擲雙骰 - 可能性

這就是所謂的3-4-5倍賠率，現在相當常見。下表列出了所有可能的結果，包括過關賠率和賠率的組合，以及完整賠率。

每位玩家平均擲骰次數為8.525510次。要了解擲骰次數剛好為2到200次的機率，請參閱我的「擲骰子生存機率」頁面。

在確定的 100 點中，平均 41.67 分是針對 6 或 8，33.33 分是針對 5 或 9，25.00 分是針對 4 或 10。您可以預期平均 6 或 8 可獲得 18.94 分，5 或 9 可獲得 13.33 分，4 或 10 可獲得 8.33 分。

好吧，誰都會犯錯，但擲骰子這種遊戲很容易用數學方法分析，所以我非常有信心我的賠率是正確的。沒錯，賭博是我的全職自由業。過去幾年我去過大西洋城很多次，但兩個月前我搬到了拉斯維加斯。所以，恐怕以後不會再常光顧大西洋城了。我更喜歡盡可能地使用組合方法，而不是隨機模擬。無論如何，我都會用 Visual C++ 來寫自己的軟體。對於隨機數，我使用梅森旋轉演算法 (Mersenne Twister) 。

謝謝您的讚賞。以下是我的回答。

1. 如果我們把賭場優勢定義為每筆未結算賭注的預期損失（不包括平局），那麼「不過線」的賭場優勢將是1.40%，略低於「過線」賭注的1.41%。如果玩家可以在「不過線」這邊下更多賭注（這種情況在現實賭場中很常見，但在網路賭場中則不然），那麼，允許的賠率倍數越大，綜合賭場優勢就越有利於「不過線」這邊。

2. 假設玩家在擲出come out時保持賠率不變，那麼即使玩家增加come下注（以賠率作為支撐），整體賭場優勢也不會改變。然而，如果玩家保持off賠率不變（這是預設規則），那麼增加come下注實際上會略微提高整體賭場優勢。

不用客氣，謝謝你的讚美。擲骰子 n 次，每次擲不出 7，然後擲出 7 的機率是 (5/6) ⁿ *(1/6)。擲出 n 次非 7 且未指定下一次擲骰子的機率是 (5/6) ⁿ 。因此，擲骰子至少 4 次，每次擲不出 7 的機率是 (5/6) ⁴ =625/1296=0.4823。

以下是透過/來投注的可能結果及其相關機率：

• 玩家獲勝率：22.22%
• 玩家擲出點數時輸掉：11.11%
• 玩家贏得點數：27.07%
• 玩家因點數失敗：39.60%

因此，玩家每擲 3.7 次就會贏得約 1 分。

這個問題問得好。顯然，順勢而為比逆勢而行更有趣。問題是，為什麼觀眾偏愛通過線？也許這只是傳統。也許當人們剛開始在私人遊戲中玩擲骰子遊戲時，不通過線條甚至不是選項。

好問題。讓我們以單位來思考這個問題，而不是100美元的賭注。你總是會在pass或come上押注。在任何一次擲骰中，4上出現之前的pass或come押注的機率是3/9。這是透過回顧先前的擲骰結果，在7之前先出現4的機率。同樣，5上押注的機率是4/10，6上押注的機率是5/11。因此，平均總賭注為1+pr(4)+pr(5)+pr(6)+pr(8)+pr(9)+pr(10) = 1+3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758個單位。這個平均值在你剛開始遊戲時並不成立。只有在所有點數和7至少擲出一次之後，它才適用。

硬4投注的獲勝機率是1/9。因此，連續贏四次的機率是(1/9) ⁴ = 1/6561。

好問題。對於那些不明白這個問題的人來說，除非另有要求，否則，come out 投注的賠率在 come out 擲骰中無效。因此，如果玩家在 come out 擲骰中擲出 7，則所有 come 投注都將輸，come 投注的賠率將被退回。同樣，如果玩家在 come 投注中擲出的點數在 come out 擲骰中也成立，則 come 投注將獲勝，但賠率將保持不變。答案取決於我們如何定義賭場優勢。如果我們將其定義為預期損失與總投注的比率，那麼關閉賠率就無關緊要了。這是因為玩家仍在投注賠率，即使最終返回的賠率保持不變，也仍然算作投注。但是，如果將賭場優勢定義為已結算投注的預期損失，那麼關閉 come out 擲骰的賠率確實會增加賭場優勢。我編寫了一個電腦模擬程式來驗證這種影響。假設玩家選擇五倍賠率，那麼關閉「come out」擲骰的賠率，會導致輸家佔總投注額的比例從0.326%上升到0.377%，也就是增加了0.051%。所以，如果你想最大化投注回報，最好啟用這些「come out」賠率。

我向你保證，這只是巧合。擲骰子遊戲的莊家優勢是7/495，根據定義，它肯定是個有理數。事實上，我認為所有賭場遊戲的莊家優勢都一定是個有理數，因為所有遊戲的可能結果數量都是有限的，導致莊家優勢是一個完美的分數。 2不是完美的平方數，因此根據定義，2的平方根肯定是無理數。因此，這兩個數字不可能相等。具體來說，100美元的過線投注的莊家優勢是1.41414141……2的平方根是1.4142135623731……

謝謝你的讚美。我建議玩比洞賽。我敢肯定那100美元的老虎機遊戲是在專門指定的機器上玩的。從傳聞來看，我認為這些免費老虎機非常吝嗇，回報率設定在25%左右。比洞賽的價值大約是48美分。我建議擲骰子時押注不及格。我之所以比二十一點更偏愛不及格，是因為二十一點的勝率較低，從而降低了比洞賽的價值。更多解釋，請參考我2001年10月30日的專欄文章。

好問題。為了驗證他們的計算，我做了下表，基於一個賠率為3比1的場地投注，點數為12。右下角的單元格確實顯示，22美元的投注預期損失為25美分。所以，賭場優勢確實是0.25/22 = 1.136%。

整體賭場優勢看起來小於每次單獨下注的賭場優勢的原因在於，位置下注的賭場優勢通常以每次下注的預期玩家損失來衡量。

然而，在這種情況下，玩家只需在一次投擲中保留位置注。這顯著降低了位置注的賭場優勢，5 和 9 的賭場優勢從 4.00% 降至 1.11%，6 和 8 的賭場優勢從 1.52% 降至 0.46%。

對於那些認為我根據已解決的賭注（或忽略平局）來衡量場地賭注的莊家優勢不一致的純粹主義者，我邀請您訪問我的擲骰子附錄 2，其中所有擲骰子賭注都是按每次擲骰子來衡量的（包括平局）。

首先，如果某個事件的機率為 p，那麼該事件發生的預期試驗次數為 1/p。我們假設 x 為每位投擲者的預期投擲次數。任何給定回合以一次投擲結束（擲出 2、3、7、11 或 12）的機率為 1/3。如果玩家在 come out 擲骰中擲出 4 或 10，則預期額外投擲次數為 4，因為擲出 4 或 7 的機率為 (6+3)/36 = 1/4。同樣，如果玩家在 come out 擲骰中擲出 5 或 9，則預期額外投擲次數為 3.6，擲出 6 或 8 的機率為 36/11。假設投出一個點數，擲出 4 或 10 的機率為 3/12，擲出 5 或 9 的機率為 4/12，擲出 6 或 8 的機率為 5/12。因此，每輪預期投擲次數為 1+(2/3)*((3/12)*4 + (4/12)*3.6 + (5/12)*(36/11)) = 3.375758。接下來，玩家擲出七點的機率為 (2/3)*((3/12)*(2/3) + (4/12)*(3/5) + (5/12)*(6/11)) = 0.39596。玩家擲不出七點的機率為 1 - 0.39596 = 0.60404。所以…

x = 3.375758 + 0.60404*x
0.39596*x = 3.375758
x = 8.52551

仍然有一些視訊撲克遊戲，只要策略得當，賠率就能超過 100%。我還在拉斯維加斯的 Fiesta Rancho 和 Slots-a-Fun 賭場看到一場二十一點遊戲，玩家可以用基本策略贏錢。正如我在體育博彩專欄中提到的，在 NFL 主場對陣讓分時，押注弱隊也曾獲得歷史性的優勢。所以，100 倍賠率的擲骰子遊戲仍然是最好的選擇之一，但並非最佳。沒錯，0.014% 意味著每下注 100 美元，平均損失 1.4 美分。

我同意這是個非常糟糕的決定，也是荷官給的糟糕建議。一旦擲出6點或8點，玩家在不通過或不來投注中的利潤率是(6/11)*1 + (5/11)*-1 = 1/11 = 9.09%。 「不採取行動」就等於用它換取一個賭場利潤率為1.36%的投注。所以這個決定會讓玩家損失10.45%。對於任何鼓勵這種做法的荷官，我都說你們太可恥了。

下表顯示莊家優勢為 5.56%。

數字「7」越少，過線投注的賠率就越高。下表顯示了根據「7」的百分比得出的賭場優勢，假設所有其他數字的機率與公平機率成正比。

我經常收到關於擲骰子賭注組合的問題。通常我不會回答，但當你稱呼我為「偉大而強大的巫師」時，你得到回應的幾率會大大提高。你的錯誤在於，兩個賭注並不總是會得到解決。當你贏了6或8時，你就放棄了另一個賭注，這降低了預期損失，因為你的賭注減少了。所以你的計算是正確的，但你只是在比較蘋果和橘子。

你說得對，單憑骰子無法決定擲骰子的結果。有很多方法可以用紙牌代替骰子，並且賠率保持不變。一種方法是使用兩副獨立的牌，這樣就不會受到移除的影響。另一種方法是使用一副七張牌的牌，包含1到6的數字，再加上一張「雙倍」牌。抽出的第一張牌永遠不可能是雙倍牌。如果是，則將其放回原位，然後從頭開始重複這個過程。如果第二次抽出的是雙倍牌，則其賠率與第一次抽出的數字相同。無論賭場如何操作，我從未見過確鑿的證據證明賠率與使用兩副骰子時不同。所以我認為你遺漏了規則中的某些內容。

是的，我曾經錄過一個故事，講的是內華達大學拉斯維加斯分校（UNLV）的一些兄弟會成員試圖把1000美元變成5000美元，用來買一台高端電視。他們向我諮詢如何快速實現這個目標。我當時只能玩金塊賭場（Golden Nugget）的遊戲。金塊賭場的擲骰子賠率是10倍，我覺得給了我實現目標的機會。我的策略是，每次擲骰子時，我都會下注最小值（資金/11，（5000-資金）/21），然後進行四捨五入，最後選擇最大賠率。這樣，即使贏了4或10，我們的資金也不會超過5000美元，而且總有足夠的資金來選擇最大賠率，如果沒有足夠的資金達到5000美元，我們就會冒最大的風險。

第一次下注，這個公式要求過線投注90.91美元，但我把它湊整成了100美元。然後擲出了一個點，我想是6或8。第二次擲出7點，擲骰子的人擲出了7。所以，兩輪下來，一千美元就輸光了。這顯然不適合拍成電視劇，而且這個故事也從未播出過。

我可以預料到他們會問兩個問題：(1) 為什麼我讓他們押過關而不是不過關；(2) 為什麼我不自己掏腰包，在賠率上押91美元，在底線下押910美元。回答第一個問題，我認為為了快速贏大錢，過關線更好。雖然不過關的整體賭場優勢較小，但我覺得要達到5000美元的目標，需要擲更多次，因此需要更多資金承受賭場優勢。回答第二個問題，9倍賠率和10倍賠率之間差別不大，我認為在電視上只押黑色籌碼會更好，至少一開始是這樣。

正如我的二十一點部分所示，二十一點的2比1賠率價值2.27%，三張牌加倍的賠率價值0.23%。除此之外，規則看起來很標準。綜合考慮，二十一點遊戲中的莊家優勢是玩家優勢的2.1%。擲骰子遊戲中，4點或10點獲勝的機率是(6/36)×(3/9) = 5.56%。每次出現這種情況，你都會獲得一個額外的單位，因此價值5.56%。通常情況下，來注的莊家優勢是1.41%，因此，根據此規則，玩家優勢總體為4.15%。所以我同意擲骰子是更好的遊戲。

我不知道無骰子遊戲（Crapless Craps）有買入投注。下表顯示了位置投注和買入投注的賭場優勢（假設獎金不進行四捨五入）。以你舉的2或12的買入投注為例，投注30美元，獎金為6*30美元-1美元=179美元。因此預期回報為[(1/7)*179美元+(6/7)*-30美元]/30美元=-0.0048，非常接近。

如此嚴格地限制莊家的投注額，實在是太難了。 2美元的賭注，賭場優勢會上升到29.02%，5美元的賭注，賭場優勢則會上升到41.94%。

從我對Fire Bet的分析可以看出，投籃者投進全部6分的機率為0.000162435。因此，每位投籃者的促銷價值為4,000美元×0.000162435 = 0.649739。

下一個要問的問題是，每位玩家的預期損失是多少。過線投注的賭場優勢是 7/495 = 1.414141%。棘手的是，每位玩家平均會在過線投注中下注多少次。

投擲者可能處於四種狀態。我們將每一種狀態定義為該投擲者未來透過線投注的預期次數。

• A = 出來滾動
• B = 得分 4 分或 10 分
• C = 得分 5 或 9
• D = 得分 6 或 8

以下方程式顯示了每個狀態導致下一個狀態的機率。

A = 1 + (12/36)*A + (6/36)*B + (8/36)*C + (10/36)*D
B = (1/3)*A
C = (2/5)*A
D = (5/11)*A

簡單計算一下，就會得到 A = 2.525510，也就是每個投擲者投注的通過線次數。

因此，每個 5 美元射擊者的預期損失為 5 美元*2.525510*0.0141414 = 0.178571。

投擲者預期下注金額為 5 美元*2.525510=12.627551 美元。

最後，預期報酬等於預期贏利除以預期投注：(0.649739-0.178571)/12.627551 = 3.73127%。因此，賭場優勢為-3.73%。

是的，每次擲出雙倍的機率都是 1/36。但是，你必須將其與擲出輸掉組合的機率進行比較。對於硬四，有 8 次擲出輸掉（1-6、2-5、3-4 和 1-3 各兩次），因此獲勝的機率是 1/9。對於硬六，有 10 次擲出輸掉（1-6、2-5、3-4、1-5 和 2-4 各兩次），因此獲勝的機率是 1/11。硬六的賠率更高，因為獲勝的機率更低。

在無骰子擲骰子遊戲中，3 和 11 的賠率為 11 比 4。使用相同的公式，t=3，a=2.75，因此莊家優勢為 0.25/4 = 6.25%。

如果我們忽略賭場優勢（如果玩得好，賭場優勢在擲骰子遊戲中非常低），那麼贏 500 美元而不是輸 1000 美元的機率是 2/3。那麼 5 次遊戲贏 4 次的機率就是 5×(2/3) ⁴ ×(1/3) = 32.9%。

擲出 7 的機率是 1/6，擲出 12 的機率是 1/36。假設擲出的點數為 7 或 12，擲出 7 的機率為 (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7。因此，前六次擲出 6 或 12 時，每次都是 6 的機率為 (6/7) ⁶ = 39.66%。

如果你把問題改寫成在擲出12之前擲出五個6的機率是多少，那麼答案是(6/7) ⁵ = 46.27%。若擲出四次，答案是(6/7) ⁴ = 53.98%。所以，在擲出12之前，不存在任何剛好50/50的7。如果你想賭一把，建議你要麼在擲出12之前擲出四個7，要麼在擲出五個7之前擲出一個12。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

此時，在 come out roll 中可能會出現三種結果。

1. 七出局。
2. 重複已經提出的觀點（4 至 9）。
3. 在 come out roll 上擲出 10，然後成功。

我們只需要量化第二和第三個機率。投籃者最終會得分，然後最終投進一分或七分出局。得分為4比9的機率是：

（3/24）×（3/9）+（4/24）×（4/10）+（5/24）×（5/11）+（5/24）×（5/11）+（4/24）×（4/10）= 0.364394。

建立 10 分並取得成功的機率為 (3/24)*(1/3) = 0.041667。

設 p 為七局出局前拿 10 分的機率。如果玩家拿到其他分，則回到起始點。所以…

p = 0.364394 × p + 0.041667
p × (1-0.364394) = 0.041667
p = 0.041667/(1-0.364394)
p = 0.065554

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

假設一個點數已經確定，投球者投中該點數的機率為 pr(點數為 4 或 10) × pr(投中 4 或 10) + pr(點數為 5 或 9) × pr(投中 5 或 9) + pr(點數為 6 或 8) × pr(184) +/842) +/24 × +/24) (24) × 24) (684) × +/82) × 24 (4/10) + (10/24) × (5/11) = 201/495 = 0.406061。

如果某個事件發生的機率為 p，那麼該事件在失敗前發生的預期次數為 p/(1-p)。因此，每位射手的預期得分為 0.406061/(1-0.406061) = 0.683673。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

這個問題是在 TwoPlusTwo.com 上提出的， BruceZ給了正確的答案。以下解答與 BruceZ 的方法相同，值得稱讚。答案比較難，請仔細閱讀。

1. 首先，考慮預期擲出 2 點的次數。擲出 2 點的機率是 1/36，所以平均需要擲 36 次才能擲出第一個 2 點。

2. 接下來，考慮同時擲出 2 和 3 的預期次數。我們已經知道，平均需要擲 36 次才能擲出 2。如果在等待 2 的過程中擲出了 3，那麼就不需要再擲 3 了。然而，如果沒有，就需要擲更多次才能擲出 3。

   擲出三的機率是 1/18，所以如果先擲出二，平均需要額外擲 18 次才能擲出三。假設擲出二的方法只有一種，擲出三的方法有兩種，那麼先擲出二的機率是 1/(1+2) = 1/3。

   所以，有1/3的機率我們需要額外擲18次才能擲出3。因此，同時擲出2和3的預期次數為36+(1/3)×18 = 42。

3. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出4。如果你擲出2和3的時候還沒有擲出4，那麼平均下來還需要擲12次才能擲出1次。這是因為擲出4的機率是1/12。

   那麼，先得到四，再得到二和三的機率是多少呢？首先，讓我們回顧一下當 A 和 B 不互斥時的一個常見機率規則：

   pr(A 或 B) = pr(A) + pr(B) - pr(A 和 B)

   你減去 pr(A 和 B)，因為這個偶然性在 pr(A) + pr(B) 中被重複計算了。所以，

   pr(2 或 3 之前 4) = pr(2 之前 4) + pr(3 之前 4) - pr(2 和 3 之前 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   在擲出2和3的過程中，沒有擲出4的機率是1.0 - 0.85 = 0.15。因此，需要額外擲12次的機率為15%。因此，擲出2、3和4的預期次數為42 + 0.15*12 = 43.8。

4. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出5。當你擲出2到4的時候，如果你還沒有擲出5，那麼平均來說，你需要再擲9次才能擲出1，因為擲出5的機率是4/36 = 1/9。

   在得到2、3或4之前得到5的機率是多少？一般規則是：

   pr (A 或 B 或 C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A 和 B) - pr(A 和 C) - pr(B 和 C) + pr(A 和 B 和 C)

   因此，pr(2 或 3 或 4 之前 5) = pr(2 之前 5)+pr(3 之前 5)+pr(4 之前 5)-pr(2 和 3 之前 5)-pr(2 和 4 之前 5)-pr(3 和 4 之前 5)+pr(2、3 和 4 之前 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90。從 2 到 4 的過程中沒有擲出 4 的機率是 1 - 83/90 = 7/90。因此，有 7.78% 的可能性需要額外擲 7.2 次。因此，擲出 2、3、4 和 5 的預期次數是 43.8 + (7/90)*9 = 44.5。

5. 繼續用同樣的邏輯，計算總數從 6 到 12 的機率。每次計算下一個數字作為最後一個數字之前的機率時，所需的計算次數大約翻倍。當總數達到 12 時，你將需要進行 1,023 次計算。

   這是 pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) 的一般規則

   pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A 和 B) - pr(A 和 C) - ... - pr(Y 和 Z) 減去兩個事件的每種組合的機率
   + pr (A and B and C) + pr(A and B and D) + ... + pr(X and Y and Z) 將三個事件的每種組合的機率相加
   - pr (A 和 B 和 C 和 D) - pr(A 和 B 和 C 和 E) - ... - pr(W 和 X 和 Y 和 Z) 減去四個事件的每種組合的機率

   然後不斷重複，記住奇數事件的機率加起來，偶數事件的機率減去。對於大量可能發生的事件，這顯然會變得繁瑣，實際上需要電子表格或電腦程式。

下表顯示了每一步的預期點數。例如，擲出 2 需要擲 36 點，擲出 2 和 3 需要擲 42 點。右下角單元格顯示擲出全部 11 個點數的預期次數為 61.217385。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

在61次投擲中，預期出現7的次數為61×(1/6) = 10.17。你擲出了14次。恰好出現14次7的機率為7.96%，出現14次或更多7的機率為12.77%。所以，這沒什麼不尋常的。我還對每次投擲都做了卡方檢定。我知道對這麼小的樣本進行卡方檢定不太合理，所以對結果持保留態度。結果如下：

右下角儲存格顯示卡方統計量為 8.70。自由度為 10 時，達到該值或更高的機率為 56.09%。這些結果接近鐘形曲線的峰值，因此賭場輕鬆通過了卡方隨機性檢定。

答案是 219.149467。

我能想到兩種解決這個問題的方法。第一種是使用馬可夫鏈。下表顯示了在128種可能狀態下，任意給定一個狀態所需的預期擲骰結果。

簡而言之，任何給定狀態的預期擲骰次數是直到得分或失分（5.063636）的預期擲骰次數加上玩家前進到下一個狀態的預期擲骰次數，再除以不前進的機率。

另一種方法是使用積分。首先計算每種可能結果的預期擲骰次數。然後將每個結果的機率與平均擲骰次數進行點積，得到解決過關投注的平均擲骰次數，右下角顯示的結果是 3.375758 = 557/165。

從那裡我們可以得到任何給定點獲勝之間的預期結果：

• 在 4 點之間擲骰子獲勝 = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = 約 121.527273。
• 在 5 點之間擲骰子獲勝 = (4/36)*(4/10)*4.6*(557/165) = 1671/21 = 約 75.954545。
• 在 6 點之間滾動獲勝 = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = 約 53.472。

10、9 和 8 分獲勝者的預期擲點數分別與 4、5 和 6 分獲勝者的預期擲點數相同。

假設點數為 4 的獲勝者不是離散發生的，而是服從平均值為 6684/55 的指數分佈。此隨機變數持續 x 個單位時間而不發生的機率為 exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684)。

它在 x 個時間單位內至少發生一次的機率是 1-exp(-55x/6684)。

如果我們將這六個點表示為連續變量，那麼這六個點在 x 個時間單位內發生的機率是 (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。

六個事件中至少有一個事件在 x 個時間單位內沒有發生的機率是 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2。

將上述內容從 0 積分到無窮大，我們可以得到所有六個事件發生的預期時間。

使用此積分計算器可得出答案 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = apx 219.1494672902。

這為何有效很難解釋，所以請相信這一點。

這項可怕的規則將使賭場優勢從 1.41% 增加到 33.26%。

首先，讓我們在表格中新增一列來顯示每個總數的預期結果（假設完全隨機的擲骰）。

您沒有問我如何分析數據，所以我會用幾種不同的方式來分析。

卡方檢定的卡方統計量為 21.43009，自由度為 10。數據出現這種或以上偏斜的機率為 1.83%。

僅看您提到的目標內線號碼，實際完成的總數為 12,802，而預期總數為 25,227 × (2/3) = 12613.5。內線號碼超出預期 2.52 個標準差。出現此類超出或超過預期的機率為 0.59%。

我忍不住注意到了七點的缺失。在25,227次投擲中，預期七點數為25,227 × (1/6) = 4204.5。投擲者實際擲出了3,963個七點。這比預期值低了4.08個標準差。出現這種偏差的機率是0.0000225，也就是44,392分之一。

不過，我必須說，查看歷史數據通常很容易發現一些可疑之處。不過，對於骰子影響者來說，避免擲出「7」本身就是一個目標。

測試投擲者是否能夠影響骰子的科學方法是在收集數據之前說明目標。