撲克 - 常問問題

在這種狀況拿到full house葫蘆有兩種⽅式: (1)抽到三條、或者(2)對⼦再抽到⼀張同點數牌、還有另⼀個對⼦。我將假設你會捨棄三張各⾃不同的單牌。 ⾸先, 讓我們先從(1)的排列組合總數著⼿算起。那裡只剩下3種花⾊的3種點數牌(記住你已經捨棄3張各⾃不同的單牌)、4種花⾊的9種點數牌。其排列組合總數為 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39. 接下來, 讓我們算⼀下(2)狀況的排列組合總數。從既有對⼦再加上⼀張相同點數牌、還剩下有2張牌。剩餘的3張牌當中形成3種點數的對⼦有combin(3,2)種⽅式, 剩餘的4張牌當中再形成⼀個對⼦有combin(4,2)種⽅式。所以在(2)的排列組合總數為 2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) =2*(3*3 + 9*6) = 126. 在(1)與(2)狀況之下形成full house葫蘆的⽅式總和為39+126=165. 第⼆輪抽牌要從3張牌選取的⽅式有combin(47,3)=16,215種。拿到full house葫蘆的機率為抽牌⽅式除以排列組合總數, 為165/16,215 = 0.0101758, 或者差不多是98分之⼀。 欲知combin()函數的更多資訊, 請參閱我的 撲克中的機率 專⾴。

沒有, 無論賭桌上有多少位玩家、拿到給定牌⾯的機率都是相同的。沒⾒到的牌就是⼀張沒出現的牌, 不管那張牌是被另⼀位玩家拿到或者還藏在牌組當中。

我將假設每位玩家從不同的牌堆中拿到一手牌，以此給出一個近似的答案。這應該不會對賠率造成太大影響。根據我在撲克機率部分的研究，任何一位玩家拿到同花順的機率是36/2,598,960。我們把這個機率稱為p。兩位玩家拿到同花順的機率是(6,2)* ^p² *(1-p) ^² =0.0000000028779。換句話說，這種情況發生的機率是347,477,740比1。

首先，我要聲明，我並非撲克專家。德州撲克是最受歡迎的遊戲形式，這早已不是秘密。在這個遊戲中，每位玩家有五張公開牌，只有兩張底牌，因此擅長計算機率的人更有把握。然而，即使是最優秀的數學天才，如果他看不透其他玩家，或者其他玩家能輕易看透他（我認為這兩種情況都適用於我），也可能成為一個糟糕的撲克玩家。

皇家同花順的機率等於可能的皇家牌數（每種花色各一張）除以從52張牌中選出5張的方式數，即combin (52,5)=2,598,960。因此，答案是4/2,598,960 = 0.00000153908，即649,740分之一。

連續同花大順的機率等於（花色數）*（方向數）/（52 張牌中 5 張牌的排列組合總數）= 4 * 2 /排列(52,5) = 8 / 311,875,200 = 8 / 可能的同花大順數量（即 4 張（每種花牌）分別乘以一張花牌的方向數5 5 5 5張牌的組合方式數，即排列(52,5) = 311,875,200。因此，答案為 4/311,875,200 = 0.00000002565，即 38,984,400 分之一。

我用 C++ 編寫了一個程序，測試了 52 張牌中 7 張牌的所有組合 (52,7) = 133,784,560 種排列方式。對於每種方式，我建構了 7 張牌中 5 張牌的所有組合 (7,5) = 21 種排列方式。然後，我給每一種牌型都打分數。 21 種方式中的最高分就是七張牌的牌型值。所以，總的來說，我需要對超過 28 億種牌型進行打分，如果我沒記錯的話，這花了計算機一整晚的時間。

以下是五張牌和七張牌撲克從大到小的牌型：同花順、四條、葫蘆、同花、順子、三條、兩對、一對。

如果你讀過理查馬庫斯的《骯髒的撲克》 ，你可能會對與陌生人玩牌時串通一氣感到恐懼。然而，撲克專家阿什利·亞當斯給出瞭如下答案：

我幾乎玩遍了拉斯維加斯的所有公共牌局，以及全國其他100多個公共牌局。在低限額的牌局中，我從未遇到過串通的情況。有一次在20/40的梭哈遊戲中，我以為兩個玩家可能串通了。我聽說在高額牌局（大約20/40）中可能存在這種情況。但一般遊客，玩1/2或2/5盲注無限注，或10/20或更低限額的撲克遊戲，不太可能遇到這種情況。

謝謝你的讚美。我同意七張牌梭哈的點數計算起來很難。所以我用電腦來算。我的程式會計算所有可能的組合，並為每個組合評分。牌九撲克中的百搭順子數量是 11*(4 ⁴ -4)+10*3*(4 ⁴ -4)=10332。加上 10200 個自然順子，總數是 20532。

好問題。多年來我一直想寫一個關於「膽量」的章節。我有一個完成了一半的電腦程式。一個問題是，膽量玩法太多，一次分析只能涵蓋一小部分牌局。明手牌也讓事情變得更加複雜。順便提一下，我建議一個不錯的“膽量”變體。如果沒有人留在牌局裡，那就再玩一次，每個人的牌都一樣。知道其他人的牌都很糟糕，會促使那些牌力較弱的玩家留在牌局裡。我和朋友們第一次採用這條規則時，每個人都在第二輪就留在牌局裡了。

沒有，我沒在任何線上賭場見過。唯一見過的地方是大西洋城。這遊戲好像要走向滅絕了。

雖然很難比較，但我認為二十一點是更好的選擇。學習基本策略很容易成為一個優秀的二十一點玩家。但成為優秀的撲克玩家卻很難。賭場撲克室通常擠滿了非常優秀的玩家，就等著一個沒有經驗的玩家來敲詐。然而，有些人可能天生就擅長撲克，所以我的回答請謹慎對待。

任兩個特定玩家同時拿到四條的機率為 (13*COMBIN(12,3)*4 ³ *9*COMBIN(41,3)+13*12*11*4*6*10*COMBIN(41,3)+13*12*4*11*COMBIN(41,3IN)/(COM7) 0.000003627723。從 7 位玩家中選擇 2 位玩家共有 combin(7,2)=21 種方法。排除 3 張或更多四條的情況，機率為 0.000076182184。

讓我們定義同花的機率，也就是發牌時拿到一張牌，或是抽到四張同花。為了簡單起見，我們假設玩家抽到一對或順子，並且抽到四張同花。發牌時拿到同花（不含順子/皇家同花）的機率是 4*(combin(13,5)-10)/combin(52,5) = 5108/2598960 = 0.0019654。拿到四張同花的機率是 4*3*combin(13,4)*13/combin(52,5) = 111540/2598960 = 0.0429172。抽到同花的機率是 9/47。因此，拿到四張同花並完成的總體機率為 0.0429172*(9/47) = 0.0082182。因此，拿到同花的總機率為 0.0019654 + 0.0082182 = 0.0101836。5 位玩家中剛好有 2 位拿到^同花的機率為 combin(5,2) * 0.0101836 ² *(1-0.0101836) * 0.0160901090109019010901901901901901909019009090969。

從 52 張牌中抽出 7 張，總共有 combin(52,7)=133,784,560 種排列方式。包含四張同點牌的 7 張牌組合的數量為 13*combin(48,3) = 224,848。13 表示四張同點牌的點數，combin(48,3) 表示從剩下的 48 張牌中抽出 3 張的排列方式數。因此，機率為 224,848/133,784,560 = 0.0017，即 595 分之一。

皇家牌有4種花色，另外兩張牌有47*46/2 = 1081種排列方式。 4*1081 = 4324。其他牌型就複雜得多了。我只好用電腦把從52張牌中選出7張牌的133,784,560種方法都算一遍。抱歉，也沒辦法推薦什麼書。

對於那些不熟悉規則的人來說，有五張明牌。所以問題是，從一副牌中發出五張牌，不放回，至少有三張是相同花色的機率是多少。從 52 張牌中發出 5 張牌，共有 combin(52,5)=2598960 種方法。發出 4 張相同花色的方法數為 4*combin(13,5)=1144。發出 4 張同花色的方法數為 4*combin(13,4)*39=111540。發出 3 張同花色的方法數為 4*combin(13,3)*combin(39,2)=847704。因此，總組合數為 960388，機率為 36.95%。

單一玩家獲得 7 張同花牌的機率為 4*combin(13,7)/combin(52,7) = 1/19491。7 個玩家中至少有一名玩家獲得 7 張同花牌的機率約為 2785 分之一。

皇家牌有四種可能的花色。有五張牌可能缺失。第五張牌可能是其他47張牌中的一張。因此，皇家牌共有4*5*47=940種組合方式。組合方式共有(52,5) = 2,598,960種。因此，機率為940/2,598,960 = 2,765分之一。

不！絕對不行！

機率是一樣的。

是的，機率是一樣的。 52張牌中隨機抽取7張，無論它們是如何從牌堆中抽出的，也無論你和誰分享，抽到的機率都是一樣的。

(12/52)*(11/51)*(10/50)*(9/49)*(8/48) = 0.00030474，或約 3282 分之 1。

不算同花順和皇家同花順，順子的機率是1.02%，同花的機率是1.04%。所以同花的機率略高一些。

有些賭場會把 A2345（也就是「輪盤」）視為最低順子，但大多數賭場仍將其視為第二高順子。需要注意的是，這條規則只是一般情況，並非總是如此。

我懷疑賭場會作弊，他們為什麼要這麼做？更大的擔憂是其他玩家。玩家很容易透過電話或即時通訊工具串通一氣。至於他們是否真的這麼做，我就不知道了。在高限額的賭桌上，這種風險可能更大。

為了方便大家，我來解釋一下什麼是二類機器。它是一種老虎機，結果由賓果球的抽取決定。如果操作得當（通常情況下並非如此），遊戲玩起來就像普通的老虎機一樣。我去過塔爾薩的兩家賭場，我發現最接近視訊撲克的不是二類老虎機，而是「拉片」。玩家使用拉片下注，按下按鈕，螢幕上會出現五張牌，如果贏了，就會掉落一張優惠券。你可以把它拿到收銀台。雖然有五張牌梭哈的賠率表，但我認為發牌不是隨機的。它只是一種視覺輔助工具，用來顯示你贏了多少錢。

我很少這麼說，但我試了幾個小時，但這個問題的數學計算實在太難了。所以我向我的朋友、數學教授加博爾·梅傑西（Gabor Megyesi）求助。這是他解決任何「乾旱」問題的公式。

1. 設 p 為贏得任何一手牌的機率。
2. 設 d 為乾旱持續時間。
3. 設 n 為玩過的牌數。
4. 設 k=dp 和 x=np。
5. 若 k=1，則令 a=-1，否則求 a 使得 k=-ln(-a)/(1+a)。 （a 為負數，如果 k>1，則 -1 < a < 0，如果 k < 1，則 a < -1，且 a 需要高精度計算。）[嚮導註：此類解法可在 Excel 中使用工具選單下的「目標求解」功能輕鬆找到。 ]
6. 若 k=1 則令 A=2，否則令 A=(1+a)/(1+ak)。
7. n 年間不發生長度為 d 的乾旱的機率約為 Ae ^{a x} 。

在這個特定問題中，p=1/40391，d=200000，n=1000000，k=4.9516，x=24.758，a=-0.0073337，A=1.03007。因此，不發生乾旱的機率為 1.03007*e ^{-0.0073337*24.758} = 0.859042。因此，至少發生一次乾旱的機率為 1-0.859042 = 0.140958。

這是 Gabor Megyesi 的完整5 頁解決方案（PDF）。感謝 Gábor 的幫助。

我隨機模擬了32095組一百萬手牌，其中至少出現一次乾旱的號碼是4558，機率為14.20%。

下表顯示了完全隨機的一手牌中出現 0 到 4 張 A 的機率。

對 1 到 4 張 A 牌進行求和，我們發現至少出現一張 A 牌的機率為 0.341158。出現兩張或兩張以上 A 牌的機率為 0.041684。

假設至少有一張 A，那麼再出現一張 A 的機率可以用貝葉斯定理重新表述為機率（至少有一張 A 的情況下再出現兩張 A）= 機率（兩張或更多張 A）/機率（至少有一張 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。

對於那些不熟悉貝葉斯定理的人來說，它指出給定 B 時 A 的機率等於 A 和 B 的機率除以 B 的機率，或 Pr(A 給定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。

下表顯示了從牌堆中移除黑桃 A 後，其他 A 的每個數量的組合和機率。

這表示至少再出現一張 A 的機率為 0.221369。

為了好玩，我們用貝葉斯定理來解答同樣的問題。假設隨機發牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假設牌中包含黑桃 A，那麼至少再出現一張 A 的機率可以改寫為機率（假設手中有黑桃 A，則至少有兩張 A）。根據貝葉斯定理，這等於機率（手中有黑桃 A 且至少還有一張 A）/機率（手中有黑桃 A）。我們可以將分子分解為機率（包括黑桃 A 在內的 2 張 A）+機率（包括黑桃 A 在內的 3 張 A）+機率（4 張 A）。使用第一個表格，這等於 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出現黑桃A的機率為5/52 = 0.096154。因此，給定黑桃A，至少出現兩張A的機率為0.021285/0.096154 = 0.221369。

因此，如果至少有一張 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 12.22%，如果是黑桃 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 22.14%。

首先，我將同花順分為兩種：四張連續同花色的牌和五張連續同花色的牌。五張同花順的數量等於花色數 * 跨度數（A 到 10 為最低牌）= 4*10 = 40。對於四張同花順，有 11 種不同的跨度（A 到 J 為最低牌）。對於 A234 和 JQKA 同花順，第五張牌可以是 47 張牌中的一張（52 張牌減去已經取出的 4 張牌和可以組成五張同花順的第五張牌，這四張牌已經計算在內）。因此，跨距為 A234 或 JQKA 的同花順共有 4*2*47=376 張。其他九張牌，第五張牌有 46 種可能的牌（52 張牌減去已經取出的 4 張牌和可以組成五張同花順的兩張牌）。因此，跨距為 2345 到 TJQK 的同花順數量為 4*9*46=1656。因此，4張同花順的總數為40+376+1656=2072。

謝謝你的讚美。我對這個遊戲很熟悉。假設你原本的牌是JJQQK，而且你保留了兩張J。那麼，在抽牌時獲得一張J和另外兩張牌的方法數是2*combin(45,2) = 1980。在抽牌時拿兩張J的方法數是45。在抽牌時得到三條的方法數是10*4+1 = 41。因此，將牌型改良為三條或更好的方法數是1980+45+41 = 2066。從剩餘的47張牌中選擇3張的方法總數是combin(47,3) = 16215。因此，將牌型改進為三條或更好的機率是2066/16215 = 12.74%。如果你保留兩對，那麼湊成葫蘆的機率是4/47 = 8.51%。所以，假設三條可能贏，我同意只保留一對（較大的那對）是更好的玩法。

1/combin(52,4) = 270725 中的 1。

你這麼奉承我，我怎麼能拒絕？首先，從 52 張牌中隨機抽出 7 張牌，不考慮順序，總共有(52,7) = 133,784,560 種組合方式。七張牌的順子有 8 種可能的組合範圍（最小的牌可能是 A 到 8）。如果牌型有 7 種不同的大小，那麼花色就有⁴⁷ = 16384 種排列方式。注意，這包括所有相同花色的牌，這樣就能組成同花順。所以機率是 8*16,384/133,784,560 = 1/1020.6952。

我大概每個月都會被問到一次關於bad beat jackpot的問題。等我有時間了，我打算在我的網站上加一個版塊。我有點猶豫，因為我可能會被問到全世界每個撲克室裡每個bad beat jackpot的問題。

我同意你的看法。如果洗牌洗得好，那就沒關係。但如果洗得不好，我認為發牌員應該一次發一張牌，這樣就不會把亂七八糟的牌分散到各個玩家手中。

謝謝大家的讚美。如果你把順子上的獎金從10降低到8，賭場優勢就會從3.32%上升到3.48%。

由機率101可知，Pr(A或B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A和B)。因此，Pr(A和B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A或B)。假設A拿到一張A，B拿到一張2。 Pr(A) = Pr(至少一張A) = 1-Pr(沒有A) = 1-combin(48,4)/ combin (52,4) = 1-0.7187 = 0.2813。沒有2的機率顯然相同。依照同樣的邏輯，pr(A或B) = Pr(至少一張A或2) = 1-Pr(沒有A也沒有2) = 1-combin(44,4)/combin(52,4) = 1 - 0.501435 = 0.498565。因此，至少得到一張 A 和一張 2 的機率是 0.2813 + 0.2813 - 0.498565 = 0.063962。

每對牌有六種組合方式，可以從四種花色中抽出兩種。單張牌有 44 張。因此，成功組合數為 6*6*44 = 1584。總共有 2,598,960 種組合方式，機率為 0.0609%。

玩 High Tequila 的期望值是 115.904，而 Tequila Poker 只有 16。所以你肯定會玩 High Tequila。

如果您指的是 5 張皇家牌和任兩張其他牌，則機率為 4* combin (47,2)/combin(52,7) = 4,324/133,784,560 = 1/30,940。

標準視訊撲克也是如此，一旦棄牌，就無法在抽牌時再次出現。因此，旋轉撲克的預期回報與賠率表相同的傳統視訊撲克相同。

組成四張同花順的方法數為 4*(9*46 + 2*47) = 2032。組成葫蘆的方法有 3744 種，組成四條的方法有 624 種。因此，四張同花順的牌型應該介於葫蘆和四條之間。

如果您只持有低對子，那麼將牌型提升為兩對或更好的機率為28.714%。如果您持有對子和踢腳牌，那麼將牌型提升為兩對或更好的機率為25.902%。因此，只持有對子，將牌型提升為兩對或更好的機率更高。但是，如果您假設需要高兩對或更好的牌才能獲勝，那麼持有踢腳牌時，實現這一目標的機率可能會更高，具體取決於具體的牌型以及您對「高」的定義。

只有一個方法可以拿到那一手牌。所以機率是 1/combin(52,5)，也就是 2,598,960 分之一。

我能想到三個原因，導致主管在贏了大錢後會換牌。第一，牌已經磨損了，反正也得換。第二，他們擔心牌本身有問題。第三，他們“為了錢而操心”，錯誤地認為換牌就能改變運氣。我敢打賭，第三種解釋最有可能。

各位讀者可能還不知道，奧馬哈一手牌有九張。若允許玩家使用任九張牌，機率為 (13 *組合(48,5) - 組合 (13,2) * 44) / 組合 (52,9) = 0.00605。然而，如果玩家被迫使用四張底牌中的兩張，則機率為

(13*combin(4,2)*combin(48,2)*combin(2,2)*combin(46,3)-combin(13,2)*combin(4,2)*combin(4,2)*combin(2,2)*combin(2,2)*44)/(combin(52,488)

我說過很多次，說到賭博，撲克是我最弱的遊戲之一。這次我向東尼‧格雷拉求助，他是《Killer Poker by the Numbers 》（將於2007年1月出版）一書的作者。

五張同點牌的機率較小。我剛剛在撲克機率部分添加了一個表格，詳細列出了每手牌根據各個等級的機率。

我認為問這個問題不算違反任何規則，但回答這個問題肯定算。我無意指責你，但一般來說，一對情侶在家玩撲克時，常常會違反禁止串通的規則，導致大家情緒不和。常見的違規行為是男生在女生棄牌後還勸女生。我住在加州的時候，有一對情侶的情況很糟糕，以至於我主持遊戲時就定了一條規則，他們不能同時在遊戲室裡。所以，也許女主人以前遇到過情侶玩撲克時遇到的問題，所以反應過度了。

跨牌（straddle），通常也稱為“活跨牌”，是指大盲注之後的玩家在看牌前加註。例如，在3/6美元的遊戲中，大盲注是3美元，所以跨牌是6美元。我問我的朋友傑森這樣做的原因。他說：“有些人這樣做是為了在‘緊’牌局中刺激玩家行動。跨牌的玩家也可以選擇在大盲注行動後加註。撲克室喜歡並允許這樣做，因為這幾乎可以保證更大的底池，從而帶來更高的抽水。”

在撲克中，「道具」一詞有兩種用法。首先，「道具玩家」是指撲克室按小時支付報酬來玩牌的人。這樣做的目的是為了確保每張牌桌上的玩家人數達到最低要求。更多信息，請訪問 poker-babes.com 進行更深入的解答。其次，「道具下注」是指玩家之間進行的附加下注，通常在翻牌圈進行。

請注意，我顛倒了葫蘆和同花的順序。

謝謝。 （4 ⁵ -4）/combin（52,5）= 1020/2598960 = 2,548 中的 1。

希望您玩得開心，我的電腦花了五天時間循環分析了奧馬哈所有 4640 億種可能的牌型。以下是高牌和低牌的牌型表。為了方便其他讀者理解，在奧馬哈遊戲中，玩家有四張自己的牌和五張公開牌。他必須使用剛好兩張自己的牌和三張公共牌來組成最佳的高牌和低牌。對於低牌，順子和同花不計入玩家的牌型，而 A 始終是低牌。

請點擊此連結。

最終，牌會說話。你本應贏下這手牌。

讓我提醒其他讀者，在奧馬哈遊戲中，每位玩家有四張底牌。我假設你持有一張 A、一張 2 和兩張其他點數的牌。以下是另一位玩家至少拿到一張 A 和一張 2 的方式和組合數：

1 張 A 和 1 張 2：3×3×combin(44,2)=8,514
2 個 A 和 1 個平局：combin(3,2)×3×44=396
1 張 A 和 2 張 2 點：3×combin(3,2)×44=396
2 張 A 和 2 張 2 點：combin(3,2)×combin(3,2)=9
3 張 A 和 1 張 2：3×3=9
1 張 2 點 & 3 張 2 點：3×3=9
總計 = 9,321

從剩下的48張牌中抽出4張，總共有combin(48,4)=194,580種方法。因此，對手拿到A和2的機率為9,321/194,580 = 4.79%。我們可以估算出，五名對手中至少有一名拿到A和2的機率為1-(1-.0479) ⁵ = 17.83%。這並不完全正確，因為這些機率在各個玩家之間並非獨立存在。

這是一個二項分佈問題。其一般公式是：如果某個事件的機率為 p，且每個結果都是獨立的，那麼事件在 t 次試驗中恰好發生 w 次的機率為(t,w)×p ^w ×(1-p) ^tw 。

在這種情況下，有兩種方法可以組成同花順。你需要一張方塊8和另一張方塊6或J。從牌堆剩下的47張牌中抽出2張，一共有combin(47,2)=1,081種方法。因此，任何一手牌中抽出同花順的機率是2/1,081 = 0.0018501。10張牌中抽出3張的機率是combin(10,3)×0.0018501 ³ ×(1-0.0018501) ⁷ = 0.0001007501017531,07531,0750175,0075,0175017531753。

報紙上充斥著許多職業線上撲克玩家抱怨自己沒有謀生手段的報道。的確，你會認為每個人都能從線上撲克賺錢，無論是玩家還是營運商。然而，總得有人輸錢，而我還沒聽到有人承認輸錢。

那麼，就讓我先說說吧。我玩過很多線上撲克，通常是1-2美元到4-8美元的局，我不需要記錄就能知道自己輸贏。我甚至不知道自己是否夠強，能贏下抽水。在我看來，許多線上撲克網站都充斥著機器人和職業選手，再加上玩家追蹤軟體的輔助，讓像我這樣的休閒玩家很難有機會贏錢。

如果美國政府真的將網路撲克合法化，我強烈認為應該這樣做，我希望有一個強大的監管機構來監督它，並確保只有人類在公平的競爭環境中進行遊戲。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

首先，讓我們回顧一下籌碼堆疊。

口袋對子的機率 = 13 * combin (4,2)/combin(52,2) = 5.88%。
AK = 4 ² /combin(52,2)= 1.21% 的機率。
任一機率 = 5.88% + 1.21% = 7.09%。
兩者都得不到的機率 = 100% -7.09% = 92.91%。
在 161 手中得到一次的機率 = 161*0.9291 ¹⁶⁰ *0.0709 ¹ = 11,268 分之一。

我在Wizard of Vegas論壇上討論過這個問題。

我們先來問一下，在四人遊戲中，所有四名玩家都有 A 或 K 的機率是多少？

這個問題的答案是 (4*4/combin(52,2)) * (3*3/combin(50,2)) * (2*2/combin(48,2)) * (1/combin(46,2)) = 1/3,292,354,406。

然而，這些A/K牌中也有可能有些是同花。確切地說，它們都不成同花的機率是9/24。因此，將機率降低到8,779,611,750分之一。

然而，這是一款十人遊戲，組合(10,4)=210的四人組合中的任何一組都有可能是非同花色A-K的四人組合。因此，將該機率乘以210，答案是41,807,675分之一。

這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。

假設兩手牌都進入最後階段，我顯示最佳對手牌型是5-6同花。如果A對沒有代表該花色，則可能的結果如下：

• 勝率：22.87%
• 平手：0.37%
• 輸：76.76%

如果花色為一對 A（降低同花的機率），則可能的結果如下：

• 勝率：21.71%
• 平手：0.46%
• 輸：77.83%

總體而言，可能的結果如下：

• 勝率：22.290%
• 平手：0.415%
• 輸：77.295%

這取決於牌桌上的玩家數量。玩家越多越好，因為玩家越多，你輸的幾率就越大。下表顯示了包括你在內的所有玩家對這四對牌的輸掉機率。這假設沒有人棄牌。這顯然是一個不切實際的假設，所以我會把這些機率當作上限。

平均贏利很容易計算：$100 × (1/6) + $75 × (1/6) + $50 × (1/2) = $62.50。下表顯示了四種口袋對子出現時的預期價值（假設沒有其他玩家棄牌）。

下表顯示了此促銷活動每手牌的價值。它等於上表與獲得所需底牌的機率（即 6/1326 = 0.90%）的乘積。

下表顯示了此促銷活動每小時的價值，假設每小時30手。同樣，這假設沒有人棄牌，所以我將此作為每小時價值的上限。

在一場10人參與的德州撲克遊戲中，假設無人棄牌，那麼高手牌為順子或同花大順的機率是350.14分之一。三局中有三局出現這種情況的機率是42,926,491分之一。

然而，那張牌桌可能已經玩了好幾個小時了。或許更現實的問題是，這種情況在一天中至少發生一次的機率是多少。假設整整24小時都在玩，每小時24手牌，那麼這個問題的答案是59,621分之一。

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。