斐波那契數列（第一部分）
本週我們將開始一個關於斐波那契數列的三期系列講座，這個數字在數學和自然界中都隨處可見。不過，在此之前，我先奉上每週例行的邏輯謎題。
邏輯謎題
你身邊有一隻獨角獸和一匹飛馬。獨角獸在星期一、星期二和星期三說謊，其他時間都說真話。飛馬在星期四、星期五和星期六說謊，其他時間都說真話。
在不知道今天是星期幾的情況下，你聽到了以下這些話。
獨角獸：“昨天是我撒謊的日子之一。”
飛馬：“昨天也是我撒謊的日子。”
今天星期幾？
斐波那契數列（第一部分）
讓我先從一個數學問題開始討論。
如果拋擲一枚均勻的硬幣 20 次，連續兩次都會出現正面的機率是多少？
第一次拋硬幣－共有兩種成功組合，總共有兩種組合，機率為 2/2 = 100%，因此我們永遠不會連續出現兩次正面。換句話說，一次拋硬幣不可能出現兩次正面。
第二次拋擲－共有三種成功組合（HT、TH、TT），總共有 2 2 = 4 種組合，機率為¾ = 75%，因此我們永遠不會在兩次拋擲中連續出現兩個正面。
第三次拋擲－共有五種成功組合（HTT、HTH、THT、TTH、TTT），總共有 23=8 種組合，機率為 5/8 = 62.5%，因此在三次拋擲中，我們永遠不會看到連續兩次正面朝上。
然而，現在計算成功組合的數量開始變得繁瑣了。我們不妨換個方法。如果第三次拋擲是反面，那麼前兩次拋擲的所有成功組合仍然有效。換句話說，我們可以直接在所有兩次拋擲的組合中加上反面：HTT、THT、TTT。如果第三次拋擲是正面，那麼之後任何一次拋擲後的組合，只要加上「TH」即可：HTH、TTH。因此，如果第三次拋擲是反面，則共有3種成功組合；如果第三次拋擲是正面，則共有2種成功組合，總共5種。
第四次拋硬幣－如果是反面，我們可以利用第三次拋硬幣的所有組合（共5種），並在每個組合後面加上一個「T」。如果是正面，我們回到第二次拋硬幣，並在每個組合後面加上一個「TH」。總共有5+3=8種組合。
你看出規律了嗎？以兩個 1 開頭，每個後續數字是前兩個數字和的數列是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …，這就是斐波那契數列。我們在這裡做的正是斐波那契數列：如果上一次拋硬幣是反面，則倒數 1；如果是正面，則倒數 2。
下表顯示了擲擲1到20次硬幣時，成功組合數、總組合數以及沒有連續兩次正面朝上的機率。機率是成功組合數除以總組合數，即2^n，其中n為拋擲次數。最後一行顯示，沒有連續兩次正面朝上的機率為17711/1048576 ≈ 1.69%。
這僅僅展示了斐波那契數列的一個實際應用。下週我們將繼續探討數列中相鄰兩項的比值。
邏輯謎題答案
週四
邏輯謎題解答
我們先來看獨角獸的陳述。它只在星期一和星期四與獨角獸的誠實相符。
我們接下來來看看飛馬的說法。它只在星期四和星期日與獨角獸的誠實相符。