德州撲克 - 機率 - 對

假設您抽五張牌，而所有牌中剛好有兩張 J，那麼機率就是 combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%。

對於機率問題，我喜歡用你感興趣的事件可能發生的組合數除以總組合數。首先回顧一下我在「撲克機率」部分中的combin 函數。獲得四條的方式數就是牌堆中單張牌的數量，即 48。獲得三條（不包括葫蘆）的方式數是獲得第三張牌的方式數（2）與獲得另外兩張單張牌的方式數的乘積，即 2*combin(12,2)*4 ² = 2,112。翻牌圈中可能出現的牌的總方式數為 combin(50,3)=19,600。因此，獲得四條的機率為 48/19600=0.0024，獲得三條的機率為 2,112/19,600=0.1078。

從 52 張牌中抽出 2 張，有 52*51/2 = 1326 種排列方式。從 4 張牌中抽出 2 張 A，有 4*3/2 = 6 種排列方式。所以答案是 6/1326 = 1/221。這種情況連續發生兩次的機率是 (1/221) ² = 48,841 分之一。

首先，從 10 名玩家中選出 2 名玩家，共有 10*9/2=45 種方法。其中兩位特定玩家拿到四張 A 的機率為 1/combin(52,4)=1/270725。因此，任兩位玩家拿到一對 A 的機率為 45/270725=0.0001662。

對於不熟悉這個術語的人來說，每個玩家自己有兩張牌，三張翻牌由所有玩家共享。所以這就像問你，如果你拿到三張不同點數的公共牌，以及十個兩張牌，那麼其中三張兩張牌與三張公共牌中的一張匹配的機率是多少。

玩家 1 拿到三條的機率是 3* combin (3,2)/combin(49,2)。那麼玩家 2 拿到三條的機率是 2* combin(3,2)/combin(47,2)。玩家 3 拿到三條的機率是 combin(3,2)/combin(45,2)。然而，任何三名玩家都可以拿到三條，不一定是前三名。從 10 名玩家中選出 3 名拿到三條的玩家，總共有 combin(10,3) 種方法。所以答案是 combin(10,3)*(3* combin(3,2)/combin(49,2))*(2* combin(3,2)/combin(47,2))*( combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.0000015464 = 40,740。

對於任何特定玩家，拿到AA的機率為combin (4,2)/combin(50,2) = 6/1,225 = 0.0049，因為從4張牌中抽出2張A有6種方法，而從剩下的50張牌中抽出任意2張則有1225種方法。拿到一對K的機率相同。拿到AK的機率為4*4/1,225=0.0131，因為拿到A和K都有4種方法。拿到AQ的機率為4*2/1225=0.0065，因為牌堆裡有4張A，但只剩下2張Q。因此，任何特定玩家拿到這些牌型的機率為(6+6+16+8)/1225 = 0.0294。顯然，下一步並不完美，因為如果一位玩家沒有這些牌，那麼下一位玩家拿到這些牌的機率會略高一些。為了簡單起見，我們忽略這一點，沒有玩家拿到這些牌的機率是 (1-0.0294) ⁸ = 78.77%。因此，至少有一位玩家拿到這些牌的機率是 21.23%。

假設你手中有一對 A。在不考慮對方玩家持有另一對 A 的情況下，翻牌圈出現三條的機率為 [nc(一張 A)*nc(12 張牌中任選兩張)*nc(4 張牌中任選一種^花色) + nc(任何其他三條)]/nc(任意三張牌)，其中 nc(x) = x 的組合數。這等於 [2* combin (12,2)*4 ² + 12* combin(4,3)]/ combin(50,3) = (2112+48)/19600 = 11.020%。現在假設對方玩家持有任意一對 A，但與你的不同。則機率變為 [2*( combin(11,2)*4 ² + 11*2*4 + 11* combin(4,3)]/ combin(48,3) = 11.4477%。

任何給定手牌的機率為 ( combin (4,2)/combin(52,2))*(1/combin(50,2)) = 1/270725。因此，連續兩次出現這種情況的機率為 270,725^分之一 = 73,292,025,625 分之一。

13*12*組合(4,2)*4/組合(52,3) = 3744/22100 = 16.941%。

下表顯示了根據玩家人數（包括您自己）估算的一對牌被至少一對更高牌擊敗的機率。這些機率並不精確，因為每手牌並非獨立存在。然而，要找到確切的機率會很複雜，我認為這些機率非常接近。我的公式是 1-(1-r* combin (4,2)/combin(50,2)) ^(n-1) ，其中 r=比您的一對牌更大的牌的數量，n=玩家總數。表格顯示，在 10 人遊戲中，當您有一對 K 時，另一位玩家有一對 A 的機率為 4.323%。

假設玩家分別為 A、B 和 C。 A 拿到一對 A 的機率為combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326。 B 拿到一對 K 的機率為 combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225。 C 拿到一對 Q 的機率為 combin(4,2)/combin(48,2) = 6/1128。然而，在三個玩家之間排列三對牌的機率有 3! = 1*2*3 = 6 種。因此，答案為 6*(6/1326)*(6/1225)*(6/1128) = 0.000000707321。

謝謝你的讚美。你在任何一手牌拿到底牌 A 的機率是 6/1326，也就是每 221 手牌一次。根據我的十人德州撲克部分 (/games/texas-hold-em/10players.html)，假設所有玩家都堅持到最後，用底牌 A 獲勝的機率是 31.36%。但這只是一個假設。如果非要我猜的話，我估計在真正的十人遊戲中用 A 獲勝的機率大約是 70%。所以拿到底牌 A 然後輸掉的機率是 0.3*(1/221) = 0.1357%。所以，以每次 100 美元計算，每手牌損失 13.57 美分。超過 10 人，撲克室平均每手牌損失 1.36 美元，這會大幅降低抽水。我傾向於同意你的跟注策略，這會讓更多玩家留在牌局中，並增加你輸錢的幾率。

特定玩家拿到 A 的機率為combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326。下一位玩家拿到一對 K 的機率為 combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225。然而，在十人遊戲中，有 10 位玩家可能會拿到 A，9 位玩家可能會拿到 K。因此，一個更合理的近似值應該是 10*9*(6/1326)*(6/1225) = 0.001995，即 1/501。這個答案略高，因為它重複計算了兩位玩家分別拿到 A、兩位玩家分別拿到 K 或兩位玩家同時拿到 K 的情況。

由於可能不只一位玩家持有更高對子，甚至包括同一類型的對子，因此計算起來非常複雜。例如，如果你持有口袋對K，那麼可能有兩個玩家持有口袋對A。不過，預測擊敗你的玩家數量很容易。這個數字應該是n*r*(6/1225)，其中n是對手數量，r是更高對子的數量。下表顯示了根據你的口袋對子（左列）和對手數量（上行），持有更高對子的玩家平均數量。

為了計算至少有一名玩家擊敗你的機率，我做了一個並非完全正確的假設：持有更大底牌對子的玩家數量是一個泊松隨機變量，其均值如上表所示。基於此假設，至少有一位玩家擊敗你的機率為 1-e ^-µ ，其中 µ 為平均值。例如，如果你持有口袋對 Q，並且有 9 名其他玩家，那麼持有更大底牌對子的玩家預期數量為 0.0882，因此至少有一名玩家持有更大底牌對子的機率為 1-e ^-0.0882 = 8.44%。下表顯示了這些機率。

因此，我對至少一個較高口袋對的機率的近似值為 1-e ^{-n*r*(6/1225)} 。

P.S.：這篇專欄文章發表後，我的一位粉絲 Larry B. 寫了一個強力組合程式來解決這個問題。以下是他的結果。

後來，Stephen Z. 提出了一個簡單的近似公式。取大對子的數量，乘以其他玩家的數量，再除以 2。這就是至少出現一個大對子的百分比機率。例如，在 10 人遊戲中，一對 J 牌出現更大底牌對子的機率是 3*9/2 = 13.5%。使用公式，您可以獲得所有情況下的以下結果。

對於不熟悉德州撲克術語的人來說，你問的是六張牌中至少出現一對的機率，假設前兩張（底牌）的點數不同。如果我只問剛好出現一對的機率，包括同時形成順子或同花的牌，請大家諒解。

你的一張底牌有六種組合方式（2張底牌 * 剩餘3種花色）。另外三張牌的點數必須與剩餘的11張不同。從11張牌中選出3個點數的組合方式共有(11,3)=165種。每種組合方式都有四種花色可供選擇。因此，你的一張底牌有6*165*4 ³ = 63,360種組合方式。

現在，我們來看看除了兩張底牌之外，還有多少種方法可以湊成一對。一對共有 11 種花色可供選擇。一旦選定，就有 (4,2)=6 種組合方式可以從 4 種花色中選擇 2 種。另外兩張牌，有 (10,2)=45 種組合方式可以從剩下的 10 種完整花色中選擇 2 種。對於這兩種花色，都有 4 種可能的花色。因此，不包括底牌，一對的總組合數為 11*6*45*4 ² =47,520。

從剩下的50張牌中抽出4張的機率為 combin(50,4)=230,300。因此，從6張牌中抽出一對的機率為 (63,360+47,520)/230,300 = 48.15%。

翻牌圈出現三個不同點數的機率為combin (13,3)× ⁴³ /combin(52,3) = 0.828235。從十位選手中選出三名選手，共有 combin(10,3)=120 種方式。在這三人中，第一位選手拿到暗三條的機率為 3×combin(3,2)/combin(49,2) = 0.007653061。第二位選手拿到暗三條的機率為 2×combin(3,2)/combin(47,2) = 0.005550416。第三位選手拿到暗三條的機率為 combin(3,2)/combin(45,2) = 0.003030303。將所有這些乘積，機率為 0.828235 × 120 × 0.007653061 × 0.005550416 × 0.003030303 = 0.00001279，即 78,166 分之一。

對於可能不了解情況的讀者，我來解釋一下，「暗三條」是指翻牌後出現的三張同點牌，包括一對底牌。不組成暗三條的機率是 (48+combin(48,3))/combin(50,3) = 17,344/19600 = 88.49%。因此，組成暗三條的機率是 11.51%。在 2,787 對牌中，你應該組成暗三條 320.8 次。因此，你比預期少組成了 47.8 次暗三條。變異數為 n × p × (1-p)，其中 n = 手牌數，p = 組成暗三條的機率。在本例中，變異數為 2,787 × 0.1176 × 0.8824 = 283.86。標準差是此變異數的平方根，即 16.85。因此，你比預期少了 47.8/16.85 = 2.84 個標準差。運氣這麼差或更差的機率可以在任何標準常態分佈表中找到，或者在 Excel 中以 norsdist(-2.84) = 0.002256 或 443 分之一來表示。

對於牌桌上每位對手來說，KK 對 AA 時輸掉的機率是 ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0.000022162。也就是說，每 45,121 手牌中出現一次，所以你的計算是正確的。 400 手牌中，預期出現這種情況的次數是 400 × 0.000022162 = 0.008865084，每位對手。下表顯示了 400 手牌中，KK 對陣 AA 出現 3 次或以上機率，並根據對手人數進行計算。

所以，是的，我覺得這看起來很可疑。玩家越少，就越可疑。我很想知道這遊戲在哪裡。

謝謝。牌堆裡還剩下50張牌，其中42張不是A或K。五張公共牌中沒有A或K的機率是combin (42,5)/combin(50,5) = 850,668/2,118,760=40.15%。所以，至少出現一張A或K的機率是100% - 40.15% = 59.85%。

假設你拿到底牌 A，那麼其他特定玩家拿到底牌 A 的機率是 (2/50)×(1/49) = 1/1,225。假設其他 9 位玩家拿到底牌 A，機率是這個機率的 9 倍，即 1/136。這似乎濫用了機率之和。但是，如果只有一個玩家能拿到兩張 A，那麼這樣做是可以的。回答你的問題：當你三次拿到底牌 A 時，其他玩家三次拿到底牌 A 的機率是 (9×(2/50)×(1/49)) ³ = 1/2,521,626。