視頻撲克 - 機率

根據我關於連續皇家視頻撲克的頁面，獲勝的幾率僅為四百萬分之一。

從牌堆剩餘的47張牌中抽出3張牌的機率為(47,3)=16,215。其中一張牌正好是皇家牌所需的三張牌，因此機率為1/16,215。

假設支付表相同，三重播放機和單手機的預期回報是相同的。

假設你採用的是傳統的8/5策略，那麼你例子中的報酬率將是99.68%。然而，如果你採用的是最佳策略，那麼這個累積獎金的回報率將是100.08%。所以，Wong說得沒錯。

我的理解是，剩下的47張牌會不斷洗牌，直到玩家決定抽什麼牌。所以，抽到的牌根本就不是預先決定的。從數學上來說，這沒什麼區別。

回報率為99.9367%。

不用客氣，謝謝你的好意！

一般公式為 combin(X,Z) × p ^Z × (1-p) ^XZ ，其中 p = 1/combin(47,5-Y)。

Combin 是一個 Excel 公式，其等於 X!/[Z! × (XZ)!]。

讓我們來看一個 10 次玩的視訊撲克的例子，其中玩家持有 4 張皇家牌。

謝謝你的讚美。是的，三條的機率取決於賠率表，這會影響玩家的策略。我的視訊撲克程式總是會循環遍歷所有可能的牌，從而為每一手牌做出最佳的打法。然而，制定書面策略非常耗時。

在任何 52 張牌的視訊撲克遊戲中，獲得同花大順的機率是 649,740 分之一。

希望你滿意，我花了一整天思考這個問題。請造訪我的新視訊撲克附錄1以取得答案。僅憑方差很難計算出破產風險值。這取決於每手牌的收益及其機率。

不，並非如此。與普遍的誤解相反，不存在周期。每手牌都是獨立的。需要無數手牌，並且玩得完美，才能保證達到理論上99.54%的回報率。

這裡有一些數據供您參考。在9-6 J或更好的牌型中，皇家牌對回報率的貢獻率為1.98%。這意味著您可以預期皇家牌之間的回報率為97.56%。一手牌的標準差為4.42。40,391手牌（皇家牌之間的平均值）回報率的標準差為2.20%。因此，即使經歷了完整的皇家牌循環，您距離99.54%的回報率仍然很遠。您有95%的機會獲得95.24%到103.85%之間的報酬率。

關於彈跳窗，我也討厭它們。不過，總得有個說法。把它們當成你獲取資訊的代價吧。

前五張牌有 combin(52,5)=2598960 種可能的組合。您不必分析所有組合。我個人將它們分為 191659 種不同的類型，並以相似牌型的數量對每種類型進行加權。例如，無論 K 是什麼花色，四張 A 和一張 K 的機率都是一樣的。您不必為 K 的每種可能花色分析四種牌型，只需分析其中一種並乘以四。一旦您拿到一手牌，就有 2 ⁵ =32 種玩法。我會分析每一種方式並採用預期值最大的玩法。要確定一種玩法的預期值，您必須分析所有可能掉落的替換牌的方式並對每手牌進行評分。在丟棄所有五張牌的情況下，有 combin(47,5)= 1533939 種可能的替換牌型。要確定特定手牌的最佳玩法，必須分析的手牌總數為 combin(47,5)+5*combin(47,4)+10*combin(47,3)+10*combin(47,2)+5*47+1，剛好也等於 2598960。因此，如果我們不走捷徑，就必須分析 2598960 ² = 6,754,593,081,600 手牌。即使將初始手牌減少到 191659 手，我們仍然有 498,114,074,640 手牌需要分析。顯然需要更多捷徑。處理這麼多手牌至少需要桌上型計算機幾個小時。我個人實際上不會對任何手牌進行評分，而是使用精心選擇的公式來確定改進手牌的機率。例如，對於任何對子和 3 張單張，將手牌改進為兩對的機率始終相同。順子和同花的情況會更複雜，但仍可控制。我的程式可以在大約一分鐘內計算出一場J或更好的牌局的預期回報。考慮到我以前要花一天多的時間才能完成，我對此感到相當自豪。希望這能解答你的問題。

假設你手中握有黑桃A，並丟掉四張非A的單張牌。那麼，一共有44種方法可以湊成四條。 44是你在抽牌時，加上其他三張A，可能湊成單張牌的數量（52張牌減去4張A和你丟掉的4張單張牌）。除了A和你丟掉的四張牌之外，你還可能在其他8張牌中湊成四條。因此，湊成四條的方法總數為44+8=52。總組合數為combin(47,4)=178365。因此，湊成四條的機率為52/178365 = 3430分之一。

1. 1/47
2. 1/合併(47,2) = 1/1081
3. 1/合併（47,3）= 1/16215
4. 1/合併（47,4）= 1/178365
5. 4/合併（52,5）= 1/2598960

從剩下的 47 張牌中抽出 4 張，一共有 combin(47,4) = 178365 種方法。只有一個方法能抽出你需要的三張牌。所以機率是 1/178365。

在 n 次玩法的機器中，抽到 4 張皇家牌時，擊中 x 張皇家牌的機率為 combin(n,x) * (1/47) ^x * (46/47) ^nx 。有關 combin(n,x) 函數的解釋，請參閱我的「撲克中的機率」部分。在 3 次玩法的情況下，機率如下：

0 王室成員：0.937519
1 皇家：0.061143
2名皇室成員：0.001329
3皇室成員：0.000010

回答你的第一個問題：從52張牌中選出5張作為初始手牌，共有2598960種方法。抽牌時，根據玩家手中的牌張數量，抽取替換牌的方法有1、47、1081、16215、178365或1533939種。這些數字的最小公分母是7669695。實際組合數加權後，總數為7669695。因此，組合總數為2,596,960*7,669,695=19,933,230,517,200。回答你的第二個問題：視訊撲克機只需從1到52中隨機抽取數字，並將它們分配給一張牌。隨機數產生器本身非常複雜，但其目的很簡單。

內華達州博彩控制委員會 (Nevada Gaming Control Board) 條例 14.040.1(a) 規定，假設玩家採用最佳策略，遊戲設備的回報率必須至少達到 75%。為了回答您的第二個問題，我修改了我的視訊撲克程序，使其始終做出最差的玩法。例如，在不賠償的牌型上保留所有五張牌，並棄掉部分或全部的牌型。基於 9/6 J 或更好 (Jacks or Better)，此策略的回報率為 2.72%，或賭場優勢為 97.28%。以下是完整的報酬率表。這樣的玩家無法起訴賭場，因為這是他玩得太差的錯。

機率是 1/combin(47,2) = 1/1081。在我研究過的每一個遊戲中，一對高牌都比三張皇家牌更強，除了在追逐皇家牌的遊戲中。

如果您手中有三張 2，那麼有 46 種方法可以得到另一張 2 和另一張牌。從牌堆剩餘的 47 張牌中選出兩張，組合數 (47,2)=1081。因此，在手中有三張 2 的情況下，抽到四張 2 的機率為 46/1081 = 4.26% = 23.5 分之一。如果您手中有兩張 2，那麼有 45 種方法可以得到另外兩張 2 和另一張牌。從 47 張牌中選出三張，組合數 (47,3)=16215。因此，在手中有兩張 2 的情況下，抽到四張 2 的機率為 45/16215 = 0.28% = 360.33 分之一。

如果你的策略是不惜一切代價最大化皇家牌的數量，那麼你每23081手牌就能拿到一次皇家牌。我假設，如果兩種皇家牌機率相同，玩家會選擇最大化其他牌局收益的玩法。在9/6 J或更好的牌局中，該策略的賭場優勢為51.98%。下表顯示了每手牌的機率和收益。

謝謝！是的，我之前說過，如果我的投注系統只有 1% 的優勢，我只需不斷磨練，就能將 1000 美元變成 100 萬美元。這在視訊撲克中也是可能的，但需要更長的時間，因為 0.77% 優勢的遊戲（全額支付的 Deuces Wild）只能在 25 美分級別中找到。假設您每小時可以玩 1000 手（很少有人能達到這樣的速度）並且玩得完美，那麼平均每小時收入為 9.63 美元。要達到 100 萬美元，就需要不停地工作 11.86 年。 1000 美元對於玩 25 美分視訊撲克來說也非常不足，因此破產的風險會很高。在桌上遊戲中，以相同的優勢達到 100 萬美元會更快，因為玩家可以下注更多。

這個問題有一個簡單的公式：初始投資金額除以賭場優勢。在這個例子中，答案是 100 美元/0.02 = 5000 美元。然而，由於視訊撲克的波動性，大多數情況下，這 100 美元撐不了這麼久。

基於“9/6”J或更好的牌，任何三條或葫蘆的機率為0.085961。為了方便計算，我將除以13，得到三條的等級為3的機率。這顯然誇大了機率，因為從J到A的牌型會更多，而正確的策略是更頻繁地持有這些牌。 0.085961/13 = 0.006612。9局遊戲的勝率翻三倍，相當於獲得18局免費遊戲。 18*0.006612=0.119023。為此，我會應用某種模糊係數來解釋三條中異常少的三條，大概是75%。 0.119023*0.75 = 0.089267。所以，無論你的正常報酬率是多少，都乘以1.089。

從我的「2e Wild」部分可以看出，任何一手牌中出現四個2e的機率是0.000204。因此，任何一手牌中沒有出現四個2e的機率是1-0.000204 = 0.999796。14000手牌中沒有出現四個2e的機率是0.999796/ ¹⁴⁰⁰⁰ = 5.75%。

這並不罕見。拉斯維加斯賭場有時會推出促銷活動，24 小時內第二次拿到同花大順可獲得雙倍賠償。假設您以每小時 400 手的速度玩了 8 個小時，總共玩了 3200 手。那麼一手牌拿到同花大順的機率是 0.00002476。3200 手牌拿到零個同花大順的機率是 (1-0.00002476) ^{× 200} = 0.923825。拿一個同花大順的機率是 3200*0.923825*(1-0.923825) ^{× 199} = 0.073198。因此，拿到兩個或更多同花大順的機率是 1 - 0.923825 - 0.073198 = 0.002977，約 1/336。

這個問題對於泊松分佈來說很好。如果一個事件在任何給定時刻發生的可能性相等，且獨立於其他事件，且預期的平均數為m，那麼n個事件的機率就是e ^-m *m ⁿ /n!。因此，在這種情況下，機率為e ^-17.76 *17.76 ³ /3! = 0.00001808，即55321分之1。

這是根據比賽次數得出的每場比賽獲勝零的機率。

該表格基於隨機模擬。我知道理論上有可能在100局遊戲中贏零分，但在15,820,000局遊戲中從未發生過這種情況。所以請不要寫這方面的內容。表格顯示，10局遊戲中贏零分的機率為0.025914，即2.59%。這種情況連續發生十次的機率為0.025914 ^×10 = 7,323,073,295,177,980分之一。

我在免費遊戲模式下試用了該軟體，結果似乎不錯。尤其是在10局遊戲中，我每次都能贏一些。然而，據我所知，沒有一家賭場提供這款軟體，並且接受來自美國的真錢玩家。我計劃進一步調查，但不想在這個論壇解釋原因。

不惜一切代價爭取皇家牌的策略，假設其他牌型的賠率均為零，在9/6 J或更好的遊戲中，回報率將達到47.85%。皇家牌的預期出現頻率將從每40388手牌出現一次增加到每23081手牌出現一次。

差不多。如果在5局遊戲中，每局發牌超過一張皇家牌只算一次，那麼你發牌的皇家牌的機率會略低於5倍。這是因為皇家牌的總數會是5倍，但有時它們會在同一局遊戲中聚集在一起，通常是在發牌時拿到一張皇家牌，因此在抽牌時拿到5張。

下表顯示了假設全額支付最佳策略，根據持有的皇家牌數量，在一次遊戲中獲得皇家牌的機率。

這張表顯示，你有22.37%的機率可能抽到皇家牌。其餘情況下，因為你持有百搭牌或對子等原因，抽到皇家牌的可能性不大。右下角單元格顯示，總體皇家牌機率為0.00002208，即45282分之一。

下表顯示了相同的情況，但針對的是 5 次遊戲，以及至少出現一次皇家牌的機率。

請注意，至少出現一張皇家牌的機率是 0.00010268。這比單次遊戲的機率高出 4.65 倍。原因是至少出現一張皇家牌的機率總是小於單次遊戲的五倍。例如，單次遊戲中，擊中皇家牌並持有皇家牌的機率是 1/47。然而，在 5 次遊戲中，至少出現一張皇家牌的機率是 1-(1-(1/47)) ⁵ = 0.101951341，約為單次遊戲的 4.79 倍。

在像紅利撲克和雙倍紅利這樣的遊戲中，我假設他們會為某些四條支付更高的賠率，以便讓玩家有更大的機會贏得大獎，當然，代價是會損失一些小額獎金。將四張A作為高級四條是有道理的，因為A是常規撲克中最大的牌。我認為四張2比四張K支付更高的賠率是因為玩家持有低牌的頻率較低，因此四張2出現的機率低於四張K。所以，儘管每張牌出現的機率相同，但玩家行為導致低四條出現的頻率較低，這使得遊戲開發商更容易為低四條支付更高的賠率。

讓我們先研究一下一般情況。

將 p 定義為接下來的四張同種牌正是促銷所需牌的機率。

將 q 定義為 1 - p。

將 m 定義為獲得所需四種類型的預期數量。

機率之和為 1。因此，

（1）p + p× ^q1 + p× ^q2 + p× ^q3 + p× ^q4 + ... = 1

以下是關於 p 和 q 的 m 公式。

（2）m = 1×p + 2×q× ^p1 + 3× ^q2 ×p + 4× ^q3 ×p + 5× ^q4 ×p + ...

將 (2) 式兩邊同時乘以 q。

（3）mq = 1×pq + 2×p× ^q2 + 3×p× ^q3 + 4×p× ^q4 + 5×p× ^q5

從 (2) 減去 (3)

(4) m - mq = p + pq + pq ² + pq ³ + pq ⁴ + ...

（4）式的右邊等於（1）式中的1。

（5）m-mq=1

（6）m×（1-q）= 1

（7）m = 1/（1-q）= 1/p。

因此，如果某個事件的機率為 p，那麼平均需要 1/p 次試驗才會發生。

回到手邊的問題，顯然只需要一張四條牌就能把第一張從清單中劃掉。接下來的四條牌正是你需要的機率是 12/13。所以，平均需要 13/12=1.0833 次嘗試才能得到它。一旦你已經從清單中劃掉了兩張，接下來的四條牌正是你需要的機率是 11/13，所以還需要 13/11=1.1818 次嘗試才能得到第三個。

按照這種模式，得到至少一種的四種類型的預期總數量是

1 + (13/12) + (13/11) + (13/10) + ... + (13/1) = 41.34173882。

是的。假設您玩的是 9/6 Js or Better。每手牌的最終變異數為 n*1.966391 + 17.548285，其中 n 為遊戲次數。因此，10 局遊戲中每手牌的變異數為 10*1.966391 + 17.548285 = 37.2122，1 局遊戲中每手牌的變異數為 1*1.966391 + 17.548285 = 19.51468。手牌的變異數為 10,000*37.2122 = 372,122。1 局遊戲中 10,000 手牌的變異數為 10,000*19.51468 = 195,149。然而，我認為我們應該討論的是標準差，也就是變異數的平方根。 10次玩法10,000手牌的標準差為372,122 ^{x 0.5} = 610.02。10,000手牌1次玩法的標準差為195.149 ^{x 0.5} = 441.75。只要最終牌局總數相同，在9/6 Js or Better遊戲中，10次玩法的波動性始終會高出38.1%。更多信息，請訪問我關於n次玩法視頻撲克標準差的專欄。

在策略完美的9/6 Js或Better遊戲中，你每40,601手牌才會出現一次皇家牌，但每460手牌中才會出現一次四張皇家牌。你每看到一張皇家牌，就有88.33次機會少一張牌。在四張皇家牌中，50.37%的機率不賠付，24.89%的機率會賠付對子，7.89%的機率會賠付順子，16.16%的機率會賠付同花，0.69%的機率會賠付同花順。以下是具體數字。

170 個四比一皇家號碼的皇家號碼預期數量為 170/88.33 = 1.92。平均值為 1.92 的皇家號碼為零的機率為 e ^-1.92 = 14.59%。

泊松分佈可以用來回答這類問題。其通用公式為 e ^-m *m ^x /x!，其中 x 是您觀察到的事件數，m 是預期數。在本例中，x 為 3。在「不那麼醜的鴨子雙雙百搭」遊戲中，出現同花大順的機率為 0.000023。因此，10,000 手牌中的預期數為 0.23。因此，10,000 手牌中剛好出現三張同花大順的機率為 e ^-0.23 *0.23 ³ /3! = 0.161%。 Excel 中此公式的計算方法為 poisson(3,0.23,0)。

我假設你認為皇家牌的機率是四萬分之一。假設每局遊戲4000手，那麼每局皇家牌的預期數量是0.1。每局零個皇家牌的機率非常接近的近似值是e ^-0.1 = 90.48%。之所以不是90%，是因為有時每局遊戲會得到不只一張皇家牌。 50局遊戲中皇家牌的預期數量是0.1 × 50 = 5。50局遊戲中零個皇家牌的機率可以近似地計算為e ^-5 = 0.67%。確切的機率也是(39,999/40,000)^(200,000) = 0.67%。

如果你玩單線遊戲，那就很容易了。 80萬美元相當於16萬手5美元的牌。也就是3.9616個皇家循環。沒有皇家循環的機率可以近似為e ^-3.9616 = 1.9%。

多線遊戲的數學計算會變得更加複雜。我認為回答這個問題最簡單的方法是隨機模擬。我的視訊撲克附錄6顯示，在50次玩9/6 Jacks or Better的遊戲中，每手牌至少拿到一張皇家牌的機率是0.00099893。每手1美元的50次玩法遊戲成本為250美元。所以你最初玩了3200手牌。 3200手牌拿到皇家牌的預期手數是3.1966。用同樣的近似方法，拿零張皇家牌的機率是e ^-3.1966 = 4.09%。根據模擬結果，確切的答案是(1-0.00099893)^3200 = 0.04083732，即4.08%。

不客氣。為了解答你的問題，我在 9/6 Jacks or Better 遊戲中進行了一些隨機模擬。下表顯示了 9/6 Jacks or Better 遊戲中 2 到 9 條線的協方差。方差與基礎遊戲相同。

讓我們來看一個9線9/6 Js或Better的例子。基礎遊戲的變異數為19.52。協方差為33.46。因此，總變異數為19.52 + 33.46 = 52.98。標準差為52.98 ^1/2 = 7.28。

只要她以穩定的速度平注，當然可以接受。要嘛她用了某種毫無價值的累進策略，要嘛這只是二手的誇大其詞。這讓我不禁思考，你朋友這邊的最佳牌局數是多少。假設牌型是9/6 J或更好，並且採用最佳策略，那麼在136手牌時，領先的機率最大，即39.2782%。

6/5 雙倍獎金的回報率準確來說是 0.946569。我的表格顯示皇家號碼的機率是 0.000025。不過，我喜歡使用更高的有效數字，所以我們用回報率除以獎金，即 0.020297/800 = 0.00002537。除皇家號碼外，所有獎金的回報率為 0.926273。我們把 j 稱為損益兩平累積獎金金額。求解 j：

1 = 0.926273 + 0.00002537*j
j = (1-0.926273)/ 0.00002537 = 2,906。

2,906 是以投注單位來衡量的。對於一台 1 美元的機器（總投注額 5 美元），損益平衡點應該是 5 美元 * 2,906 = 14,530 美元。所以，12,000 美元距離損益兩平還有很長的路要走。在某個完美主義者寫信給我之前，我會告訴你，隨著累積獎金的增加，最佳策略會發生變化，更積極地爭取皇家獎金。我的答案假設玩家始終遵循相同的 6/5 最佳策略。

對於任何一款52張牌的視訊撲克遊戲，一個簡單的估算方法是，每增加1,000個硬幣，獎勵增加0.5%。以10,100美元的獎勵為例，比非累積獎勵高出6,100美元。這是一款1美元的遊戲，所以需要6,100個硬幣，因此在基礎回報率上增加0.5% × (6,100/1,000) = 3.05%。基礎報酬率為92.63%，因此總報酬率可以近似為94.66% + 3.05% = 97.71%。 10,100美元獎勵的實際回報率為97.75%，非常接近。

3 到 royal 有 4 種花色可供選擇。從 5 種花色中選出 3張牌，有 (5,3)=10 種組合方式。選出另外兩張牌，有 (47,2)=1,081 種組合方式。從 52 張牌中選出 5 張牌，有 (52,5)=2,598,960 種組合方式。因此，獲得 3 到 royal 的機率為 4×10×1081/2,598,960 = 1.66%。

為了方便其他讀者理解，任何隨機變數的偏態係數（skew）都用來衡量哪個方向的尾部較長。負偏度意味著最可能的結果位於分佈的高端，而極端值則傾向於位於低端。正偏度則相反，最可能的結果位於低端，但極端值傾向於位於高端。負偏度時，平均值小於中位數，正偏度時，平均值大於中位數。您可以在維基百科或許多統計學書籍中找到確切的公式。

粗略地說，偏差度與你在一場遊戲中獲勝的頻率有關。在「Jacks or Better」遊戲中，如果你沒有拿到皇家牌，大多數情況下，你幾個小時內都不會贏錢。而「Double Double Bonus」遊戲，由於其四倍賠付，你可以在幾個小時後更頻繁地贏錢。由於大多數人都會受到認知偏誤的影響，輸錢的痛苦是贏錢的兩倍。人們玩「Double Double Bonus」並非因為他們喜歡這種方差，而是因為這樣贏錢的幾率更大。下表列出了四種常見視訊撲克遊戲的一些關鍵統計數據。值得注意的是，「Jacks or Better」遊戲中的偏差度最大。

JoB — 9/6 = 全薪Jacks or Better
BP — 8/5 = 標準支付獎金撲克
DDB — 9/6 = 標準賠償雙倍獎金撲克
DW — NSUD =“不那麼醜的鴨子” Deuces Wild

了解這一點實際上如何幫助視訊撲克玩家？我想有人會說，偏度較大的遊戲在幾個小時的遊戲中輸錢的可能性更大。例如，在「Jacks or Better」遊戲中，如果你沒有打出任何皇家牌，賭場優勢最終可能會耗盡你的資金。然而，在像「Deuces Wild」或「Double Double Bonus」這樣的遊戲中，第二高的獎金就能讓你在一局遊戲中擺脫困境。換句話說，偏度會阻止你在沒有打出皇家牌時獲勝。了解偏度不會增加你的勝率，但了解預期結果在心理上會有所幫助。所以，下次你在9/6 Jacks遊戲輸錢時，就把責任推到偏度上吧。

感謝 Jeff B. 對此問題的協助。

發現真棒！你沒說你玩的是什麼面額，這很重要，所以我假設是美元。對於五枚硬幣的最大賭注，贏得 w（其中 w<1200）所需的雙倍次數是 1+int(log(1200)-log(w))/log(2)。

下表顯示了每手初始牌的加倍前贏利、加倍前概率、所需加倍次數、加倍後贏利以及加倍後贏利的機率（包括250美元獎金）。右下角單元格顯示回報率為115.5%。平均每297手牌就能中一次頭獎，平均頭獎金額為1,717.46美元。

下表顯示了在假設有一張皇室牌的情況下，根據持有的牌張數量，每種皇室牌的機率。結果顯示，3.4% 的皇室牌來自於持有一張牌。皇室牌的初始機率為 40,391 分之一，因此，持有一張牌的皇室牌的無條件機率為 1,186,106 分之一。

發牌時可能的組合數有(52,5)=2,598,960。我的視訊撲克牌局回報表之所以有近20萬億種組合，是因為你還必須考慮抽牌時可能發生的情況。以下是根據玩家棄牌數量得出的組合數。

所有這些組合的最小公倍數是 5×combin(47,5)= 7,669,695。無論玩家棄掉多少張牌，返回的組合都應加權，使總數達到 7,669,695。例如，如果玩家棄掉 3 張牌，則抽牌時可能的組合有 16,215 種，每種組合的權重應為 7,669,695/16,215 = 473。

因此，視訊撲克的總組合數為 2,598,960 × 7,669,695 = 19,933,230,517,200。想了解更多關於如何自行編程視頻撲克收益的信息，請參閱我的“視頻撲克分析方法”頁面。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我猜想最有可能的是皇家Aces紅利撲克。幾年前我在梅斯基特只見過一次。四張A的賠率是800，但最低賠率的牌是一對A，而不是常見的J。這是賠率表。

標準差為 13.58！這是 9-6 Jacks or Better（4.42）的三倍多。

不過，如果你只限於那些容易找到的遊戲，我推薦的是“三倍雙倍獎金”，標準差為9.91。這是賠付表。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

7,281.8 個金幣。有趣的是，如果你只在這個計量表上玩一次，那麼報酬率只有 98.5%。你應該在這個點玩，是因為你假設你有能力一直玩到中大獎。這就像擁有一個 2% 返現的老虎機俱樂部。 98.5% + 2% = 100.5%。

我想補充一點，如果你在累積獎金剛好達到7,281.8個硬幣時開始使用4,000個硬幣的累積獎金策略，你預期可以獲利201.18個硬幣。但是，如果你花時間學習了7,281.8個硬幣累積獎金的策略變化，那麼你的預期利潤將是234.31個硬幣。

順便提一下，我剛剛讀完了弗蘭克·尼蘭德（Frank Kneeland）的《視頻撲克累積獎金的秘密世界》 。這本書包含許多針對更複雜累積獎金情況的公式，以及他多年管理累積獎金獵人團隊的實踐建議和故事。我推薦給優勢累積獎金視訊撲克玩家。

要找到這類條紋問題的近乎精確的答案，我們需要用到矩陣代數。我在2010年6月4日的專欄中回答過一個類似但更簡單的問題。如果你的矩陣代數還生疏，我建議你先去看看這個問題。

步驟1：確定前5000手牌中出現0到6+張皇家牌的機率。假設皇家牌的機率為40000分之一。 5000手牌中的預期皇家牌數為5000/40000 = 0.125。使用泊松估計，恰好出現r張皇家牌的機率為e ^-0.125 × 0.125 ^r / r!。這些機率如下：

步驟 2：假設剩餘的 24,995,000 手牌有 7 種狀態。對於每種狀態，之前的 5,000 手牌可能出現 0、1、2、3、4 或 5 張皇家牌，或者玩家可能已經在 5,000 手牌中拿到了 6 張皇家牌，在這種情況下，成功了，並且無法被剝奪。每出現一手新牌，玩家的狀態都可能發生以下三種情況之一：

1. 降低一級。如果5000局前打出的牌是皇家牌，現在被降級，而新出的牌不是皇家牌，就會發生這種情況。
2. 保持相同水平。如果5000場之前的牌局不是皇家牌，而新牌局也不是皇家牌，通常就會發生這種情況。如果5000場之前的牌局是皇家牌，而新牌局也是皇家牌，也會出現這種情況。
3. 升級一級。如果5000場遊戲前玩的牌不是皇家牌，而新牌是皇家牌，就會發生這種情況。

步驟 3：制定額外遊戲中每次狀態變化的幾率的轉換矩陣。

第一行對應新一手牌開始前的0級。下一手牌晉級1級的機率僅40,000分之一。停留在0級的機率為39,999/40,000。

第二行對應新一手牌開始前的1級。下一手牌晉級2級的機率，等於該手牌不丟皇家的機率與新一手牌拿到皇家的機率之積 = (4999/5000)×(1/40000) = 0.0000250。回到0級的機率，等於當前牌局丟皇家的機率與目前牌局沒拿到皇家的機率之積 = (1/5000)×(39999/40000) = 0.0002000。不變的幾率是 pr(無皇室成員退出) × pr(無新皇室成員) + pr(皇室成員退出) × pr(新皇室成員) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 750999750997975。

第2行到第6行的機率取決於過去5000手牌中皇家牌的數量。皇家牌越多，在新牌局中掉落一張皇家牌的機率就越大。設r為過去5000手牌中皇家牌的數量，p為出現新皇家牌的機率。

Pr(提升一級) = Pr(無皇室成員流失) × Pr(新皇室成員) = (1-(r/5000))× p。

Pr（維持在同一水平）= Pr（沒有皇室成員流失）× Pr（沒有新的皇室成員）+ Pr（皇室成員流失）× Pr（新的皇室成員）=（1-（r/5000））×（1-p）+（r/5000）×p。

Pr(降級) = Pr(皇室成員流失) × Pr(無新皇室成員) = (r/5000)× (1-p)。

第7行代表在5000手牌中拿到6張皇家牌，達到了成功的狀態。一旦達到這一成就，就永遠不會被剝奪，因此保持這種成功狀態的幾率是100%。

轉換矩陣的行對應新一手牌之前的等級，從最上面一行的 0 級開始。列對應新一手牌之後的等級，從最左邊一列的 0 級開始。矩陣中的數字部分對應於在一場遊戲中從每個舊狀態移動到每個新狀態的機率。我們稱之為 T1 =

如果我們將這個轉移矩陣乘以自身，就能得到連續兩局遊戲中每次狀態變化的機率。我們稱之為 T2，表示兩局遊戲中的轉移矩陣：

順便說一下，在 Excel 中，要將兩個大小相同的矩陣相乘，首先要選擇新矩陣要放置的區域。然後使用公式 =MMULT(矩陣 1 的範圍，矩陣 2 的範圍)。最後按下 Ctrl-Shift-Enter 鍵。

如果我們將 T2 乘以自身，我們就會得到連續四場比賽中每次狀態變化的機率，即 T4：

因此，繼續重複這個加倍過程 24 次，直到達到 T-16,777,216：

如果再次翻倍，就會超出 T-24,995,500 的目標。所以現在我們需要仔細地乘以較小的轉換矩陣，這些矩陣我們已經計算過了。你可以用 2 的冪來得到任何數字（二進制算術的樂趣！）。在這種情況下，T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

說實話，為了簡單起見並節省時間，你真的不需要費心計算最後四個乘法。它們只對應最後56手牌，而這56個乘法對最終結果產生影響的可能性微乎其微。我敢肯定，如果可以的話，我的許多完美主義讀者會因為我這麼說而把我打得落花流水。

步驟4：將5,000手牌後的初始狀態乘以T-24,995,500。令步驟1中的S-0為：

因此 S-0 × T-24,995,500 =

底部單元格中的數字表示在 25,000,000 手牌中至少有一次在 5,000 手牌中出現六張皇家牌的機率。因此，機率為 7,336 分之一。

感謝 CrystalMath 為這個問題提供的幫助。

在我回答之前，我想提醒大家，從 n 個項目中選擇 k 個（可替換）的方法數是 combin(n+k-1,k) = (n+k-1)!/((n-1)!×k!)。

話雖如此，以下是七張牌的類型以及每種類型的不同組成方式的數量：

• 7 張相同花色的牌：combin(13,7)=1,176。
• 6 張相同花色的牌和 1 張不同花色的牌：COMBIN(13,6)×13 = 22,308。
• 5 張相同花色的牌和 2 張不同花色的牌：COMBIN(13,5)×combin(13,2) = 100,386。
• 5 張相同花色的牌和另外兩種花色各 1 張：COMBIN(13,5)×combin(13+2-1,2) = 117,117。
• 4 張相同花色的牌和 3 張不同花色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13,3) = 204,490。
• 4 張同一花色的牌，2 張第二花色的牌，1 張第三花色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13,2)×13 = 725,010。
• 4 張相同花色的牌和 1 張其他 3 色的牌：COMBIN(13,4)×combin(13+3-1,3)×13 = 325,325。
• 3 張兩種不同花色的牌和 1 張第三花色的牌：13×((COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,3)-1)/2+COMBIN(13,3))) = 533,533。
• 3 張同一花色的牌和另外兩套花色的牌各 2 張：COMBIN(13,3)×(COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)/2) = 881,166。
• 3 張同一花色的牌、2 張第二花色的牌、以及另外兩種花色各 1 張牌：COMBIN(13,3)×COMBIN(13,2)×COMBIN(13+2-1,2) = 2,030,028。
• 三張花色各 2 張牌，第四種花色 1 張牌：((COMBIN(13,2)×(COMBIN(13,2)+1)×(COMBIN(13,2)+2)/6) = 1,068,080。

這些組合的總和為 6,009,159。與從 52 張牌中選出 7 張牌的組合 (52,7) = 133,784,560 種方法相比，分析的牌型減少了 95.5%。

有關此問題的更多討論，請參閱我在Wizard of Vegas 的論壇。

一對牌變成四張同點牌的機率為 45/COMBIN(47,3) = 約 0.002775208。

十手有十手出現這種情況的機率是 (0.002775208) ¹⁰ = 約 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分之一。

這個機率就像購買三張獨立且隨機的強力球彩票並全部中獎一樣。

解釋是，這不是普通的電子撲克遊戲，它採用自然機率，即每張牌從牌堆剩餘的牌中抽出的機率均等。不，這叫做“VLT”，即視訊彩票終端。在這類遊戲中，無論玩家如何支付，結果都是注定的。它就像刮刮樂彩票，但結果會像電子撲克遊戲一樣顯示給玩家。你可能會問，如果玩家拿到全部五張牌會發生什麼事？然後會有一個精靈出現，改變一些牌，或者玩家會贏得獎金，最終贏得2500積分。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。

為此，我向我尊敬的同事Gary Koehler請教，他是視訊撲克數學的專家。以下是他根據牌組數量給出的答案：

第一張皇家牌，無論花色如何，發牌時湊成三張皇家牌的機率為 4*combin(5,3)*combin(47,2)/combin(52,5) = 0.01663742。抽牌時湊成皇家牌的機率為 1/combin(47,2) = 0.00092507。因此，兩張牌同時出現的機率為 0.01663742 * 0.00092507 = 0.00001539，即 64,974 分之一。

這樣，在十手牌中，出現任兩種花色的任兩張皇家牌的機率為：combin(10,2) * 0.00001539 ² (1-0.00001539) ⁸ = 0.00000001065810。您也指定了兩張皇家牌必須為同一花色。第二張皇家牌與第一張皇家牌相符的機率為 1/4，因此將先前的機率除以 4 可得出 0.00000000266453，即 375,301,378 分之一。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。