新的 NFL 數據
本週，我將更新2022年賽季一些常見NFL投注的分析。如果您對這個主題不感興趣，請記得直接跳到文章末尾查看本週的新謎題。
我最近獲得了2015年至2022年NFL賽季的數據。我的網站和書籍之前只涵蓋了2017年賽季。在分析了1889場比賽後，我得到以下分析結果。預期值的分析是基於讓分11分贏10分的假設。
主隊對上客隊讓分盤
研究期間，主隊贏盤880場，客隊贏盤953場，比賽結果與盤口完全一致56場。在已結算的投注中，主隊勝率為48.0%，客隊勝率為52.0%。若採用平手投注，主隊將損失8.3%，客隊將損失0.7%。
這個差異著實令人驚訝。於是，我做了一些調查。我發現主隊平均只比客隊多得1.64分。我常聽到的一種說法是，主場優勢值3分。我推測，博弈大眾高估了主場優勢，反而造成了賠率上的偏差。
冷門對上熱門，讓分盤
在研究的八個球季中，當點差不為零時，弱隊贏盤898次，強隊贏盤879次，比賽結果剛好在點差之內56次。若不計平手，弱隊勝率為50.5%，強隊贏盤率為49.5%。這意味著弱隊平均虧損3.5%，強隊平均虧損5.6%。
我一直以來都支持投注冷門球隊。這一點至今仍未改變，但1%的勝率比我預期的還要低。
總分大小盤對比。
在過去的八個賽季中，共進行了963場比賽，其中小分（Under）贏了963次，大分（Over）贏了909次，而盤口準確無誤的比賽有17場。小分獲勝的機率為51.4%。小分的預期損失為1.8%，大分的預期損失為7.3%。
勝負盤
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">勝負盤投注，當冷門一方的賠率至少為1賠1時，我會同時考慮雙方。因此，像-115/-105這樣的賠率不予計入。所有投注均為一個單位，無論投注冷門還是熱門。也就是說，投注冷門的總虧損率為0.9%，投注熱門的總虧損率5.6%。2024年9月19日 謎題
一個邪惡的典獄長將 100 名囚犯聚集在一起，並給每個人分配一個 1 到 100 之間的唯一編號。
另一個房間裡有100個編號的箱子。獄警拿出編號1到100的紙片，隨機放入箱子中，每個箱子放一張紙片。
第二天，囚犯們將被允許依序進入箱子室。每位囚犯可以打開50個箱子。如果囚犯找到了自己的號碼（例如，23號囚犯找到了裝有數字23的箱子），那麼他就「成功」了，如果在第50個箱子打開之前找到，他就可以提前離開。出口與入口是分開的。
如果所有100名囚犯都成功，他們將被全部釋放。但是，如果有一名或多名囚犯失敗，他們將被立即處死。
囚犯們被允許在一起待一天，討論策略。一旦第一個囚犯進入箱子室，就不允許再進行任何交流。溝通的方式包括但不限於移動文件和打開箱子蓋。一旦發現任何溝通行為，所有囚犯都將立即處死，並遭受極度痛苦。
採取什麼策略能最大程度地提高他們獲救的機率？這個機率是多少？
2024年9月19日謎題答案
我承認我曾在《巫師》專欄第369期提出這個謎題。但是，我對我的答案並不滿意。我打算在這裡嘗試給出一個更簡單的解釋。
首先，要意識到這100個方框會構成若干個閉合迴路。什麼是閉合迴路呢？它是指一系列最終都回到起始方框的方框。例如，如果方框17連接到方框79，方框79連接到方框5，方框5連接到方框17，那麼這三個方框就構成了一個閉合迴路。
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">每個囚犯的策略都是打開與自己號碼對應的盒子。他會閱讀盒子裡的紙條，然後打開紙條上對應的盒子。如果不是因為只能打開50次，囚犯最終肯定會打開裝有自己號碼的盒子。這是因為，透過選擇裝有自己號碼的盒子，他至少進入了包含自己號碼的閉合迴路。然而，這並不能保證成功。很有可能會出現一個大小為 51 或更大的閉合迴路。如果是這樣，迴路中的所有囚犯都沒有足夠的開口來找到自己的號碼。
接下來，我們來計算長度為 100 的閉合迴路的排列方式。對於第一個盒子，裡面有 99 個數字與盒子編號不匹配，這構成了一個長度為 1 的閉合迴路。對於第二個盒子，裡面有 98 個數字與第一個或第二個盒子的編號都不匹配，這構成了一個長度為 2 的閉合迴路。對於第三個盒子，裡面有 97 個數字與前三個盒子的編號都不匹配，這構成了一個長度為 3 的閉合迴路。以此類推，長度為 100 的閉合迴路共有 99 * 98 * 97 * … * 1 = 99! 種排列方式。 100 張紙的排列方式共有 100! 種。長度為 100 的閉合迴路的機率等於成功排列的組合數除以所有排列組合的總數，即 99!/100! = 1/100。
接下來，我們來計算組成一個包含 99 個盒子的閉合迴路的方法數。另一個盒子可以自環，形成一個包含 1 個盒子的閉合迴路，共有 100 種可能。那麼，另外 99 個盒子有多少種排列方式可以組成一個包含 99 個盒子的閉合迴路呢？根據上面 100 個盒子的排列方式，組成一個包含 99 個盒子的閉合迴路的排列數為 98!。包含 99 個盒子的閉合迴路和包含 1 個盒子的閉合迴路的組合數為 100 * 98!。用這個組合數除以 100!（組合總數），得到 1/99。
接下來，我們來計算組成一個包含 98 個盒子的閉合迴路的方法數。從 100 個盒子中挑選兩個不屬於包含 98 個盒子的閉合迴路的盒子，共有 permut(100,2)=100!/98! = 9900 種排列方式（關於順序）。那麼，剩下的 98 個盒子有多少種排列方式可以組成一個包含 98 個盒子的閉合迴路呢？根據上面計算 99 個和 100 個盒子的排列方式的邏輯，組成一個包含 98 個盒子的閉合迴路的排列數為 97!。組成一個包含 98 個盒子的閉合迴路以及另外兩個盒子所有排列方式的排列數為 100*99*97!。因此，組成一個包含 98 個盒子的閉合迴路的機率為 100*99*97!/100! = 1/98。
將此邏輯推廣到 51 的閉合迴路，51 到 99 的閉合迴路的機率為 1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/100 ≈ 68.82%。另一種情況是成功，即不存在 51 或更大的閉合迴路，這意味著每個囚犯都找到了自己的號碼。這種情況的機率為 31.18%。
一種快速獲得粗略近似值的方法是使用歐拉常數（不要與歐拉數混淆）。設 c = 歐拉常數 ≈ 0.577216。對應的公式為：
1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n =~ ln(n) + c.
對於這個問題，51 到 100 的閉合迴路的機率為 1/51 + 1/52 + … + 1/100。這可以表示為：
（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100）-（1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/50）
使用上述近似公式，這大約是…
(ln(100) + c) – (ln(50) + c) = ln(100) – ln(50) = 4.605170 – 3.912023 = 0.693417。另一種方法是計算成功的機率，即 0.306853 = 30.69%。實際機率為 31.18%。因此，近似值與實際機率相差 0.50%。
2024年9月26日 謎題
你有一個手電筒和八顆電池。手電筒需要兩顆好電池才能運作。八顆電池中有四節能用，四顆不能用。像往常一樣，你無法透過外觀區分好壞電池。如何在最多嘗試七次的情況下打開手電筒？