樂透 - 常問問題
假設彩票有 1000 萬種可能的中獎組合,假設售出 1000 萬張彩票,那麼有人以 90% 的機率中獎的機率是多少?顯然,這個機率不會是 100%,因為有些彩票是重複的。我更感興趣的是解決問題的方法,而不是答案。
讓我們試著重新表達這個問題。假設彩券有 1000 萬種組合,所有玩家隨機選擇號碼(允許重複),那麼彩券需要售出多少張彩券才能讓至少一人中獎的機率達到 90%?設中獎機率為 p,售出的彩券數量為 n。 1 人輸掉的機率是 1-p。 n 人全部輸掉的機率是 (1-p) n 。至少有一人中獎的機率是 1 - (1-p) n 。因此,我們需要將其設為 0.9,並解出 n。
.9 = 1 - (1-p) n
.1 = (1-p) n
ln(.1) = ln((1-p) n )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(.9999999)
n = 23,025,850。
因此,彩票需要售出23,025,850張彩票,才能使至少一位中獎者的機率達到90%。如果你想知道,如果彩票恰好售出1000萬張彩票,那麼至少一位中獎者的機率將是63.2%,非常接近1-(1/e)。
這是我問您的第二個問題,這次的主題是州彩券。我相信您聽說過一群“投資者”,他們過去常常等到頭獎達到一定水平,然後購買所有可能的數字組合的彩票。這樣就能確保他們分得一杯羹。假設一張彩券的價格是1美元,那麼頭獎金額要達到多少才能獲利呢?
答案中的一個因素是售給其他玩家的彩票總數。如果不只一位玩家中了頭獎,獎金就必須由其他玩家分享。我們設可能的組合數為 n,售出的其他彩券總數為 t,小獎的報酬率為 r(在大獎賽中,r=0.179612),j 為頭獎金額。要讓這筆投資達到損益平衡,j*n/(n+t) + r*n - n=0。結果為 j=(1-r)*(n+t)。
我已經連續兩個月玩樂透和抽獎了。我會中大獎嗎?什麼時候?
簡而言之,不會,你永遠不會中獎。通常情況下,6/49彩券的中獎機率是13,983,816分之一。你需要玩ln(.5)/ln(1-1/combin(49,6)) = 9,692,842次,才能至少有一次50/50的中獎機率。假設你每天買100張彩票,那麼需要265.6年才能有50%的中獎機率。而要有90%的中獎機率,則需要882.2年。
多年來,我在華盛頓州觀看昆托彩票開獎時,注意到了一些事情。這是一款52張牌的遊戲,每次抽5張。我注意到,絕大多數情況下,抽出的是三種花色。從撲克牌數字來看,抽出一種花色(同花)的機率是260萬分之5148。那麼抽出2、3或4種花色的機率是多少呢?
設 f(x,y) 為 x 為某一花色、y 為另一花色的機率。該函數不限於兩項。
有兩個參數 f(x,y)= combin(13,x)*combin(13,y)*12/combin(52,5)。
有三個參數 f(x,y,z)= combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*12/combin(52,5)。
有四個參數 f(w,x,y,z)=combin(13,w)*combin(13,x)*combin(13,y)*combin(13,z)*4/combin(52,5)。
全部四種花色的機率為 COMBIN(13,1) 3 *COMBIN(13,2)*4/combin(52,5) = 26.37%。
三種花色的機率為 COMBIN(13,3)*COMBIN(13,1) 2 *12 + COMBIN(13,1)*COMBIN(13,2)^2*12/combin(52,5) = 58.84%
兩種花色的機率為 COMBIN(13,3)*COMBIN(13,2)*12 + COMBIN(13,4)*COMBIN(13,1)*12/combin(52,5) = 14.59%
一種花色(包括順子和同花大順)的機率是 4*combin(13,5)/combin(52,5) = 0.20%。
因此,三種花色是最常見的結果。
在你的MD樂透彩票機率圖中,你沒有考慮分獎的機率。這種可能性對預期價值有什麼影響?
不,我沒有考慮獎金分割。這肯定會降低獎金的價值,玩的人越多,預期回報就越低。我寫那篇文章的時候,沒有足夠的玩家數量資訊來適當地考慮這一點。
我來自一個非常貧困的家庭,懇請您幫助我提供每週的抽獎號碼,謝謝......
我猜你的意思是想要彩票號碼。抱歉,但我並不比你更擅長預測這些數字。不過,我建議你根本不要參與賭博,尤其是如果你經濟拮据的話。那邊似乎有很多前將軍和獨裁者試圖電匯給我1700萬美元,也許他們中會有人願意給你一筆獎學金。
親愛的Wiz:我參加的賽馬場正在推出視訊彩票機。您能告訴我一些相關資訊嗎?它們和老虎機一樣嗎?如果您能提供任何信息,我將不勝感激。
另一位 Mike S.,賠率是多少?許多賽馬場允許所謂的「二級」博彩,即必須以彩票或賓果遊戲為基礎。根據這條規則,提供老虎機的方式是在幕後進行彩票或賓果遊戲,並將結果以老虎機贏錢的形式顯示出來。例如,如果彩票遊戲確定你贏了20倍的賭注,它就會顯示任何支付20倍的老虎機符號。所以這是一個巧妙的幻象。
如果我買了兩張快選彩票,兩張彩票中相同號碼的機率是多少?假設中獎機率是6/49。
從49個號碼中正確選出6個號碼的中獎機率是1/ combin (49,6) = 1/13,983,816。這也是你的兩張彩券匹配的機率。
我猜你已經知道了,但如果不知道的話,義大利彩券每週開獎兩次,從1到90號(10個城市,每個城市5個號碼)中抽取50個號碼。大約兩年來,53號一直沒出現,引發了一場“53號狂熱”,甚至有人把所有家當都押在了他們確信會糾正的號碼上,然後自殺!所以我開始思考──53號兩年內不出現的機率有多大? (更多資訊請點擊連結)
我做了一些研究,每次抽獎都會選六個號碼。在任何抽獎中,數字 53 不出現的機率是( 89,6)/(90,6) = 93.333%。兩年內會有 208 次抽獎。因此,在特定的兩年期間,數字 53 不出現的機率是 0.93333 208 = 0.000000585665,即 1,707,460 分之一。
關於你關於義大利彩券的回答(參見2005年9月11日專欄),你指出53在兩年內未被選中的機率是1/1,707,460。你應該進一步說明在同一兩年期間,90個號碼中任意一個(或多個)被選中的機率;我認為這才是提問者真正想知道的。此外,你還可以(再次)解釋一下,為什麼儘管過去的情況不太可能發生,但53在下次彩票中被選中的機率並不比其他號碼高。
兩年內任何號碼未中獎的機率可以近似地計算為90*(1/1,707,460) = 1/18,972。實際機率會略低於這個數字,因為我重複計算了兩個未中獎的號碼,這個機率可以忽略不計。當然,過去的賠率在彩票中並不重要,每次開獎選中53號的機率都是一樣的。
據說強力球彩券中獎的機率是146,107,962分之一。最近開獎的3.4億美元頭獎,當地媒體稱售出的彩券數量為1.05億張。我的問題是,如果你中獎了,你分享頭獎的機率是多少?這會降低預期價值多少?
首先,我們來確認一下機率。玩家必須從55個號碼池中匹配5個常規號碼,並從42個號碼池中匹配一個強力球號碼。中獎機率為(55,5)*42 = 1/146,107,962。所以我同意你的機率。對於像你這樣的問題,我喜歡用泊松分佈。中獎的平均人數為105,000,000/146,107,962 = 0.71865。 n個中獎者(平均值為m)的機率的通用公式是e -m *m n /n!。在本例中,平均數為0.71865,因此中獎人數為零的機率為e -0.71865 *0.71865 0 /0! = 0.48741。因此,至少有一位中獎者的機率為 1-0.48741 = 0.51259。也就是說,0.71865 位中獎者需要分享 0.51259 的累積獎金。也就是說,每位得獎者需要分享 0.51259/0.71865 = 0.71327 個累積獎金。因此,如果中獎者分享累積獎金,您的預期中獎金額將降至累積獎金金額的 71.327%,即減少了 28.673%。
Powerplay 會把非大獎的獎金加倍,從 2 倍到 5 倍不等。 Powerball 網站列出了中獎者的評價,說「Powerplay 是唯一的選擇」。我覺得這玩意兒太傻了。
彩券永遠是一筆糊塗買賣!簡而言之,Powerplay 選項的回報率是 49.28%。單買強力球彩券的回報率就差遠了,買 x/2 張帶 Powerplay 選項的彩票比買 x 張不帶 Powerplay 選項的彩票要划算得多。如果你想了解更多信息,我已經在我的彩票專欄中添加了關於這個選項的詳細信息。
巫師,您能描述一下加州超級樂透(California SuperLotto Plus,4140萬分之一)的中獎機率嗎?具體來說,是指連續擲出7或11的次數嗎?我以前在哪裡聽過。大多數人無法理解彩票的中獎機率。但是,擲骰子——他們卻能理解。
設答案為 n。擲出 7 或 11 的機率為 8/36。求解 n:
(8/36) n = 1/41,400,000
log((8/36) n ) = log(1/41,400,000)
n × log(8/36) = log(1/41,400,000)
n = log(1/41,400,000)/log(8/36)
n = -7.617 / -0.65321
n = 11.6608
所以,超級樂透中獎的機率,相當於連續11.66次擲7或11的機率。對於那些無法理解「部分投擲」的人,我建議將其理解為連續擲出11到12次的機率。
我和妻子買了一張20美元的印第安納州彩券。據我了解,無論實際售出多少張彩票,中獎號碼(777)的抽獎將於2007年8月16日舉行,最高限量彩票數量為32.5萬張。截至目前,只售出了6萬張彩券。再買幾張彩券是否值得一試?我們中獎的幾率是多少?
根據印第安納州彩券網站的數據,共有32.5萬名彩券持有者獲得了總計327萬美元的獎金。假設所有彩票全部售罄,那麼平均每張彩票價值10.615美元。以每張彩券20美元的成本計算,回報率為50.31%。如果只售出6萬張彩票,那麼每張彩票價值54.50美元,回報率為272.50%。損益平衡點是售出16.35萬張彩券。如果您認為售出的彩票數量會少於這個數字,那麼拋開稅收和貨幣效用的影響,購買彩票是一個不錯的選擇。
州彩券頭獎年金如果在年金到期前去世,就會停止支付,這是真的嗎?我聽說紐約就是這樣的。我覺得這太離譜了。
我查看了紐約和加州的彩票網站。兩個網站都表示,如果中獎者在全部獎金發放前去世,剩餘的獎金將支付給中獎者指定的繼承人或遺產。
我聽說德國6/49彩票在不同的日子裡開出了相同的號碼。這似乎有點蹊蹺。中獎機率是多少?
確實如此,但事情並沒有你想像的那麼可疑。根據HC Tijms所寫的《理解機率:日常生活中的機會規則》 ,1995年6月21日和1986年12月20日的雙週開獎中,開出的號碼是同一組。 1986年12月20日的開獎是第3016次。 6/49彩券的組合數為combin(49,6) = 13,983,816。第二次開獎號碼與第一次開獎號碼不符的機率為(c-1)/c,其中c為組合數,即13,983,816。第三次開獎產生一組不同號碼的機率為(c-2)/c。因此,從第2次到第3016次開獎,每次開獎都產生唯一號碼的機率為 (c-1)/c × (c-2)/c × ... (c-3015)/c = 0.722413。因此,至少一組相同號碼的機率為 1 - 0.722413 = 0.277587,即 27.8%。下表顯示了假設每週開獎兩次,按年份開獎至少出現一對相同號碼的機率。
6/49彩票中號碼匹配的機率
年 | 可能性 |
5 | 0.009640 |
10 | 0.038115 |
15 | 0.083800 |
20 | 0.144158 |
二十五 | 0.215822 |
三十 | 0.295459 |
三十五 | 0.379225 |
40 | 0.463590 |
45 | 0.545437 |
50 | 0.622090 |
55 | 0.691985 |
60 | 0.753800 |
65 | 0.807008 |
70 | 0.851638 |
75 | 0.888086 |
80 | 0.917254 |
85 | 0.940000 |
90 | 0.957334 |
95 | 0.970225 |
100 | 0.971954 |
如果你想知道的話,配對抽獎機率首次超過 50% 的抽獎次數是 4,404。
新斯科細亞省彩券提供的 Proline 過關投注的賠率是多少?
為了方便其他讀者理解,新斯科細亞省的體育彩券就像內華達州賭場的場外投注,只是賠率更低。隨機抽獎者要獲得給定選項的預期回報,需要先將每個結果的賠償金額的倒數相加,然後再取該和的倒數。
例如,在 2009 年 11 月 9 日星期一晚上的足球比賽中,他們有以下選擇:
鋼人隊以 3.5 或以上獲勝:賠率為 1.9
野馬隊以 3.5 分或以上獲勝:賠付 1 賠 3.25
勝負差距為3分或更少:3.65比1
倒數和為 (1/1.9) + (1/3.25) + (1/3.65) = 1.107981。該數字的倒數為 1/1.107981 = 0.902543。因此,預期回報率為 90.25。對於過關投注,取所有投注回報率的乘積。
我查看了幾場賽事,每場賽事的回報率在 75.4% 到 90.3% 之間(來自上例)。平均值為 82.6%。基於該平均值,以下是按投注次數計算的預期報酬率:
2:68.2%
3:56.3%
4:46.5%
5:38.4%
6:31.7%
你認為在計算彩券的預期價值時,應該把分紅獎金的機率考慮進去嗎?如果是,這個機率是多少?
我確實認為,在決定購買彩票時,這是一個應該考慮的因素,儘管它的影響可能不大。為了回答您的問題,我使用了lottoreport.com 網站上的頭獎金額和銷售數據。我查看了 2008 年 1 月以來的強力球彩票數據,因為該網站目前只有這方面的數據。我還查看了 2005 年 6 月以來的超級百萬彩票數據,當時規則有所調整。下表總結了我的結果。
強力球和超級百萬彩票的分割獎金
物品 | 強力球 | 超百萬 |
贏得大獎的機率 | 195,249,054分之1 | 175,711,536分之一 |
提供的平均累積獎金 | 73,569,853美元 | 65,792,976美元 |
每次抽獎的平均銷售額 | 23,051,548 美元 | 25,933,833美元 |
每期抽獎的平均預期獲勝者 | 0.118 | 0.148 |
每次抽獎中分紅獎金的平均機率 | 0.74% | 1.29% |
因共享大獎而造成的回報損失(未經調整) | 4.01% | 6.59% |
因共享大獎而造成的回報損失(已調整) | 1.41% | 2.31% |
因此,強力球彩券中頭獎被分割的平均機率為 0.74%,超級百萬彩券中頭獎被分割的機率為 1.29%。隨著頭獎金額的增加和彩券銷售量的上升,分割頭獎的機率也會隨之上升。超級百萬彩票中頭獎被分割的機率之所以更高,是因為中獎機率更高,而且來自其他玩家的競爭也更激烈。
綜合考慮所有因素,我得出的結論是,強力球彩券因獎金分享機制損失了4.01%,超級百萬彩券則損失了6.59%。然而,這些數字並未考慮稅收,也未考慮獎金以年金的形式支付。為了進行調整,我假設玩家只能獲得一半的獎金,要么選擇一次性領取,要么選擇年金支付。我還假設剩餘獎金的30%用於納稅,因此扣除這兩個因素後,中獎者預計可以獲得35%的獎金。經過調整後,我得出的結論是,強力球彩券因獎金分享機制損失了1.20%,超級百萬彩券則損失了1.98%。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
我聽說馬薩諸塞州有一種彩票遊戲很容易被利用。你知道嗎?
你指的肯定是Ca$h WinFall遊戲。我第一次知道這個遊戲是在boston.com網站上,文章《少數知識淵博者也能玩轉橫財的遊戲》 。
累積彩券的頭獎金額龐大,回報率超過100%的情況並不罕見,這還不包括稅收、年金支付、中獎幾率低以及巨額頭獎帶來的金錢效用遞減。考慮到這些因素後,彩票幾乎從來都不是一個好的選擇。
Ca$h WinFall 遊戲的獨特之處在於,當累積獎金超過 200 萬美元而無人中獎時,他們會將除 50 萬美元之外的所有獎金滾存到較低的獎項中。這使得擁有六位數資金的團體幾乎可以確保獲得巨額利潤。
讓我們以最近的2011年7月18日開獎為例。這是一個簡單的6-46遊戲,玩家從1到46中選擇六個號碼,彩票也是如此。您的號碼與彩票號碼匹配的次數越多,您贏得的獎金就越多。下表顯示了每種情況的機率和回報。中兩個號碼的獎金是一張免費彩票,我將其單獨顯示為價值26美分。每張彩券售價2美元,因此回報列是機率與獎金的乘積除以彩券價格。右下角的單元格顯示預期回報率為117%,即玩家優勢為17%。
Ca$h WinFall 抽獎 — 2011 年 7 月 18 日
抓住 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
---|---|---|---|---|
6 | 2392699.1 | 1 | 0.00000011 | 0.12772207 |
5 | 19507 | 240 | 0.00002562 | 0.24990768 |
4 | 802 | 11700 | 0.00124909 | 0.50088509 |
3 | 二十六 | 197600 | 0.02109574 | 0.27424465 |
2 | 0.24 | 1370850 | 0.14635171 | 0.01756221 |
1 | 0 | 3948048 | 0.42149293 | 0.00000000 |
0 | 0 | 3838380 | 0.40978479 | 0.00000000 |
全部的 | 9366819 | 1.00000000 | 1.17032170 |
自從我最初寫下答案以來,根據文章《彩票限制boston.com上的高級別玩家》的說法,馬薩諸塞州彩票已經將每家門市每天可售彩票的數量限制為2500張,即價值5000美元。這顯然會讓贏得巨額獎金變得更加困難,但對於資金較少的玩家來說,這可能是件好事,因為它可以最大限度地減少來自其他玩家的競爭。 「roll-down」的獎金有限,所以競爭越少越好。如果我住在馬薩諸塞州附近,我肯定會至少嘗試一下。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
您對針對魁北克彩票涉嫌非隨機彩票的訴訟有何看法?
對於那些不熟悉這個故事的人來說,魁北克彩票提供了一款名為“Extra”的遊戲。機器會隨機抽取一個7位數字,玩家必須從隨機抽取的數字中依序配對盡可能多的數字。匹配的數字可以任意方向排列。最低獎金為2美元,如果只匹配最右邊的數字。最高獎金為100萬美元,如果匹配所有7位數。
訴訟中的原告注意到,如果你買了10個Extras,那麼遊戲會從每個數字的首位和末位中各抽取一個。換句話說,如果你只看首位或末位,你就會看到從0到9的所有10個數字。原告聲稱,這只給了他們兩次中獎機會,而且並非隨機的。
我明白他們的意思。那款遊戲幾乎所有的差異都來自於100萬美元的頭獎。十張完全獨立的隨機彩票的標準差是1002.845。而魁北克彩券的做法是,同時購買的十張彩券的標準差幾乎相同,都是1002.833。
我認為,如果玩家購買多張快速選號彩票,每張彩票都應該相互獨立。然而,我認為這起2000萬美元的訴訟幾乎毫無意義。如果我是法官,我會判給原告1美元。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
玩家購買彩券時最常選擇哪些數字組合?
下表列出了魁北克彩票中出現的三個最常見號碼組合。這些彩券來自2010年1月30日開獎的366,518張彩券。對於那些不了解第三組號碼規律的人來說,它們就是「Lost」號碼,它們在那期節目中扮演了重要角色。
魁北克彩券最常見選擇
數位 | 魁北克的銷售數量 | 頻率 |
---|---|---|
7-14-21-28-35-42 | 824 | 1/444.8 |
1-2-3-4-5-6 | 424 | 864.4分之1 |
4-8-15-16-23-43 | 377 | 1比972.2 |
透過推斷,如果樂透 6/49 遊戲抽取的數字是 7-14-21-28-35-42,那麼頭獎將被數千名玩家瓜分,每人只能獲得頭獎的 0.03%。
我的建議是,如果您必須購買彩票,請選擇快速選擇。
您是否同意 Business Insider 上題為「數學告訴你現在應該買一張百萬大獎彩券」的文章?
不,我不同意。這是一篇糟糕的新聞報道,Business Insider 應該為此感到羞愧。
首先,這篇文章發表於2013年12月17日,也就是當晚6.36億美元開獎之前。讓我們用數學方法評估一下1美元彩券的價值。下表顯示了6.36億美元頭獎所有可能結果的機率和預期回報,其中未考慮一次性罰款、稅費和獎金分配等因素。由於數字較小,前三個機率以科學計數法表示。
超級百萬大獎——6.36億美元
抓住 | 超級球 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
---|---|---|---|---|---|
5 | 是的 | 6.36億美元 | 1 | 3.86E-09 | 2.456634 |
5 | 不 | 100萬美元 | 14 | 5.41E-08 | 0.054077 |
4 | 是的 | 5,000 美元 | 350 | 1.35E-06 | 0.006760 |
4 | 不 | 500美元 | 4,900 | 0.000019 | 0.009463 |
3 | 是的 | 50美元 | 24,150 | 0.000093 | 0.004664 |
3 | 不 | 5美元 | 338,100 | 0.001306 | 0.006530 |
2 | 是的 | 5美元 | 547,400 | 0.002114 | 0.010572 |
1 | 是的 | 2美元 | 4,584,475 | 0.017708 | 0.035416 |
0 | 是的 | 1美元 | 12,103,014 | 0.046749 | 0.046749 |
失敗者 | 0美元 | 241,288,446 | 0.932008 | 0.000000 | |
全部的 | 258,890,850 | 1.000000 | 2.630865 |
這表明,一張1美元的彩票將獲得2.630864美元的回報。扣除彩券成本後的預期利潤為1.630864美元。 Business Insider的利潤為1.632029美元。雖然差額為0.001164美元,但並不算什麼。
然而,有三件事會顯著降低其價值:
- 一次性罰款。
- 稅收。
- 分享獎金。
讓我們逐一看一下。
大型彩券累積獎金通常以約30年的年金形式發放,包括超級百萬彩券 (Mega Millions)。如果中獎者想一次獲得所有獎金(大多數人都這麼做),就必須接受大幅減免。這很公平,因為今天的一美元比未來的一美元更值錢。在2013年12月17日的開獎中,總獎金減少至3.476億美元,相當於公佈獎金的54.65%。
接下來,我們來看看稅收。聯邦邊際所得稅率最高為39.6%。州稅從0%到12.3%不等,所以我們假設平均稅率為6%。扣除45.6%的稅金後,剩餘1.891億美元。
現在是最棘手的部分——獎金分享。值得注意的是,從 2013 年 10 月 22 日的抽獎開始,Mega Millions 將規則改為 75-15 格式,即從 1 到 75 中抽取五個號碼,然後從 1 到 15 的另一個號碼池中抽取一個號碼。這將中獎機率降低到 258,890,850 分之一,顯然是為了獲得更大的獎金。僅查看此後的 17 次抽獎,使用LottoReport.com的獎金和銷售數據,我發現獎金金額和需求之間存在指數關係。順便說一下,我在強力球彩券中也發現了同樣的情況。使用指數回歸,我計算售出彩票總數(以百萬計)的公式是 12.422 × exp(0.0052 × j),其中 j 是獎金數額(以百萬計)。例如,如果頭獎金額為 6.36 億美元,預期銷售額為 12.422 * exp(0.0052*636) = 3.392 億美元。實際銷售額為 3.37 億美元,非常接近。
根據實際售出的彩券數量 336,545,306 張,我們預計中獎人數為 336,545,306/258,890,850 = 1.300 人。關鍵問題是,如果您中獎了,預計會有多少人分享獎金?根據泊松分佈,這個問題很容易回答。假設平均中獎人數為 1.3 人,那麼恰好有 x 人中獎的機率為 exp(1.3)×1.3 x /fact(x)。下表列出了 0 到 10 位其他中獎者的機率、您在每種情況下獲得的獎金份額以及假設您中獎後的預期份額。
預計獎金分配比例平均為 1.3 名其他得獎者
其他獲獎者 | 可能性 | 累積獎金份額 | 預期份額 |
---|---|---|---|
10 | 0.000001 | 0.090909 | 0.000000 |
9 | 0.000008 | 0.100000 | 0.000001 |
8 | 0.000055 | 0.111111 | 0.000006 |
7 | 0.000339 | 0.125000 | 0.000042 |
6 | 0.001827 | 0.142857 | 0.000261 |
5 | 0.008431 | 0.166667 | 0.001405 |
4 | 0.032429 | 0.200000 | 0.006486 |
3 | 0.099786 | 0.250000 | 0.024946 |
2 | 0.230283 | 0.333333 | 0.076761 |
1 | 0.354295 | 0.500000 | 0.177148 |
0 | 0.272545 | 1.000000 | 0.272545 |
全部的 | 1.000000 | 0.559602 |
右下角的單元格顯示,您可以保留 55.96% 的資金,其餘 44.04% 將歸於那些您必須與之分享的其他獲勝者。
現在,我們的6.36億美元頭獎已降至1.891億美元 × 55.96% = 1.058億美元。讓我們看看以這個數字作為頭獎,回報表會是什麼樣子。
超級百萬大獎——1.058億美元
抓住 | 超級球 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
---|---|---|---|---|---|
5 | 是的 | 1.058億美元 | 1 | 3.86E-09 | 0.408666 |
5 | 不 | 100萬美元 | 14 | 5.41E-08 | 0.054077 |
4 | 是的 | 5,000 美元 | 350 | 1.35E-06 | 0.006760 |
4 | 不 | 500美元 | 4,900 | 0.000019 | 0.009463 |
3 | 是的 | 50美元 | 24,150 | 0.000093 | 0.004664 |
3 | 不 | 5美元 | 338,100 | 0.001306 | 0.006530 |
2 | 是的 | 5美元 | 547,400 | 0.002114 | 0.010572 |
1 | 是的 | 2美元 | 4,584,475 | 0.017708 | 0.035416 |
0 | 是的 | 1美元 | 12,103,014 | 0.046749 | 0.046749 |
失敗者 | 0美元 | 241,288,446 | 0.932008 | 0.000000 | |
全部的 | 258,890,850 | 1.000000 | 0.582898 |
右下角單元格顯示預期回報率為 58.29%。換句話說,你投資 1 美元,預期能獲得約 58 美分的回報,預期損失(或賭場優勢)約為 42%。這聽起來像是在告訴你該買彩券嗎?
文章稱,“因此,只要售出的彩票數量少於 7.3 億張(目前這種情況很有可能發生),彩票的預期價值就應該為正,因此您應該考慮今天購買一張百萬大獎彩票。”
雖然銷量遠低於7.3億,但這個數字仍然很糟糕。不過,平心而論,文章接下來還說了以下:
請記住,這項分析有很多需要注意的地方。稅收可能會嚴重影響你的預期收益——聯邦政府將收取約40%的稅款,而你的家鄉州則會收取0%到13%左右的稅款。
很多人都在買彩票,正如上文所討論的,這將大大增加平局的機率,並減少隨之而來的賠付。 」——《商業內幕》
這些都是非常重要的警告!它們不應該只是在文章末尾順便提及,而應該從一開始就納入分析之中。
不是你問的,但我發現數學告訴你永遠不要玩超級百萬彩票。考慮到彩券需求呈指數級增長,根據頭獎金額,我認為最佳投注時機是5.45億美元的頭獎。如果頭獎金額超過這個數字,你就得和太多其他中獎者分享了。在這個頭獎金額下,玩家預期回報率為60.2%,損失為39.8%。這已經是最好不過了。
最後,不,我不同意《商業內幕》用聳人聽聞的標題欺騙讀者,並且沒有對稅收和獎金分配進行適當的分析。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
超級百萬彩票中的“僅中獎”選項是否物有所值?
如果我們忽略稅收、年金對累積獎金的影響以及累積獎金分配的影響,那麼如果累積獎金超過 224,191,728 美元,您應該啟用「僅限累積獎金」選項。如果我們確實考慮了這些因素,那麼您不應該啟用“超級倍增器”,而應該啟用“超級倍增器”。
欲了解更多信息,請參閱我的“百萬大獎”彩票頁面。
Wiz,我知道你對彩票很掃興,但你能建議一個更簡單的方法把 2 美元變成 1,000,000 美元嗎?
是的。大多數樂透彩票遊戲的莊家優勢接近50%。因此,假設一場投注金額為2美元、頭獎金額為100萬美元且沒有小獎的彩票遊戲,中獎機率需要達到0.5*(2/1000000) = 百萬分之一,才能保持50%的莊家優勢。
這是我的策略,可以將 2 美元變成 1,000,000 美元,而且勝算更大。
- 首先在雙零輪盤賭中對任意數字下注 2 美元。在拉斯維加斯的一些賭場,例如埃爾科爾特斯賭場和南角賭場,最低投注額為 2 美元。如果贏了,最高可獲得 72 美元。
- 接下來,把這72美元再押註一個單號。如果贏了,你的獎金將達到2,592美元。
- 接下來,帶著這 2,592 美元去拉斯維加斯大道上的一家高端賭場,例如永利、威尼斯人或百樂宮。用你在輪盤賭中贏到的 2,592 美元在百家樂的莊家賭注上押注。一共押註九次,每次都押上全部籌碼。第九次獲勝後,你的獎金將達到 1,056,687 美元。你的第九次賭注是 541,891 美元,我敢肯定,如果這些賭場看到你當著他們的面贏了這麼多錢,他們肯定會收下這筆錢。
雙零輪盤賭中單號投注的勝率是 1/38。百家樂中莊家投注的勝率是 50.6825%,不包括平手。因此,輪盤賭中兩次勝出、莊家投註九次勝出的機率是 (1/38)^2 × 0.506825^9 = 1/654,404。這比彩券中百萬分之一的勝率高,而且你還能贏得一百多萬美元。
加州彩票中有一種叫做「熱點」的遊戲。它涉及一個隨機抽取的「靶心」球,號碼範圍從1到80。每天有300場遊戲。在五天內,同一個熱點號碼在三天內在同一日的遊戲中被抽出的機率是多少?例如,數字23在週一、週三和週五的134號遊戲中被抽出(這個數字在聖經中有什麼意義?)。
首先,我們來計算任意給定遊戲號碼,5天中剛好有3天出現相同號碼的機率。答案是 COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682。這個公式的意思是,從5天中選出3個匹配的日期的機率乘以第二天和第三天與第一天匹配的機率,乘以其他兩天不匹配的機率。
因此,對於任何給定的比賽號碼,5 天中沒有 3 場比賽的機率是 1 - 0.001523682 = 0.9984763。
300 天內不發生這種情況的機率為 0.9984763 300 = 63.29%。
因此,另一種可能性是,5 天中有 3 天至少有一個抽獎號碼與相同的靶心號碼匹配,其機率為 36.71%。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
關於彩票,在跨州彩票(強力球、超級百萬)中,是否存在一個“臨界點”,即大獎被分割的可能性大於最終只有一個中獎者的可能性?如果存在,這個「臨界點」是多少?
我不會深入討論所有的數學問題,但以下是多個獲勝者與只有一個獲勝者的可能性相同的累積獎金點:
- 強力球:9.75億美元
- 超級百萬:16.5億美元
並不是您問的,但這裡列出的是至少有一個獲勝者的機率等於沒有獲勝者的機率(50%)。
- 強力球:7.04億美元
- 超級百萬:8.67億美元
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中討論過的。
賓州現金5遊戲的損益平衡頭獎是多少?你可以忽略稅費和頭獎分成。
首先,我們來了解一下規則。投注額為2美元。遊戲規則是,從43個球中抽出5個球。賠率表如下:
- 第 5 場比賽 = 大獎
- 數學 4 = 200 美元
- 第三場比賽 = 10 美元
- 第二場比賽 = 2 美元
此外,玩家還會拿到一張刮刮卡,我猜是一張刮刮卡。這張卡有 1/80 的機率支付 6 美元,1/5 的機率支付 2 美元。
下表是我對基礎遊戲的分析。結果顯示,中2到4個號碼的價值為0.287784美元。
現金 5 回饋表
抓住 | 支付 | 組合 | 可能性 | 返回 |
---|---|---|---|---|
5 | 大獎 | 1 | 0.000001 | ? |
4 | 200 | 190 | 0.000197 | 0.039477 |
3 | 10 | 7030 | 0.007303 | 0.073032 |
2 | 2 | 84360 | 0.087638 | 0.175276 |
1 | 0 | 369075 | 0.383416 | 0.000000 |
0 | 0 | 501942 | 0.521445 | 0.000000 |
全部的 | 0 | 962598 | 1.000000 | 0.287784 |
下表展示了我對「快速現金」即時贏取功能的分析。右下角單元格顯示的價值為 0.475 美元。
即時現金回饋表
抓住 | 支付 | 可能性 | 返回 |
---|---|---|---|
6 | 1 | 0.012500 | 0.075000 |
2 | 16 | 0.200000 | 0.400000 |
0 | 63 | 0.787500 | 0.000000 |
全部的 | 80 | 1.000000 | 0.475000 |
因此,非累積獎金的價值為 0.287784 美元 + 0.475000 美元 = 0.762784 美元。
設 j 等於損益兩平的累積獎金金額。則:
2 = 0.762784 + j × (1/962598)
1.237216 = j × (1/962598)
j = 1.237216 × 962598
j = 1,190,941.95 美元。
總回報率為 0.381392,加上每 100,000 美元大獎的 0.051943。
正如問題中所述,所有這些都忽略了稅收和獎金分享。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
你建議買彩券時追求價值,真是糟透了!你顯然不明白,彩券玩家不在乎中獎機率或價值,只想有機會,哪怕只是一點點,中大獎就好,根本不在乎小獎。
我對所有形式的賭博的建議都是基於最大化玩家的預期回報。在我25年的賭博分析生涯中,這個策略一直讓我受益匪淺,而你是第一個因此攻擊我的人。
然而,我始終樂於考慮其他觀點。為此,我們假設一位玩家對刺激性和價值同樣在意。這位玩家不會滿足於低波動性的遊戲,而是渴望贏得所有賭注,否則就輸掉比賽。為了量化此類玩家的任何特定下注,我創建了一個統計數據,我稱之為「刺激商數」。我將其定義為標準差與風險因素的比率。提醒一下,風險因素是玩家預期損失與牌局結束時平均下注金額(包括後續下注,例如二十一點中的加倍和撲克變體中的加註)的比率。
下表按從高到低的順序列出了各種賭場遊戲和投注的刺激指數。它確實表明,對於追求刺激的玩家來說,超級百萬彩票能提供最刺激的投注體驗。
興奮商數
遊戲 | 賭注 | 標準 偏差 | 元素 風險 | 激動 商 |
---|---|---|---|---|
超百萬 | 4000萬大獎,無Megaplier* | 1158.38 | 0.8104 | 1429.38 |
視訊撲克 | 25-15-9 雙鬼牌 | 5.06 | 0.0109 | 465.68 |
視頻基諾 | Pick-8 點基諾:2,12,98,1652,10000 賠付表 | 29.96 | 0.0769 | 389.56 |
二十一點 | 寬鬆的低極限規則** | 1.15 | 0.0049 | 236.60 |
輪盤賭 | 雙零遊戲,單數字投注 | 5.76 | 0.0526 | 109.49 |
百家樂 | 莊家下注 | 0.93 | 0.0106 | 87.74 |
擲骰子 | 透過線 | 1.00 | 0.0141 | 70.71 |
牌九撲克 | 莊家莊家,房子方式 | 0.75 | 0.0272 | 27.57 |
輪盤賭 | 雙零遊戲,等額賭注 | 1.00 | 0.0526 | 18.97 |
*:百萬大獎的賠率不考慮年金或稅金。
**:二十一點假設有六副牌,二十一點賠率為 3-2,莊家拿到軟 17,允許分牌後加倍,允許投降,允許重新分牌 A。
感謝您的評論和侮辱。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。