擲雙骰 - 骰子和滾動

然後進行修改，使一個骰子的每一面都是六，而另一個骰子的每一面都是一和五。

謝謝你的讚美。不，我認為在其他條件相同的情況下，這種一廂情願的想法在賭場裡沒什麼用。

關於骰子影響力的問題一直備受爭議。我個人對此持懷疑態度。當我在2013年回顧這篇回應時，我仍然沒有看到令人信服的證據，表明有人能夠施加足夠的影響力來獲得優勢。

我對此非常懷疑。我在我的擲骰子附錄3中回顧了一些關於這個主題的實驗。

我不相信。到目前為止，我還沒看到任何我尊敬的人支持這種方法，也沒有任何證據表明它有效。雖然我不完全排除這種可能性，但我對此非常懷疑。我雖然住在內華達州，但說到像骰子設定這樣的事情，我來自密蘇裡州，「給我看看」它是否有效。

對於普通骰子，例如你在棋盤遊戲中得到的骰子，確實如此。然而，賭場骰子上鑲嵌著點。他們在工廠裡為這些點鑽孔，然後將白色點嵌入孔中，這些點的密度與骰子本身相同。所以骰子本質上是一個完美的立方體。即使他們使用普通的棋盤遊戲骰子，我也懷疑這種偏差是否足以克服賭場優勢。

我認為不存在天生擲骰子能力差的人。除了少數專業玩家外，所有擲骰子都可以被認為是真正隨機的。有一些研討會教你如何透過進動擲骰子來克服賭場優勢，但我既不贊成也不反對這種做法。我還沒有看到足夠的證據來證明這一點。

我把1800美元輸給了另一位賭博作家，而不是史丹佛。我本來希望擲出更多骰子，但顯然時間有限。假設每分鐘擲一次，擲50000次骰子需要34.7天。 500次不是我決定的，但這似乎是在大樣本量和時間之間做出的合理妥協。你說得對，500次太少了，不足以充分說明影響骰子行為的合理性，但500次總比零次好。

對於大量投擲，我們可以使用高斯曲線近似。 655次投擲中，預期出現7的次數為655 × (1/6) = 109.1667。變異數為655 × (1/6) × (5/6) = 90.9722。標準差為sqr(90.9722) = 9.5379。您的78次投擲結果比預期值低109.1667 − 78 = 31.1667。這相當於(31.1667 - 0.5)/9.5379 = 3.22個標準差。低於預期值3.22個或更多標準差的機率為0.000641，即1/1560。我在Excel中使用公式normsdist(-3.22)得出了這個數字。

謝謝你的讚美。你不應該說投擲結果非隨機的機率是p。應該這樣表述：一場隨機遊戲產生這種結果的機率是p。沒人指望500次投擲就能證明或反駁任何事情。我並沒有把79.5個7的點數定為79.5，但我懷疑這個點數是否具有統計意義；相反，我懷疑這是一個雙方都會同意下注的點。

2.5% 的顯著水準是與預期值相差 1.96 個標準差。這可以在 Excel 中使用公式 =normsinv(0.025) 計算得出。 500 次投擲的標準差為 sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8.333。因此，1.96 個標準差等於 1.96 * 8.333 = 16.333 次，比預期值低。 500 次投擲中出現七的預期次數為 500*(1/6) = 83.333。因此，比預期值低 1.96 個標準差等於 83.333 − 16.333 = 67。使用二項分佈檢驗，出現 67 次或更少七的準確機率為 2.627%。

信心的建立沒有明確的標準，關鍵在於程度。首先，我會問測試的目的是什麼，以及射手對結果的估計。任何測試都可能出現兩種錯誤。一個熟練的射手可能會因為運氣不好而失敗，或者一個隨機的射手可能會因為運氣好而通過。在這兩種情況下，我更傾向於避免假陽性。我認為合理的測試應該將假陰性的機率設定在5%左右，將假陽性的機率設定在1%左右。

例如，假設索賠人聲稱他平均每擲七次骰子就能擲出一個七。而隨機擲骰子的人平均每擲六次就能擲一個七。透過反覆試驗，我發現，要同時滿足這兩個條件，測試需要擲骰子3600次，並且需要547個或更少的七才能通過，或者每6.58次擲出一個七。

一位七分之一的射手平均應該可以打出514.3個七分，標準差為21.00。使用高斯近似，這位技術嫻熟的射手投出548個或更多七分（假陰性）的機率為5.7%。一位隨機射手平均應該可以打出600個七分，標準差為22.36。一位隨機射手通過測試（假陽性）的機率為0.94%。下圖顯示了技術嫻熟和隨機射手的可能結果。如果結果在綠線左側，那麼我認為該射手通過了測試，我會押注他獲勝。

實際的難題是，如果我們假設每分鐘投擲兩次，那麼進行測試將需要30個小時。或許我可以更自由地設定顯著性水平，以減少時間要求，但結果可能不那麼令人信服。我確實認為，現在是時候進行比500次投擲的黃氏實驗更大規模的測試了。

首先，她總共擲了 154 次骰子，第 154 次擲出了 7（ 來源：NJ.com ）。但是，這並不意味著她在前 153 次擲骰子中從未擲過 7。她可以在 come out 擲骰子時擲出很多 7。正如我在2003 年 5 月 3 日的專欄中指出的那樣，擲到第 154 次的機率是 56 億分之一。贏得超級百萬大獎的機率是 1 / (56,5)*46 = 175,711,536。因此，擲 154 次或更多的難度大約是 32 倍。如果有足夠的時間和表格（我認為是存在的），這樣的事情遲早會發生。所以，我不會懷疑有人作弊。我粗略估計這種情況在任何一年發生的機率約為 1%。

另請參閱我在mathproblems.info上以矩陣表示的解決方案，問題 204。

7.7%。

卡方檢定非常適合這類問題。要使用該檢驗，對每個類別取 (ae) ² /e，其中 a 是實際結果，e 是預期結果。例如，投擲 244 次，總點數為 2 的預期次數為 244×(1/36) = 6.777778。如果您不明白為什麼投擲 2 的機率是 1/36，請閱讀我的骰子機率基礎知識頁面。總點數為 2 的卡方值，a=6，e=6.777778，因此 (ae) ² /e = (6-6.777778) ² /6.777778 = 0.089253802。

卡方結果

骰子總數	觀察	預期的	卡方檢定
2	6	6.777778	0.089253
3	12	13.555556	0.178506
4	14	20.333333	1.972678
5	18	27.111111	3.061931
6	23	33.888889	3.498725
7	50	40.666667	2.142077
8	三十六	33.888889	0.131512
9	三十七	27.111111	3.607013
10	二十七	20.333333	2.185792
11	14	13.555556	0.014572
12	7	6.777778	0.007286
全部的	244	244	16.889344

然後對卡方列求和。在本例中，和為 16.889344。這稱為卡方統計量。 「自由度」的數量比資料中的類別數少 1，在本例中為 11-1=10。最後，在統計表中找出 10.52 的卡方統計量，自由度為 10，或在 Excel 中使用公式 =chidist(16.889344,10)。這兩種方法都會得到 7.7% 的結果。這意味著公平骰子產生如此或更大偏差結果的機率是 7.7%。總而言之，雖然這些結果的偏差程度比預期的要大，但還沒有嚴重到引起人們的懷疑。如果您繼續進行此測試，我建議收集每個骰子的結果，而不是總和。另外要注意的是，如果某一類別的預期結果數量較低，則卡方檢定並不適用。最低預期值5是常見的數字。

是否判定為有效擲骰取決於您所在地區。新澤西州博彩法規 19:47-1.9(a) 規定：

當其中一個或兩個骰子離開桌面，或一個骰子停在另一個骰子上面時，擲骰子無效。 ——新澤西州 19:47-1.9(a)

賓州有完全相同的規定， 即第 537.9(a) 條：

當其中一個或兩個骰子離開桌面，或一個骰子停在另一個骰子上面時，擲骰子無效。 ——PA 537.9(a)

我問過一位拉斯維加斯的骰子荷官，他說如果擲骰子的結果在其他方面都正確，那麼這就算有效擲骰。雖然他從未見過這種情況，但他表示，如果真的發生了，荷官會簡單地移動頂部骰子，看看底部骰子落在哪個數字上。然而，人們可以在不觸碰或查看頂部骰子的情況下判斷底部骰子的結果。方法如下。首先，透過觀察骰子的四個面，你可以將前面兩種可能性縮小到兩種。以下是如何根據這三種可能性來判斷。

• 1 或 6：尋找 3。若高點與 5 相鄰，則 1 位於上方。否則，如果高點與 2 相鄰，則 6 位於上方。
• 2 或 5：尋找 3。若高點與 6 相鄰，則 2 位於上方。否則，如果高點與 1 相鄰，則 5 位於上方。
• 3 或 4：尋找 2。如果高點與 6 相鄰，則 3 位於上方。否則，如果高點與 1 相鄰，則 4 位於上方。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

這個問題是在 TwoPlusTwo.com 上提出的， BruceZ給了正確的答案。以下解答與 BruceZ 的方法相同，值得稱讚。答案比較難，請仔細閱讀。

1. 首先，考慮預期擲出 2 點的次數。擲出 2 點的機率是 1/36，所以平均需要擲 36 次才能擲出第一個 2 點。

2. 接下來，考慮同時擲出 2 和 3 的預期次數。我們已經知道，平均需要擲 36 次才能擲出 2。如果在等待 2 的過程中擲出了 3，那麼就不需要再擲 3 了。然而，如果沒有，就需要擲更多次才能擲出 3。

   擲出三的機率是 1/18，所以如果先擲出二，平均需要額外擲 18 次才能擲出三。假設擲出二的方法只有一種，擲出三的方法有兩種，那麼先擲出二的機率是 1/(1+2) = 1/3。

   所以，有1/3的機率我們需要額外擲18次才能擲出3。因此，同時擲出2和3的預期次數為36+(1/3)×18 = 42。

3. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出4。如果你擲出2和3的時候還沒有擲出4，那麼平均下來還需要擲12次才能擲出1次。這是因為擲出4的機率是1/12。

   那麼，先得到四，再得到二和三的機率是多少呢？首先，讓我們回顧一下當 A 和 B 不互斥時的一個常見機率規則：

   pr(A 或 B) = pr(A) + pr(B) - pr(A 和 B)

   你減去 pr(A 和 B)，因為這個偶然性在 pr(A) + pr(B) 中被重複計算了。所以，

   pr(2 或 3 之前 4) = pr(2 之前 4) + pr(3 之前 4) - pr(2 和 3 之前 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85。

   在擲出2和3的過程中，沒有擲出4的機率是1.0 - 0.85 = 0.15。因此，需要額外擲12次的機率為15%。因此，擲出2、3和4的預期次數為42 + 0.15*12 = 43.8。

4. 接下來，考慮一下你還需要擲多少次才能擲出5。當你擲出2到4的時候，如果你還沒有擲出5，那麼平均來說，你需要再擲9次才能擲出1，因為擲出5的機率是4/36 = 1/9。

   在得到2、3或4之前得到5的機率是多少？一般規則是：

   pr (A 或 B 或 C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A 和 B) - pr(A 和 C) - pr(B 和 C) + pr(A 和 B 和 C)

   因此，pr(2 或 3 或 4 之前 5) = pr(2 之前 5)+pr(3 之前 5)+pr(4 之前 5)-pr(2 和 3 之前 5)-pr(2 和 4 之前 5)-pr(3 和 4 之前 5)+pr(2、3 和 4 之前 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90。從 2 到 4 的過程中沒有擲出 4 的機率是 1 - 83/90 = 7/90。因此，有 7.78% 的可能性需要額外擲 7.2 次。因此，擲出 2、3、4 和 5 的預期次數是 43.8 + (7/90)*9 = 44.5。

5. 繼續用同樣的邏輯，計算總數從 6 到 12 的機率。每次計算下一個數字作為最後一個數字之前的機率時，所需的計算次數大約翻倍。當總數達到 12 時，你將需要進行 1,023 次計算。

   這是 pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) 的一般規則

   pr(A 或 B 或 C 或 ... 或 Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A 和 B) - pr(A 和 C) - ... - pr(Y 和 Z) 減去兩個事件的每種組合的機率
   + pr (A and B and C) + pr(A and B and D) + ... + pr(X and Y and Z) 將三個事件的每種組合的機率相加
   - pr (A 和 B 和 C 和 D) - pr(A 和 B 和 C 和 E) - ... - pr(W 和 X 和 Y 和 Z) 減去四個事件的每種組合的機率

   然後不斷重複，記住奇數事件的機率加起來，偶數事件的機率減去。對於大量可能發生的事件，這顯然會變得繁瑣，實際上需要電子表格或電腦程式。

下表顯示了每一步的預期點數。例如，擲出 2 需要擲 36 點，擲出 2 和 3 需要擲 42 點。右下角單元格顯示擲出全部 11 個點數的預期次數為 61.217385。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

巫師說那個網站聽起來滿嘴胡言亂語，沒有任何可信的證據來證明指控的合理性。如果我有證據，我很樂意揭露任何賭場使用有偏見的骰子。

如果有人有確鑿的證據證明骰子有偏差，我很樂意進行檢驗並發表我的結論。我希望看到的證據要么是擲骰子的日誌文件，要么最好是一些實際存在的所謂偏差骰子。

此外，如果賭場使用的骰子確實產生了超過預期的「七」的數量，那麼為什麼這些偵探不知道賭「不通過」和下注賠率的陰謀呢？

點擊以下按鈕看答案。

答案是 1983.33。

點擊以下按鈕以取得解決方案。

[/spoiler] 設答案為 x。只要玩家沒有擲出 7，他就能預期未來的勝率總是 x，加上之前的所有勝率。換句話說，擲骰子具有無記憶特性，即無論你已經擲出多少次，你都不會比開始時更接近 7。

我不會深入討論骰子機率的基礎知識，但只是說每個總數的機率如下：

• 2：1/36
• 3：2/36
• 4：3/36
• 5：4/36
• 6：5/36
• 7：6/36
• 8：5/36
• 9：4/36
• 10：3/36
• 11：2/36
• 12：1/36

在考慮安慰獎之前，x 的值可以表示為：

x = (1/36)*(400 + x) + (4/36)*(300 + x) + (5/36)*(200 + x) + (5/36)*(200 x +) (3/36)*(400 + x) + (2/36)*(600 + x) + (1/36)*(1000 + x)

接下來，將兩邊乘以 36：

36x = (1000 + x) + 2*(600 + x) + 3*(400 + x) + 4*(300 + x) + 5*(200 + x) + 5*(200 + x) + 4*(300 + x) + 3*(400 + x) + x + 2

36倍=11,200+30倍

6倍=11,200

x = 11,200/6 = 1866.67。

接下來，安慰獎的價值是700*(6/36)=116.67。

因此，獎金的平均贏額為 1866.67 + 116.67 = 1983.33。

[/spoiler]