西克曼骰子

本週，我的北方之路之旅將暫時擱置。取而代之的是，我準備了一個謎題，我覺得它值得單獨寫一篇簡報。謎題如下：

如何給兩個骰子編號，使得任意點數總和出現的機率與兩個普通六面骰子出現的機率相同？其中一個骰子每面必須有 1 到 4 點。另一個骰子每面可以有任意數量的點。

首先，讓我們回顧一下用兩個普通骰子擲出每個點數總和的組合數量。

以下是 2 到 12 之間每個總數出現的次數。

假設骰子 1 只能擲出 1 到 4 之間的數字。可以肯定的是，至少有一個 1 和一個 4。否則，給出的範圍可能會更窄。

為了得到總共為 2 的一種組合，骰子 2 上必須剛好有一個 1。

第一個骰子上不能同時出現一個 1 和一個 4，否則總點數 2 或 12 就會不只出現一次。目前的情況是：

如果骰子1有四個2，那麼至少有4種方法可以擲出總共3點。我們需要兩種方法。所以，至少有一個面必須有3。

如果骰子 2 的點數是 1-2-2-2-3-4，那麼至少有 3 種方法可以擲出總點數為 3。同樣，我們需要正好有兩種方法。

所以，第二個骰子一定是 1-2-2-3-3-4。到目前為止，我們得到了 3 種擲出 3 的方法。

鑑於骰子 1 的點數組合，骰子 2 不能出現 2。否則，擲出總和為 3 的方法就太多了。我們嘗試讓骰子 2 的下一個點數為 3。這樣，兩顆骰子的總和如下：

請注意，擲出總點數為 5 有三種方法。我們需要總共四種方法。回想一下，用兩顆骰子，我們可以擲出總點數為 5 的方法有 1+4、4+1、2+3 或 3+2。

如果第二個骰子再擲出 3，那麼擲出總和為 5 的方法就有五種，這太多了。所以，第二個骰子的下一個點數必須是 4，才能與第一個骰子的 1 匹配，使總和再次為 5。因此，現在的情況是：

注意，我們有四種方法可以湊出總共 6 點。我們需要五種方法。如果我們再給第二個骰子加上 4，那麼湊出總共 5 點的方法就太多了。所以，湊出總共 5 點的另一種方法必須來自第二個骰子上的 5，與第一個骰子上的 1 組合。這樣我們就得到了：

接下來要看的是總數 7。目前我們有五種方法，還需要六種。這只能透過在第二個骰子上擲出 6 來實現。這將與第一個骰子上的 1 結合，使我們得到總數 7。這樣我們就得到了：

每個總和的組合數都與兩個傳統骰子的組合數相同。所以，我們完成了。順便說一下，這些骰子叫做西克曼骰子。

信用

幾十年來，我見過好幾次這個問題。我覺得如果不給提示說骰子的點數範圍是1到4，這個問題就太難了。

我在 Ted-Ed YouTube 頻道上看到一個名為“你能解開詛咒骰子之謎嗎？ - Dan Finkel ”的視頻，從中獲得了這個解決方案的邏輯。