老虎機 - 一般問題

設 p 表示在任意給定轉軸上獲得櫻桃的機率，n 表示支付線上櫻桃的數量。得到 n 個櫻桃的機率為 combin(5,n) * pn * (1-p) ^5-n 。 Combin(5,n) 表示 n 個櫻桃出現在五個不同轉軸上的方式數。具體來說， combin (5,0)=1，combin(5,1)=5，combin(5,2)=10，combin(5,3)=10，combin(5,4)=5，以及 combin(5,5)=1。此函數可直接在 Excel 中使用，更詳細的解釋請參閱我的「撲克中的機率」部分。但是，舉一個具體的例子，如果在任何給定的捲軸上獲得櫻桃的機率是 5%，那麼獲得 3 個櫻桃的機率將是 10 * .053 * .952 = 0.001128125。

賭場實際上並沒有設定支付一定比例的賠率，而是透過確定轉軸的權重，使理論回報達到他們想要的水平。短期內，實際回報可能遠高於或低於理論回報。然而，數學定律表明，實際回報會隨著嘗試次數的增加而越來越接近理論回報。

這不是我的專業領域。不過，「贈品女王」吉恩·斯科特建議，無論你打算在哪裡玩，都應該先和賭場服務生建立聯繫。玩夠之後，再向他們要贈品。

我不知道當時的中獎幾率是否更高。它們的運作方式和現在一樣，只是每個轉軸上的每次停頓都有相同的幾率。早期的老虎機不是付錢，而是付口香糖，這也解釋了為什麼一些現代老虎機上會出現酒吧符號（口香糖條）和水果（口味）。

首先，讓我們先來澄清一下「保持」的意思。就電子遊戲而言，它指的是遊戲設定的理論回報。在視訊撲克和老虎機中，每次遊戲都是隨機的，並且獨立於所有過去的遊戲。數學定律表明，即使是獨立試驗，隨著樣本量的增加，實際回報也會趨於接近理論平均值，即保持值。因此，與普遍的看法相反，機器永遠不會為了恢復平衡而過熱或過冷。更不用說「循環」這個詞了。這是一個命名不當的行業術語，指的是機器內部隨機數產生器可能出現的結果數量。不幸的是，這個術語的流傳只會讓低階員工和玩家都感到困惑。與普遍的誤解相反，不存在循環，而且每次遊戲都同樣隨機，並且獨立於所有其他遊戲。

我會把它們都平等地排列。普通的3軸老虎機，在相同的賭場和相同的貨幣體系下，回報率往往大致相同。

兩種方法都可以。我覺得大多數老虎機廠商都喜歡把獎金不斷混在一起，所以結果取決於你選哪個盒子以及你什麼時候選。從數學上講，他們用哪種方式編程都沒有區別。

現在大多數賭場都變成了“票進票出”，或者說是TITO（註：此處原文有誤，應為TITO，應為TITO）。我個人非常讚賞這種改變。不用再髒手，也不必再等著要填滿。市中心一些老牌賭場還在使用硬幣和代幣，但我懷疑這種情況還會持續多久。

我把你的問題轉發給了前監管者、現任賭場經理的布萊恩。以下是他的回答。

更換有兩種類型。第一種是徹底更換機器，第二種是簡單地更改遊戲，但保留現有的機櫃。可以想像，更換軟體便宜得多，這也是下載遊戲如此受追捧的原因。遊戲更換的頻率取決於賭場的資本支出預算。參與式機器的更新速度更快，因為製造商有既得利益，希望將最好的產品保留在場內。在許多情況下，他們會負責軟體和新機器的更換計劃。參與式機器是指製造商租賃給賭場的機器。通常，製造商會獲得20%的收入（扣除稅金）。從會計角度來看，老虎機的使用壽命為5年，之後該資產將完全折舊（不再具有帳面價值）。最後一個考慮因素是受歡迎程度。你多久會去賭場看到一組老式IGT三捲軸紅白藍老虎機？如果機器性能良好，為什麼要花費 10,000 多美元來更換每個單元？

後續：在2006年2月1日的專欄中，一位讀者因為老虎機彩券的有效期限太短而感到憤怒。我站在她這邊，說彩券根本不該過期。許多讀者批評我，說賭場通常會接受過期的彩票。於是，我做了一個實驗，在拉斯維加斯大道上四處收集了2美元的彩票。過期後，我去兌現，結果所有彩票都有效。所以我修改了我的回答，並為先前的尖刻言辭向賭場道歉。

您說得對，無論玩家在初始旋轉中投注多少條線，獎金金額都是一樣的。但是，只有在有效支付線上出現五個獎勵符號才能觸發獎金。所以，觸發獎金的機率與投注線數成正比。因此，無論投注線數多少，玩家獲得的回報都應該相同。

點擊以下按鈕看答案。

答案是 1983.33。

點擊以下按鈕以取得解決方案。

[/spoiler] 設答案為 x。只要玩家沒有擲出 7，他就能預期未來的勝率總是 x，加上之前的所有勝率。換句話說，擲骰子具有無記憶特性，即無論你已經擲出多少次，你都不會比開始時更接近 7。

我不會深入討論骰子機率的基礎知識，但只是說每個總數的機率如下：

• 2：1/36
• 3：2/36
• 4：3/36
• 5：4/36
• 6：5/36
• 7：6/36
• 8：5/36
• 9：4/36
• 10：3/36
• 11：2/36
• 12：1/36

在考慮安慰獎之前，x 的值可以表示為：

x = (1/36)*(400 + x) + (4/36)*(300 + x) + (5/36)*(200 + x) + (5/36)*(200 x +) (3/36)*(400 + x) + (2/36)*(600 + x) + (1/36)*(1000 + x)

接下來，將兩邊乘以 36：

36x = (1000 + x) + 2*(600 + x) + 3*(400 + x) + 4*(300 + x) + 5*(200 + x) + 5*(200 + x) + 4*(300 + x) + 3*(400 + x) + x + 2

36倍=11,200+30倍

6倍=11,200

x = 11,200/6 = 1866.67。

接下來，安慰獎的價值是700*(6/36)=116.67。

因此，獎金的平均贏額為 1866.67 + 116.67 = 1983.33。

[/spoiler]

為了方便其他讀者，帶有“多向”中獎的老虎機涵蓋所有可能的支付線。但是，遊戲對每個通過中獎符號組合的中獎方式僅支付一次。一旦某個轉軸上沒有中獎符號，支付線即終止。

讓我們來看一個基於五轉軸和三行可見線的遊戲的例子。所有獎金僅左對齊。假設玩家在轉軸1、2、3和5上各有一個勝利符號。玩家每獲得三個該符號，只會獲得一次賠償。雖然轉軸4和5有9種連線方式，但這並不重要，因為在這個例子中，賠付線以轉軸3結束。

接下來假設玩家在每個轉軸上多次出現相同的獲勝符號：

• 捲軸 1：2
• 捲軸 2：1
• 捲軸 3：3
• 捲軸 4：2
• 捲軸 5：1

玩家將獲得 2×1×3×2×1 = 12 條支付線的支付。

如果玩家用相同的獲勝符號覆蓋整個螢幕，他將獲得 3 ⁵ =243 條支付線的賠償。

接下來，我們來解答一下。假設只有3到5個符號才能獲勝。

讓我們定義一些術語：

• t _x = 捲軸 x 上的捲軸停止總數。
• n _x = 捲軸 x 上獲勝符號的總數。
• p _x = 捲軸條 x 上沒有可見獲勝符號的位置。


對於捲軸 3，答案是 3 ³ × n ₁ × n ₂ × n ₃ × p ₄ × t ₅ 。

對於捲軸 4，答案是 3 ⁴ × n ₁ × n ₂ × n ₃ × n ₄ × p ₅ 。

對於捲軸 5，答案是 3 ⁵ × n ₁ × n ₂ × n ₃ × n ₄ × n ₅ 。

是的，我聽過這個故事。為了方便我的其他讀者，我附上一個《連線》雜誌的連結： 認識 Alex，一個利用老虎機賺取數百萬美元的俄羅斯賭場駭客。

拋開道德問題，假設被抓不是主要問題，我會選擇B。我很難相信一個團隊會誠實地報告獎金，不洩漏秘密。在我看來，低調行事才是最好的選擇。

首先，為了方便其他讀者，我先解釋這個問題。老虎機的一種流行新派彩方式是根據螢幕上的每種「方式」來派彩。 「方式」是指每組獨特的、符合派彩組合的位置，只計算參與派彩的轉軸。我們以下面的Buffalo老虎機為例，看看下面的圖片：

本遊戲有 4 ⁵ = 1,024 種獲勝方式，因為每個轉軸上顯示四個位置。然而，在本例中，只有兩種獲勝方式，每種方式可贏得兩頭水牛。兩種方式都包括轉軸 1 上的一頭水牛。然後，轉軸 2 或轉軸 2 上第 1 行的水牛有 1 種獲勝方式，轉軸 2 或轉軸 2 上第 2 行的水牛也有 2 種獲勝方式。雖然遊戲有 4 ³ = 64 種方式可以穿過轉軸 3 至 5 上的位置，但這並不重要。 「獲勝方式」僅計算穿過有助於獲勝的符號的方式。

解釋清楚之後，讓我介紹一些函數來回答你的問題：

• 令 v = 機器上可見的行數。
• 設 n(s,r) = 符號 s 或百搭符號出現在捲軸 r 上的次數。
• 設 b(s,r) = 捲軸 r 上未出現符號 s 或可取代 s 的百搭符號的序列數。換句話說，由於未出現特定符號，因此該序列阻止了捲軸上該符號的任何中獎。
• 設 t(r) = 捲軸總長度 r

也就是說，根據獲勝符號的數量，獲勝組合的數量如下：

• 符號 s 的五個符號勝出的組合數等於 n(s,1)*n(s,2)*n(s,3)*n(s,4)*n(s,5)*v^5。
• 符號 s 的四個符號獲勝的組合數等於 n(s,1)*n(s,2)*n(s,3)*n(s,4)*b(s,5)*v^4
• 符號 s 的三個符號勝出的組合數等於 n(s,1)*n(s,2)*n(s,3)*b(s,4)*t(5)*v^3
• 符號 s 的兩個符號獲勝的組合數等於 n(s,1)*n(s,2)*b(s,3)*t(4)*t(5)*v^2

這取決於很多因素。我的理解是，如果一個額外的百搭符號比玩家通常獲得的平均數字高出多少，那麼它的價值是多少。雖然答案在不同遊戲中差異很大，但一個重要因素是螢幕上的行數。如果螢幕上有三行，額外的百搭符號將影響1/3的賠付線。同樣，如果螢幕上有四行，它的價值就會降低，影響1/4的賠付線。

為了回答你的問題，我研究了之前已經解構過的遊戲《埃及豔後》 。下表顯示了百搭符號的預期值相對於隨機百搭符號數量的成長情況。

好問題。之前它給出了一個針對「短期」玩家的公式，其中第一次下注的累積獎金必須為正。

然而，對於那些能夠堅持玩到中大獎的長期玩家來說，他們的生命值較低。我更新了頁面，並添加了針對這兩類玩家的公式。簡而言之，這兩個公式如下：

j（短期）= m × (1-f)/(1-f+r)
j（長期）= m × (1-fr)/(1-f+r)

在哪裡：

j = 損益平衡累積獎金大小（莊家優勢為 0%）
f = 所有固定獎金加上老虎機俱樂部積分和獎勵的價值。
m = 最大累積獎金（必須擊中的點數）
n = 最低累積獎金（重新播種點）
r = 公尺上升率

不。

一項法案已經提出，旨在實現這一目標。然而，大多數法案都毫無進展，甚至從未獲得投票，所以老虎機玩家不應該抱太大希望。

就我個人而言，如果我有投票權，我會熱情地投下贊成票。目前的1200美元限額自1977年以來就沒有提高過。根據美國經濟研究所的數據，1977年的1,200美元到2021年應該值5,336美元。我完全可以反對對賭博獎金課稅。然而，我知道這艘船不會沉沒，所以我們至少可以做的是根據通貨膨脹率重新調整最低應稅累積獎金，這本來就應該這麼做。

欲了解更多信息，請閱讀比爾將把拉斯維加斯太陽報的老虎機大獎稅務報告門檻提高到 5,000 美元。