對自己的牌很滿意。這時，一位剛走過來的角色對邦德說：「賠率有利於維持現狀。」然而，邦德還是拿了一張牌，是一張4，總點數為9。另一位玩家沒有翻牌就怒氣沖沖地走了。

這和你說的一致，只是邦德是最後出場，或者說是莊家。我傾向於認為這部電影的美國製作人不懂歐洲百家樂的規則，錯誤地把自由牌給了莊家，而不是給了閒家。這肯定不是電影裡第一次錯誤地描繪賭博場景。我在電影和電視裡看過無數算牌的場景，卻從未發現任何接近真實的場景。

我同意，如果可以選擇，莊家在5點停牌的賠率更傾向於玩家。假設莊家規則相同，那麼如果玩家在5點停牌，以下是基於8副牌遊戲的每注莊家優勢。

因此，如果玩家連續拿到5，賭場優勢就會在玩家下注金額增加0.29%。玩家拿到5的機率為9.86%，而莊家沒有拿到天牌的機率為9.86%，因此每5的成本為2.94%。

同樣的遊戲，沒有附加賭注，曾經在大西洋城舉行過，我的百家樂附錄6對此進行了分析。那裡顯示，超級6的機率是5.3864%。所以，12比1的賠率下，賭場優勢是29.977%（哎喲！）。

燒牌對基本策略玩家沒有任何影響。他們這樣做可能是為了打擊算牌者。不過，他們也可能提早洗牌。對於算牌來說，重要的是已見牌的數量，未見牌是燒掉的還是在切牌之後的並不重要。

謝謝。 3 美元的賭注支付 25 美分的佣金，相當於 8.33% 的佣金。假設您只扮演玩家，那麼兩次下注的勝率為 28.61%。因此，5% 佣金規則的正常成本為 0.2861×0.05=1.43%。複製輸錢規則的正常成本為 1.30%，因此總賭場優勢通常為 1.43%+1.30% = 2.73%。就這款遊戲而言，佣金成本為 0.2861×0.0833=2.38%。因此，總賭場優勢為 2.38%+1.30%=3.68%。

我希望你開心，我剛剛用了一整個部分來回答有關百家樂中閃光發牌人的這個問題。

有些資料對百家樂莊家優勢的定義有分歧，主要原因在於其定義方式。我傾向於將莊家優勢定義為預期賭場贏利與初始投注額的比率。其他博彩作家則將其定義為預期賭場贏利與已結算投注額的比率。區別在於是否將平局視為一種可能的結果。在八副牌的遊戲中，百家樂的機率如下：

• 莊家贏：45.8597%
• 玩家獲勝：44.6274%
• 平手勝率：9.5156%

以下是我透過計算平局來計算每次賭注的預期回報的方法。

• 銀行家：0.458597*0.95 + 0.446274*-1 + 0.095156*0 = -0.010579
• 玩家：0.458597*-1 + 0.446274*1 + 0.095156*0 = -0.012351
• 領帶：0.458597*-1 + 0.446274*-1 + 0.095156*8 = -0.143596

因此，我得到的賭場優勢是玩家 1.24%，莊家 1.06%，平手 14.36%。

其他博彩作家則傾向於將平手視為非事件，換句話說，將賭注留到結果出來再決定。莊家或閒家獲勝的機率為 45.8597% + 44.6274% = 90.4844%。下一個結果為閒家獲勝的機率為 44.6274%/90.4844% = 49.3175%。下一個結果為莊家獲勝的機率為 45.8597%/90.4844% = 50.6825%。

另一個陣營計算閒家投注預期回報率的方式是：49.3175%*1 + 50.6825%*-1 = -1.3650%。莊家投注預期報酬率（忽略平手）為：49.3175%*-1 + 50.6825%*0.95 = -1.1692%。因此，忽略平局，賭場優勢為閒家 1.36%，莊家 1.17%。

我認為計算平局是合理的一個原因是，它能讓玩家準確地衡量一段時間內的預期損失。例如，如果一位玩家在百家樂中每手押莊家 100 美元，持續 4 小時，而賭場的平均遊戲速度為每小時 80 手，那麼玩家的預期損失為 100 美元*4*80*0.0106=339.20 美元。無需擔心平局的機率。如果賭場使用 1.17% 的莊家優勢來計算莊家，那麼就會高估預期損失，並可能因此過度補償玩家。

我計算平局的另一個原因是，所有主流的二十一點和視訊撲克專家在分析這些遊戲時都會計算平局。例如，如果你在9/6 J或更好的牌型中忽略平局，當你拿到一對J到A時，回報率將是99.4193%。我從未見過有人引用9/6 J的這個數字；人們普遍認為，在最佳策略下，回報率是99.5439%。

最後，這裡有一些賭博書籍和百家樂所用數字的表格。

Robert C. Hannum 和 Anthony N. Cabot 編寫的《賭場數學》列出了兩種賭場優勢。

正如我在之前的問題中引用的那樣，8 副牌百家樂的機率是：

• 莊家贏：45.8597%
• 玩家獲勝：44.6274%
• 平手勝率：9.5156%

因此，押莊的預期值為 45.8597%*(1-(1/35)) + 44.6274%*-1 = -0.00075。因此，賭場仍有 0.075% 的優勢。押莊的損益平衡佣金為 2.693%。如果您下注 37.14 美元，賠率就會對您有利。

是的， Bodog確實會為平手支付 9 比 1 的賠率。假設使用八副牌，那麼賭場優勢將從 14.360% 降至 4.844%。

不客氣，謝謝你的讚美。在不知道任何機率的情況下，如果這些就是賠率，那麼至少有一個投注會存在玩家優勢。判斷方法是將1/(1+x)相加，其中x是所有投注中該投注按「一比一」的賠率支付的金額。如果這個和小於1，那麼至少有一個投注存在玩家優勢。在這種情況下，根據你的賠率，這個和應該是1/2.5 + 1/3 + 1/4 = 0.9833。例如，如果你看到一個業餘玩家在玩體育博彩期貨，這個技巧可能會派上用場。

這裡可能的情況是，六張牌的賠率為2比1。基於這個假設，以及六副牌，四張牌的莊家優勢為5.27%，五張牌的莊家優勢為8.94%，六張牌的莊家優勢為4.74%。更多信息，請參閱我的百家樂附錄5 。

我向《問問巴尼：拉斯維加斯內幕指南》的作者巴尼·文森（Barney Vinson）詢問了這個問題。他說賭場很可能只會對其中一個賭注進行評級，例如你的情況是25美元。這樣做的好處是可以降低風險。如果你需要投入大量資金，例如獲得受邀參加活動的資格，而且你又沒有太多錢可以輸，那麼這可能是個不錯的選擇。然而，我認為，如果涉及大筆投注（100美元或以上），就會觸發警示信號，你很可能不會被邀請參加下一場活動。

我已經回答過關於輪盤賭的問題，百家樂的答案也一樣。無論允許的投注差額是多少，賭場優勢都是一樣的。我曾多次問過賭場高層，為什麼他們把差額控制得這麼小。例如，如果賭場在高限額房間接受15萬美元的百家樂投注，為什麼主賭場的最高限額只有5000美元？大家普遍的答案是，賭場喜歡把大玩家聚集到高限額區域。我理解的原因是這些區域的服務和遊戲安全性更好。這絕對不是為了挫敗系統玩家。

簡而言之，這是因為莊家最後行動。如果玩家拿到第三張牌，並且很可能對牌有幫助，莊家就會要牌。如果玩家拿到的第三張牌很可能會讓玩家的牌更差，莊家就會停牌。

從我的百家樂頁面，我們看到通常的 8 副牌遊戲中的機率是：

銀行家：45.86%
玩家：44.62%
平手：9.52%

忽略平局，莊家和玩家的機率為：

銀行家：45.68%/(45.68%+44.62%)=50.68%。
玩家：44.62%/(45.68%+44.62%)=49.32%。

第一場的總手數為282+214=496手。第一場的預期玩家勝率是49.32%×496=244.62。實際勝率282比預期高出282-244.62=37.38。

一連串勝負事件的變異數為 n × p × q，其中 n 為樣本量，p 為勝率，q 為負率。在本例中，變異數為 496 × 0.5068 × 0.4932 = 123.98。標準差為其平方根，即 11.13。因此，玩家總勝率超出預期 37.38/11.13 = 3.36 個標準差。結果出現偏差或更大偏差的機率為 0.000393，即 2,544 分之一。

使用樣本 II 的數學方法，機率為 0.042234。如果將兩個樣本合併為一個，機率為 0.000932。約 0.1% 不足以構成「絕對存在玩家偏見」。如果您仍然認為遊戲不公平，我建議您收集更多數據，以獲得更大的樣本量。

謝謝你的讚美。我的百家樂附錄顯示1-1平手的機率是0.004101。我想補充一下，這是百家樂中最不常見的結果。公平賠率是(1/p)-1比1，其中p是獲勝機率，也就是242.84比1。一個簡單的賭場優勢公式是(ta)/(t+1)，其中t是真實賠率，a是實際賠率。如果實際獲勝機率只有150比1，那麼賭場優勢就是(242.84-150)/(242.84+1) = 38.1%（哎喲！）。

在百家樂中，我會押莊家。我的投注建議是採用所謂的兩步驟推進法。首先，押注你資金的三分之一。如果贏了，就放棄。如果輸了，就押注剩下的三分之二。同樣，如果贏了，就放棄。如果出現平局，就繼續下注，直到結果出來。百家樂的賠率如下：

銀行家：45.86%
玩家：44.62%
平手：9.52%

假設賭注已決，莊家贏的機率為 45.86%/(45.86%+44.62%) = 50.68%。兩步都輸的機率為 (1-0.5068) ² = 24.32%。莊家賭注的賠率為 19 比 20，因此您有 75.68% 的機會贏得 95 美元或 90 美元（取決於您是贏了第一注還是第二注），也有 24.32% 的機會輸掉 300 美元。

回答你的第一個問題，一副八副牌盒中最後八張牌全是零點牌的機率是combin (128,8)/combin(416,8) = 0.0000687746。所以，這不是什麼值得等待的事。我不知道在其他情況下該下注什麼有什麼簡單的公式。如果你能找到一家允許使用電腦的賭場，那麼在牌盒快結束時，尤其是在平局時，優勢有時會非常大。

一個次要原因是為了挫敗算牌者。然而，與其燒掉 x 張牌，荷官可以將切好的牌向前移動 x 張，也能達到同樣的目的。主要原因是為了保護遊戲。首先，玩家可能會瞥見頂牌，並根據這些資訊調整自己的賭注和策略。我想補充一點，這種策略不算作弊。頂牌也容易受到許多作弊手段的攻擊。它可能被標記，荷官可以偷看它，或者強行將一張想要的牌放到頂牌上。如果荷官因為某些原因知道頂牌是什麼，他就可以向同夥玩家發出訊號，從而獲得巨大的優勢。

聽起來您說的是「幸運對子」 ，這是一種邊注，如果玩家的前兩張牌是一對，玩家就贏。許多百家樂賭桌也提供這種賭注。正如我在百家樂頁面中展示的那樣，假設有八副牌，賭場優勢為10.36%。在這兩款遊戲中，你幾乎都需要消除所有至少一個點數的牌才能獲得優勢。要知道這一點，你需要保留13種不同的點數。在百家樂中，這是可以做到的，因為你可以在玩的時候做筆記。然而，根據一些非常廣泛的分析，獲利機會並不常見，因此這並非一種實際的時間利用方式。

假設有八副牌，那麼「閒」注的賭場優勢為 1.2351%。預期輸掉 10 個單位所需的手數為 10/0.012351 = 809.66。

我個人認識很多在永利賭場的職業賭徒。然而，我敢肯定他們中沒有人親自見過史蒂夫·永利。我猜想只有超級巨鱷才有資格拜見他，而這些巨鱷通常都是迷信的（也就是常常輸錢的）百家樂玩家。大多數重度娛樂賭徒長期來看確實會輸錢。不過，如果永利先生認為沒人能比得上他，我建議他再次舉辦他在2007年勞動節週末舉辦的三倍積分促銷活動。即使促銷活動虧錢，那些愚蠢的玩家最終肯定能把錢還回來。

假設有八副牌，賭場優勢為4.5%。更多信息，請訪問我的百家樂附加投注頁面。

拉斯維加斯的賭場出乎意料地厭惡風險；他們不喜歡接受大賭注。對於普通顧客來說，一家不錯的賭場通常接受的最大賭注是百家樂中15萬美元的閒莊投注。在其他傳統的賭桌遊戲中，限額通常為1萬美元。如有熟客要求，賭場可以提高限額。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

莊家優勢從7點平手時的最低6.39%到0點平手時的最高12.45%。我在我的百家樂頁面上展示了所有十個投注的獲勝機率和預期回報。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

如果他押注閒家，計算起來就容易多了。我在我的 mathproblems.info 網站上算過一個類似的輪盤賭題，題號 116。對於等額投注，通用公式是 ((q/p) ^b -1)/((q/p) ^g -1)，其中：

b = 起始資金（以單位計）。
g = 資金目標（以單位計）。
p = 贏得任何給定賭注的機率，不包括平局。
q = 在任何給定賭注中失敗的機率，不包括平局。

此處，玩家初始資金為1200萬美元，即60個單位，每個單位20萬美元，並將一直玩到資金達到120個單位或破產。因此，在玩家下注的情況下，等式值為：

b = 60
克= 120
p = 0.493175
q = 0.506825

所以答案是 ((0.506825/0.493175) ⁶⁰ -1)/(( 0.506825/0.493175) ¹²⁰ -1) = 16.27%。

由於莊家投注有5%的佣金，情況要複雜得多。這會導致玩家超額完成目標的可能性很高。如果我們增加一條規則：如果贏錢的賭注能夠幫助玩家實現目標，那麼他只需下注達到1200萬美元所需的金額，那麼我估計他成功的機率為21.66%。

資金翻倍機率的一個更簡單的公式是 1/[1+(q/p) ^b]。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我在網路上找到了兩個資料來解答你的問題。第一個是我找到的一篇文章的引用：

但愛德華·索普和他的電腦在內華達州的行動還遠不止於此。所有賭博遊戲中最經典的——問問詹姆士龐德就知道了——就是那種誘人的百家樂，又稱「Chemin de fer」。它的規則不允許快速洗牌，也幾乎沒有任何作弊的機會。索普現在想出了一個打敗它的系統，而且這個系統似乎很有效。他組了一支百家樂團伍，目前已獲利超過5,000美元。這種遊戲也曾在兩家賭場被發現並被禁止。百家樂也要告別了？ —— 《體育畫報》，1964年1月13日刊

索普在他的著作《賭博的數學》中也探討了百家樂容易被算牌者利用的問題。該書的連結可以免費在線閱讀。索普最後總結：

實用的算牌策略充其量只是邊緣策略，充其量也不穩定，因為它們很容易透過洗牌剩下 26 張牌而被淘汰。

有趣的是，索普還說平手的賠率是9比1。也許這條規則在1985年這本書出版的時候更為常見。如果我沒記錯的話，直到90年代末，比尼恩的賠率都是9比1。

儘管我研究的是8比1勝率的平手投注，但我自己的分析也得出了同樣的結論。我發現現在一些賭場提供的對子投注漏洞最大，但仍然不是一種實用的優勢玩法。

我向唐‧施萊辛格詢問了這明顯的矛盾之處以及索普的百家樂團隊。唐說，他相信索普確實派了一支團隊試圖利用平局賭注。要么是索普的團隊發現了比26張牌更深的切牌遊戲，要么是他在1964年（《國際體育報》文章發表之日）到1985年（ 《賭博的數學》出版之日）之間的某個時候改變了看法。

這很可能是賭桌上所有四種投注類型的加權平均值。大部分資金押在閒家和莊家身上，賭場優勢分別為1.24%和1.06%。然而，和局和對子的賭場優勢要高得多，分別為14.36%和10.36%。玩家顯然會稍微押注於此，以將整體勝率提高到2.85%。

下表顯示了假設的投注組合，忽略死籌碼問題，得出澳門整體贏率。

是的。記住這些數字：8、27、47、67。它們的意義如下。

• 若莊家的總數為 3，且玩家抽到 8 以外的任何點數，則莊家抽牌。
• 如果莊家的總數為 4，則莊家向玩家抽取第三張牌，牌面點數為 2 到 7。
• 若莊家的總數為 5，莊家會向玩家抽取第三張 4 至 7 的牌。
• 如果莊家的總數為 6，則莊家會向玩家抽出第三張 6 到 7 的牌。

希望你開心；我剛剛創造了25萬個這樣的系統。與其在賭場用真金白銀輸錢，不如免費發現你的系統最終會崩潰（它們都會崩潰）。

我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。

是的！繼續玩，每次都下相同的金額，直到你贏到一定金額。然後退出，等待24小時，再重複。

具體來說，每注優勢為0.0233341%。採用此策略的總體優勢是其90%，即0.0210007%。

可能還有其他同樣好的策略，但如果有人有更好的策略，我洗耳恭聽。

每副牌平均有80.884手牌。平手機率為0.095156，所以如果扣除平手機率，每副牌平均有73.18740手牌（不計平手）。/p>

任49手連續牌局（不包括平手）中，48次閒家獲勝的機率是21,922,409,835,345分之一。然而，這49手牌有25.1874種可能的起始點，可供估算。因此，牌盒中出現上述事件的機率是870,371,922,467分之一。這並非一個固定的答案，但我認為這是一個非常準確的估計。

百家樂平局的機率是0.095155968。

在通常的 8 比 1 的勝率下，玩家的預期回報為 0.095156 × (8+1) - 1 = -0.143596。

當獲勝比例為 9 比 1 時，玩家的預期回報為 0.095156 × (9+1) - 1 = --0.048440。

當贏利為 8 比 1 時，預期玩家損失將高出 0.143596/0.048440 = 2.9643960 倍。因此，如果賭場將贏利提高到 9 比 1，則賭場需要對平局採取 2.9643960 倍的行動，才能使預期賭場贏利保持不變。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

下表按等級顯示了百家樂中所有四張、五張和六張牌的排列數，總共有 4,998,398,275,503,360 種可能的排列。

下表依等級顯示了百家樂中四張、五張和六張同點牌的機率。

對於那些不熟悉「龍獎金」的人來說，它是一種基於百家樂勝率的附加投注。如果勝率是9，且9點牌不是自然牌，那麼它的賠率為30比1。

百家樂牌盒的平均手數為 80.884，但為了方便計算，我們就說是 81 吧。

使用二項式公式，下表顯示了 81 手牌中 0 到 10 30-1 獲勝的機率。

表顯示，恰好八次 30-1 獲勝的機率為 0.0000000857，即 11,670,083 分之一。

八次或更多次獲勝的機率為 0.0000000907，即 11,029,777 分之一。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

提醒一下，這些程序的運作方式是玩家用現金購買不可流通籌碼。這些籌碼是「用到輸」類型的籌碼，在澳門通常被稱為「死籌碼」。贏的錢將以可兌現的籌碼支付。所有不可流通籌碼用完後，玩家將根據原始買入金額獲得佣金。我猜佣金本身也是以不可流通籌碼支付的。佣金也可以預先支付，計算方法相同。

為了回答你的問題，我們來回顧一下百家樂的機率。以下是每種結果的機率。

• 莊家贏 = 0.458597423
• 玩家獲勝 = 0.446246609
• 平手獲勝 = 0.095155968

讓我們看看莊家投注。玩家在輸錢前必須在莊家投注上平均下注的次數是 1/0.446246609 = 2.240913385 次。

莊家下注的預期贏額為 0.95*0.458597423 - 0.446246609 = -0.01057900。

打出一塊不可協商的籌碼的預期成本是 0.01057900 × 2.240913385 = 0.02370675 個單位。

假設玩家獲得額外的2.4%，則籌碼的價值為（1+0.024）×（1-0.02370675）= 0.02343104。

整體而言，賭場對玩家的優勢等於遊戲成本減去促銷活動的預期價值。即 0.02370675 - 0.02343104 = 0.00012304。

因此，莊家優勢為 0.01%。

使用相同的邏輯，佣金為 2.4% 的玩家賭注的莊家優勢為 0.164089%。

莊家投注的損益平衡佣金為 2.4282409%。

這個問題是在我的Wizard of Vegas論壇中提出並討論的。

從八副牌到十副牌，對閒家投注來說略有好處，賭場優勢降低了0.0014%，從1.2351%降至1.2337%。對莊家投注來說則略有不利，賭場優勢增加了0.0012%，從1.0579%降至1.0591%。

它在平局投注上具有更大的優勢，將賭場優勢降低了 0.0477%，從 14.3596% 降至 14.3119%。

然而，最大的好處是在玩家和莊家對子投注上，將莊家優勢降低了 0.5349%，從 10.3614% 降至 9.8266%。

欲了解更多信息，請參閱我的十副牌百家樂頁面。