新的 NFL 數據
本週，我將更新2022年賽季一些常見NFL投注的分析。如果您對此主題不感興趣，請直接跳到文章末尾查看本週的新謎題。
我最近獲得了2015年至2022年賽季的NFL數據。我的網站和書籍之前只涵蓋了2017年賽季。在分析了1889場比賽後，我提出了以下分析。預期價值的評估是基於投注11勝10負的假設。
主隊對上客隊，讓分盤
在研究期間，主隊有880場比賽擊敗讓分盤，客隊有953場擊敗讓分盤，56場比賽剛好落在讓分盤上。在已結算的投注中，主隊勝率為48.0%，客隊勝率為52.0%。平注投注主隊損失8.3%，客隊損失0.7%。
這種差異相當令人驚訝。於是我做了一些調查。我發現主隊平均只多得1.64分。我常聽到的「經驗法則」是主場優勢值3分。我猜測博彩大眾高估了主場優勢，反過來創造了價值。
弱勢方 vs. 強勢方 讓分盤
在八個賽季中，採用非零讓分盤口的比賽，弱隊贏了898次，強隊贏了879次，比賽恰好落在讓分盤口的56次。不計平局，弱隊勝率為50.5%，強隊勝率為49.5%。這相當於弱隊輸了3.5%，強隊輸了5.6%。
我一直以來都支持押注弱勢股。現在依然如此，但1%的利潤率比我預期的要低。
大於或小於總數。
在八個賽季的963場比賽中，小分贏了963場，大分贏了909場，盤口完全正確的有17場。小分贏了51.4%的投注。小分的預期損失為1.8%，大分的預期損失為7.3%。
輸贏盤
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">對於輸贏盤投注，當弱隊至少賠付等額賠付時，我會同時考慮雙方。因此，像 -115/-105 這樣的輸盤不計算在內。 0.9%，強隊的總損失為 5.6%。2024年9月19日 謎題
一個邪惡的監獄長召集了 100 名囚犯，並給每個人分配了從 1 到 100 的唯一編號。
另一個房間裡有100個編號的盒子。監獄長拿出編號1到100的紙片，隨機地將它們放入盒子裡，每個盒子一張。
第二天，囚犯們將被允許逐一進入箱子房間。每位囚犯可以打開50個箱子。如果囚犯找到了自己號碼的箱子（例如，23號囚犯找到了寫著數字23的箱子），那麼他就算「成功」了，如果他在第50次打開之前找到它，就可以提前離開。出口與入口不同，而是通過另一扇門。
如果100名囚犯全部成功，他們就會被釋放。但是，如果有一人或多人失敗，他們就會被立即處死。
囚犯們可以在一起制定一天的策略。一旦第一個囚犯進入箱子房間，就不允許再進行任何交流。交流的例子包括但不限於：移動紙張和打開箱蓋。如果發現任何交流，所有囚犯都將立即被處死，並遭受痛苦的折磨。
什麼策略可以最大程度地提高他們被釋放的機率？這個機率是多少？
2024年9月19日謎題答案
我承認我在巫師專欄#369問過這個謎題。但是，我對我的答案並不滿意。我打算在這裡嘗試給出一個更簡單的解釋。
首先，要認識到這 100 個盒子會包含一定數量的閉環。什麼是閉環？它是一系列通往原始盒子的盒子。例如，如果盒子 17 通往盒子 79，盒子 79 通往盒子 5，盒子 5 通往盒子 17，那麼這三個盒子就形成了一個閉環。
每個囚犯的策略是打開與自己號碼對應的盒子。他會閱讀裡面的紙條，然後打開紙條上的盒子。如果不是50次打開的限制，囚犯最終會打開裝有自己號碼的盒子。這是因為，透過選擇裝有自己號碼的盒子，他至少處於包含自己號碼的閉環中。
然而，這並不能保證成功。很有可能出現一個51號或更大的閉環。如果是這樣，那麼閉環中的任何囚犯都沒有足夠的開口來找到他們的號碼。
接下來，讓我們找出形成大小為 100 的閉環的方式數。對於第一個盒子，裡面有 99 個可能的數字與盒子編號不匹配，這將導致閉環為 1。對於第二個盒子，有 98 個數字與第一個或第二個盒子的編號不匹配，這將導致閉環為 2。對於第三個盒子，有 97 個數字與前三個盒子的編號不匹配，這將導致閉環為 3。擴展此邏輯，有 99*98*97 * … * 1 = 99! 種方式可以形成 100 的閉環。有 100! 種方式可以對 100 張紙進行排序。 100 個閉環的機率是成功組合數除以所有組合數。即 99!/100! = 1/100。
接下來，我們來計算一下有多少種方法可以構成 99 個閉環。另一個盒子有 100 種可能性，可以通往自身，形成一個 1 的閉環。那麼，其他 99 個盒子有多少種排列順序才能構成 99 個閉環呢？依照上面 100 個盒子的邏輯，99 個閉環的排列數是 98!。 99 個閉環和 1 個閉環的組合數是 100*98!。用這個數字除以組合總數 100!，我們得到 1/99。
接下來，我們來計算一下形成 98 閉環的方式數。從 100 個盒子中，選擇兩個不屬於 98 閉環的盒子，就順序而言，共有 permut(100,2)=100!/98! = 9900 種可能性。那麼，其他 98 個盒子要形成 98 閉環，需要多少種順序呢？根據上面 99 個和 100 個盒子的邏輯，98 閉環的排列數是 97!。 98 閉環的排列數加上其他兩個盒子的所有排序方式，一共是 100*99*97!。因此，98 閉環的機率為 100*99*97!/100! = 1/98。
將此邏輯擴展到51的閉環，51到99的閉環機率為1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 =~ 68.82%。另一種情況是成功，即沒有51或更大的閉環，這意味著每個囚犯都能找到自己的號碼。這個機率是31.18%。
一個快速獲得粗略近似值的方法是使用歐拉常數（不要與歐拉數混淆）。設 c = 歐拉常數 = ~ 0.577216。相關公式如下：
6；字體系列：'Open Sans'，無襯線；顏色：#313131！重要；“>1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c。在本題中，51 到 100 的閉迴路機率為 1/51 + 1/52 + … + 1/100。可以表示為：
（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100）-（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50）
使用上面的近似公式，這大約是…
(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417。備擇函數的成功機率為 0.306853 = 30.69%。實際機率為 31.18%。因此，近似值偏差了 0.50%。
2024年9月26日 謎題
你有一個手電筒和八顆電池。電池需要兩節好電池才能運作。八顆電池中有四節能用，四節壞了。通常情況下，你無法透過外觀來區分好壞電池。你如何在最多七次嘗試的情況下打開手電筒？