二十一點 - 特殊規則和促銷
Wiz，你真是個好人！你的賭博網站絕對是網路上最好的。作為一名精算師（ACAS），我很高興看到有人能充分發揮自己的數學技能。
我的問題是──既然允許後期投降，你還想在10點亮牌的情況下分8點嗎？我猜是的，但BJ中最難的玩法之一就是在10點亮牌的情況下分8點。
順便提一下，我剛在拉斯維加斯待了三天，如果你還沒去過，一定要試試拉斯維加斯俱樂部和世界上最自由的二十一點規則。 3張或4張牌可以加倍，6張牌<=21點自動贏，也可以晚點投降。六副牌，我估計莊家優勢是0.14%。感謝你們的辛勤付出！
謝謝你的讚美，吉姆。是的，即使有人建議你晚點投降，你還是應該分牌。即使分牌後不能加倍，你也應該拒絕投降。基於兩副牌的遊戲，分牌後不能加倍，那麼分牌8對10的預期值為-0.480673，比投降的-0.5要好。
儘管他們聲稱擁有“世界上最自由的二十一點規則”，但在馬蹄鐵賭場（Horseshoe）或金門賭場（Golden Gate）街對面，卻有更好的單副牌遊戲。拉斯維加斯俱樂部（Las Vegas Club）的六副牌才是真正對玩家不利的。別因為被他們的招牌蒙蔽而感到難過，我年輕時也曾上當受騙，那時我還不知道規則變化的後果。
更新：這個問題之後，拉斯維加斯俱樂部修改了規則，在他們所謂的「世界上最自由的二十一點規則」中，對二十一點的賠率是6比5。6比5甚至不能算作真正的二十一點遊戲。在任何普通的3比2遊戲中，你的賠率都要高得多，這種遊戲在其他地方很容易找到。
在納奇茲，我們有一家河船賭場，允許玩皇家對子（ Royal Match ，版本1）的二十一點遊戲，使用六副牌。他們還有一個額外獎勵：如果玩家和莊家在同一手牌中都拿到皇家對子，玩家將額外獲得1,000美元。這會對賭場優勢產生什麼影響？
假設賭注為 1 美元，那麼這 1000 美元的獎金將使賭場優勢從 6.67% 降低到 6.00%。
首先，網站很棒！我太喜歡了！我在裡諾看到一款遊戲，規則如下：六副牌，莊家拿到軟17點，分牌後加倍，除了A之外的任何牌都可以重新分牌，玩家可以用任意數量的牌加倍。例如，玩家可以抽到四張牌總點數為11點，然後再加倍。這款遊戲的莊家優勢是多少？
你沒有說明投降規則，所以我假設這是不允許的。根據我的二十一點莊家優勢計算器，在考慮「任意張牌加倍」規則之前，莊家優勢是0.64%。根據我的規則變化列表，允許任意張牌加倍（巴拿馬常見的規則）的莊家優勢是0.23%。因此，整局遊戲的莊家優勢是0.64% - 0.23% = 0.41%。
在下列賭場條件下，二十一點能被打敗嗎：
- 遊戲從 8 副牌盒中發出面朝上的牌，在發出 5 副牌後（切牌後 3 副牌）會出現切牌。
- 莊家在軟 17 點時停牌。
- 不投降。
- 在沒有 A 的情況下，任何 2 張牌的總數都可以加倍。
- 只能分 A 一次，每張一張牌。
- 可以將任何其他對子拆分為最多 3 手。
- 分牌後可以加倍。
- 莊家只接受二十一點的原始賭注。
- 當莊家的明牌是 A 時，可以在二十一點遊戲中贏得等額的錢。
- 表格最大值是表格最小值的 50 倍。
- 如果算牌者玩了牌盒中的第一手牌，並且每手牌都參與，則允許算牌。算牌者可以玩任意數量的牌盒，並下注任何金額。算牌者可以隨時停止，但不能在錯過一手牌後重新加入牌盒，也不能加入已進行到一半的牌盒。
我沒有做過任何模擬，但我的明智之舉是肯定的，這個遊戲是可以贏的。這個遊戲的策略是，當賠率對你不利時，下最小注，當賠率對你有利時，下最大注。通常情況下，賭注突然增加50倍會引起巨大的警覺，但在你的遊戲中，算牌者似乎可以肆無忌憚地這樣做。大西洋城剛開業時，賭場無法要求算牌者離開，整張賭桌都坐滿了人，他們的賭注突然從5美元漲到300美元，或者不管最低和最高限額是多少。在遭受重創後，大西洋城賭場懇求博彩當局修改規則，他們得到了批准。這不僅可以被打敗，而且我認為這會是算牌者的夢想。
您是否掌握以下規則的基本策略？莊家接受17-17、18-18和19-19的平局，允許分牌後加倍，允許重新分牌3次，禁止偷看，玩家可以在7-11點（軟牌和硬牌）加倍，莊家在軟17點停牌，六副牌。
Stanford Wong 的Blackjack Count Analyzer非常適合解決這類問題。只要輸入規則，它就能立即產生一個基本策略，並準備進行模擬。以下是他根據這些規則制定的基礎策略。我用 Blackjack Count Analyzer 模擬了 3100 萬手牌，結果顯示在這些規則下，賭場優勢為 4.13%。我在芬蘭的時候，他們玩的是單零輪盤賭，賭場優勢比這個遊戲低很多。我想知道為什麼芬蘭的二十一點規則如此嚴格。
PLR 經銷商 PLR 經銷商
23456789XA 23456789XA
21 ---------- 軟 21 ----------
20 ---------- 軟 20 ----------
19 ---------- 軟 19 ----------
18 ---------- 軟 18 +DDDd-++++
17 ---------+ 軟 17 ++++DD+++++
16 -----++--+ 軟 16 ++++DD+++++
15 -----+++++ 軟 15 ++++DD+++++
14 --++++++ 軟 14 ++++D+++++
13 --++++++ 軟 13 ++++++++++
12 ++++++++
11 DDDDDDDD++ 對 A /////////+
10 DDDDDDDD++ 對 10 ----------
9 ++DDD+++++ 對 9 /////-/---
8 ++++++++++ 對 8 ///////--+
7 ++++++++++ 對 7 -////+++++
6 ++++++++++ 對 6 /////+++++
5 ++++++++++ 對 5 DDDDDDDD++
4 ++++++++++ 對 4 ++//+++++
對 3 +////+++++
對 2 +////+++++
保險：無
+ = 命中
- = 站立
D = 若允許則加倍，否則擊中
d = 若允許則加倍，否則停牌，/ = 分割。
前幾天我去了一家印第安賭場，那裡的二十一點最低下注額是2美元，但每次下注他們都會額外收取25美分（具體做法是，你每持有一美元籌碼，他們就會給你4個25美分的特殊籌碼），所以基本上你下注2.25美元就能贏回2美元。雖然我還能賺點錢，但我想知道有沒有一種快速簡便的方法可以計算出這筆「佣金」到底為他們帶來了多少賭場優勢？我知道，比起荷官在軟17點拿牌，這筆佣金肯定高很多。
總賭場優勢為 [費用 + (賭場優勢) * (投注額)]/[費用 + 投注額]。假設賭場優勢為 0.8%。那麼包含費用的賭場優勢為 [0.25 美元 + 2.00 美元 * 0.008][0.25 美元 + 2.00 美元] = 11.82%。
然而，一個快速簡便的估算方法是簡單地將費用除以賭注，作為費用導致的莊家優勢的增加。
您的網站太棒了！我很喜歡您的建議，而且您能如此通俗易懂地講解博彩知識，讓我非常驚訝。我的問題是：在玩一款「福利二十一點」遊戲時，據我所知，他們遵循了所有「拉斯維加斯」規則，結果我發現他們為二十一點支付了二比一的賠率。這似乎對玩家來說是一個很大的福利；那麼福利到底有多大呢？ （這不是玩笑或惡作劇，我確實在他們這樣做的那張牌桌上玩過！）
謝謝你的讚美。如果我當時在玩這個遊戲，我會拼盡全力。假設六副牌，其他都遵循拉斯維加斯規則，玩家優勢應該是1.94%。二十一點的2比1賠率，在六副牌的遊戲中，玩家的預期收益增加了2.37%。
Flamingo 提供一款採用常規市中心規則 (hs17) 的單副牌二十一點遊戲。唯一的區別是，他們將自然賠率從正常的 3 比 2 改為 6 比 5。我的問題是：這會如何影響這款遊戲的起始優勢？它會是什麼？它會如何影響保險投注？具體來說，保險需要支付多少才能讓玩家獲得「等額投注」並獲得 6 比 5 的賠率？
使用我常用的二十一點莊家優勢計算器，根據常規市中心規則，莊家優勢為 0.1896%。在單副牌遊戲中，玩家拿到黑傑克且無莊家拿到黑傑克的機率為 2*(16/52)*(4/51)*(1-2*(15/50)*(3/49))= 0.046492。將黑傑克贏率從 1.5 降至 1.2，會導致莊家優勢增加 0.046492*(1.5-1.2)= 1.3948%。因此，這款遊戲的莊家優勢為 1.3948%+0.1896%=1.5844%（哎喲！）。如果要保證賠率相同，則賠率必須為 5-1，但玩家只能下注原始賭注的 20%。
與連續洗牌機一起使用的「免費 Ace」優惠券（促銷工具）對賭場優勢有何影響？
這個問題我已經問過很多次了，足以讓我增加一個章節來專門討論。簡而言之，這張優惠券的價值略高於其面額的一半。請造訪我的「二十一點」附錄14，了解更多詳情。
我有一張 LVA #115 的優惠券，可以在 Slots of Fun 賭場免費領取高達 25 美元的二十一點保險。它的價值是多少？
我也有那張優惠券，但快沒時間用了。假設是單副牌遊戲。莊家拿到黑傑克且明牌是A的機率是16/51 = 31.37%。所以，如果你下注50美元，這張優惠券的價值就是(16/51)*50美元=14.71美元。不過，我估計你會因為等待使用優惠券的機會而損失1.23美元，因為賭場有優勢。所以，優惠券本身的價值是14.71美元-1.23美元=13.48美元。
圖尼卡的好萊塢賭場開始在兩張5美元賭桌上提供免費的累積獎金邊注。規則是六副牌，莊家拿到軟17點，其他所有規則都照標準執行。他們保證遊戲規則不會有任何改變（莊家拿牌、DAS、4次分牌、六副牌）。同花色的方塊7可獲得累積獎金，起碼1000美元。其他三張7的累積獎金為50美元。那麼，累積獎金需要多高才能達到收支平衡呢？
當目標是最大限度地提高贏得該手牌的機會時（例如，使用比賽優惠券時），在只玩一手牌時應該對二十一點基本策略做出哪些改變？
這取決於玩家是否被允許加倍或分牌投注的比洞賽部分。通常情況下，玩家不允許這樣做，這對玩家不利。下表顯示如何調整你的加倍和分牌策略，假設玩家不能加倍比洞賽部分，並且如果玩家分牌，則比洞賽部分將保留，基於無限牌堆和莊家在軟17點停牌的情況。要牌/停牌策略相同。
很棒的網站！我覺得它是我見過的所有賭博網站中最好的。關於二十一點投降的問題。有些賭場（如福克斯伍茲）會提供二十一點比賽優惠券。優惠券的一個好處是，投降時你只會損失一半的本金，並且可以保留全部優惠券。 （但無論輸贏，優惠券都會丟失。）我猜你在這種情況下會更傾向於投降，但我想知道正確的策略是什麼？謝謝！
謝謝。如果你能保持比洞賽，你應該會經常投降。我的二十一點附錄9很適合用來解決這類問題。比洞賽的價值大約只有牌面價值的一半。所以，如果這手牌的預期價值低於-1/3，你應該投降。假設莊家拿到軟17，以下就是這些情況。
- 玩家 6 對 10-A
- 12號球員對9-A隊
- 13號球員對8-A
- 14號球員對8-A隊
- 15號球員對上7-A
- 16號球員對上7-A
- 17號球員對8-A
- 玩家 8,8 對 9-A
如果莊家在軟 17 點上停牌，策略是一樣的，只是玩家不會在 A 點上放棄 6 點。
當地一家賭場推出了二十一點大於/小於13點的附加投注優惠。如果您的前兩張牌是同花色，您將獲得價值5美元的「行動籌碼」。如果您的前兩張牌和莊家的明牌都是同花色，您將獲得價值10美元的行動籌碼。行動籌碼僅限一次投注，玩家保留所有贏取的獎金，但會輸掉行動籌碼。最低投注額為10美元。使用六副牌。大於/小於13點的投注的賭場優勢是多少？
不考慮獎金，高注的賭場優勢較低，為 6.55%，正如我在二十一點附錄 8中所示。三張同花牌的機率為 4×combin(78,3)/combin(312,3) = 4×76076/5013320 = 0.060699。玩家兩張牌是同花，而莊家兩張牌不是的機率為 (4×combin(78,2)×234)/(combin(312,2)×310) = 2810808/15039960 = 0.186889。假設行動籌碼的價值為面額的 49.5%。那麼獎金價值為 0.495×(0.060699×$10 + 0.186889×$5) = $0.76301。高於投注的預期損失為 10 美元×0.0655 美元 = 0.655 美元。因此，每投注 10 美元高於 13 美元，其價值為 0.76301 美元 - 0.655 美元 = 10.8 美分。高於 13 美元投注的玩家總優勢為 1.08%。
我想請教一下關於二十一點優惠券的問題。據我了解，優惠券的規則是，任何贏利均可翻倍，最高可達25美元，而且可以隨時出示。如果我下注16.50美元，等到出現二十一點時再使用，優惠券將使24.75美元的二十一點贏利翻倍。或者我應該下注25美元，然後在第一次贏利時用這筆錢？兩種方式的預期損失是多少？假設賭場優勢為0.64%。
首先，讓我們計算一下如果您下注 16.50 美元，並等到莊家拿到黑傑克後使用優惠券的預期損失。玩家拿到黑傑克的機率是 A 的數量 × 十的數量 / 從牌盒中的 312 張牌中選擇兩張牌的組合方式。即 24×96/ combin (312,2) = 0.0474895。如果你們兩個都拿到黑傑克，優惠券就沒用了。假設玩家拿到黑傑克，莊家拿到黑傑克的機率是 23×95/combin(310,2) = 0.045621。因此，玩家拿到黑傑克的機率是 0.0474895 * (1-0.045621) = 0.045323，也就是 22.06 手牌拿到一次。因此，如果您以每手 16.50 美元的價格玩 22.06 手牌，則預期損失為 22.06 × 16.50 × .0064=2.33 美元。
接下來，讓我們計算一下如果你下注 25 美元，並等到第一次贏錢後再使用優惠券，預期損失是多少。任何贏錢的機率都是 42.42%，正如我在二十一點附錄 4中提到的。由於分牌比較複雜，這個統計數據並不完全適用於這種情況，但也夠接近了。因此，想要贏錢，預期需要玩的手牌數量是 1/0.4242 = 2.36。下注 2.36 手，每手 25 美元的預期損失是 2.36 × 25 × 0.0064=0.38 美元，比等待二十一點的成本低 84%。
下表根據牌數和牌組數量顯示了莊家拿到 21 點牌的機率。
莊家21點牌的機率
| 牌 | 1副牌 | 2 副甲板 | 6副甲板 |
| 2 | 0.0482655 | 0.0477969 | 0.0474895 |
| 3 | 0.0537557 | 0.0530246 | 0.0525656 |
| 4 | 0.0184049 | 0.0184945 | 0.0185388 |
| 5 | 0.00310576 | 0.00326001 | 0.00335881 |
| 6 | 0.000291717 | 0.000344559 | 0.000380387 |
| 7 | 0.0000160093 | 0.0000234897 | 0.000029251 |
| 8 | 0.000000456411 | 0.000000997325 | 0.00000152356 |
| 9 | 0.00000000466991 | 0.0000000239012 | 0.0000000526866 |
| 10 | 0.0000000000064214 | 0.000000000262229 | 0.00000000115152 |
| 11 | 0 | 0.0000000000009179 | 0.0000000000148827 |
| 12 | 0 | 0 | 0.0000000000001003 |
| 十三 | 0 | 0 | 0.00000000000000003 |
下表顯示了三個獎項的分數。七張牌獎項所在行顯示的是莊家七張牌21點牌面每手牌500美元獎金的價值。八張牌獎項所在行顯示的是莊家八張牌21點牌面每手牌25,000美元獎金的價值。該數值應乘以當前累積獎金與25,000美元的比率，即可得出任意時刻的獎金價值。羨慕獎所在行顯示的是同一房間內所有其他牌桌在另一張牌桌上中獎時每手牌500美元獎金的價值。
每手牌的獎金價值
| 獎 | 1副牌 | 2 副甲板 | 6副甲板 |
| 7張牌贏500美元 | 0.80美分 | 1.17美分 | 1.46美分 |
| 8張牌贏25,000美元 | 1.14美分 | 2.49美分 | 3.81美分 |
| 8張卡500美元羨慕獎金 | 0.02美分 | 0.05美分 | 0.08美分 |
假設房間內共有 8 張活躍賭桌，每小時進行 60 輪，累積獎金為 25,000 美元，則此促銷活動的價值為單層賭桌每小時 1.26 美元，雙層賭桌每小時 2.41 美元，六層賭桌每小時 3.48 美元。
最近，托斯卡納賭場推出了一項促銷活動：如果你在30天內拿到30張黑傑克，就能贏得100美元的獎金。起初，最低下注金額是5美元，就能在卡上蓋章。後來我聽說最低下注金額提高到了15美元。我給賭場經理寫了一封投訴信，信中寫道：
如果這是真的，我只是想表達我對這個改變的失望。我從來沒有機會利用這個促銷活動，現在也懷疑自己是否還能利用。拿到30張黑傑克所需的時間（據說大約需要連續玩8個小時）似乎不合理，因為促銷活動的獎金仍然只有100美元。
以下是我收到的回覆：
回覆您關於二十一點停牌促銷活動的電子郵件，我不確定您是從哪裡獲得關於完成停牌卡需要多長時間的信息的。我們見過玩家在不到四個小時內就完成了這張卡。而且，您有三十天的時間來完成這張卡。我希望您理解，這並不是一項在這麼短的時間內無法完成的任務。感謝您的來信。很高興收到客戶的回饋。希望您能嘗試並贏得一些獎金！
四小時內拿到 30 張黑傑克的機率是多少？
根據我的遊戲比較，二十一點玩家每小時大約玩70張手牌。六副牌遊戲中出現二十一點的機率是24*96/combin(312,2)=4.75%。我假設二十一點平手仍然會蓋章。所以大約要30/0.0475=632手牌才能填滿牌，也就是9.02小時。
假設玩了280手牌，那麼在4小時內完成牌局的機率是3萬分之一，前提是每次只玩一手牌。我懷疑任何在4小時內達到目標的玩家，每次至少都玩了兩手牌。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
康乃狄克州一家當地賭場將在七月中旬推出為期一天的促銷活動，玩家可以在二十一點遊戲中下註三倍。合適的基本策略和賭場優勢是什麼？
我知道。金神賭場（Mohegan Sun）將於7月15日早上6點開始，推出為期24小時的「三倍下注」促銷活動。活動適用於所有二十一點和西班牙21點賭桌，最高額外投注額為500美元。詳情可在金神賭場的促銷頁面上查看。新聞編輯室之前有以下聲明，但已刪除：
點數為 11 點，想加倍下注？ 7 月 15 日星期四，玩西班牙 21 點或二十一點的玩家，在 7 月 15 日上午 6:00 至 7 月 16 日上午 5:59 期間，將有資格進行三倍下注。玩家收到前兩張牌後，可以進行額外下注，最高可達原始賭注的三倍。所有賭桌均提供三倍下注，最高下注金額為 500 美元。標準加倍下注規則適用。
移除的內容表示玩家可以加註四倍，因為總賭注將是初始賭注的四倍。這可能是因為印刷錯誤而被移除。
我聽說二十一點使用六副牌，軟17點停牌，分牌後允許投降和加倍，但不允許再次分牌A。通常情況下，這些規則下的賭場優勢是0.36%。我不確定玩家在分牌後是否允許加倍/三倍。以下是不同規則下的玩家優勢：
- 玩家可以在前兩張牌加倍下注，分牌後加倍下注：1.39%
- 玩家可以在前兩張牌上三倍下注，分牌後三倍下注：1.59%
- 玩家可以在前兩張牌加倍下注，分牌後加倍下注：3.20%
- 玩家可在前兩張牌加註四倍，分牌後加註四倍：3.62%
順便提一下，阿拉莫賭場將他們的二十一點遊戲從一副牌改為了四副。鑑於這項規則的改變，現在誰擁有拉斯維加斯最寬鬆的二十一點規則呢？
謝謝你提供的資訊。我剛剛更新了我的二十一點問卷，以反映規則的變更。
你說得對，自從這項改變之後，阿拉莫賭場就不再享有拉斯維加斯最自由的二十一點遊戲的榮譽了。這項榮譽現在屬於埃爾·科爾特斯賭場的單副牌遊戲。拉斯維加斯仍然有一些合法的二十一點遊戲（即在二十一點遊戲中賠率為3-2），但只有埃爾·科爾特斯賭場允許在任何兩張前牌上加倍。其他賭場則遵循內華達州北部的規則，將加倍限制在10點和11點。埃爾·科爾特斯賭場的單副牌遊戲完整規則如下：
- 單層。
- 二十一點賠率為 3-2。
- 莊家拿到軟 17。
- 前兩張牌加倍。
- 分牌後不加倍。
- 不投降。
- 禁止重新分割 A 牌。
- 無切卡。
賭場優勢的分配取決於荷官在決定何時洗牌時的行為。切牌效應在單副牌遊戲中非常重要，如果沒有切牌效應，賭場優勢會降低 0.11%。
據我了解，荷官會在一定輪次後根據牌桌上玩家人數洗牌。通常情況下，El Cortez 的單副牌遊戲至少有四名玩家，相當於荷官會在兩輪後洗牌。只要荷官每副牌剛好發 x 輪，對玩家來說就很有利。考慮到這一規則以及牌桌通常擁擠的情況，我將「實際」賭場優勢設定為 0.19%，這也是基本策略玩家可以預期的。
因此，恭喜並讚揚 El Cortez 推出拉斯維加斯最佳二十一點遊戲！
加州內華達州的賭場裡有一款古老的電子二十一點遊戲，規則如下：
- 贏錢（二十一點除外）賠率為 3 比 2（或 1 比 2）
- 二十一點賠率為 6 比 1（或 5 比 1）
- 單層
- 莊家在軟 17 點停牌
- 任何最初提供的兩張底牌都加倍
- 允許拆分
- 分牌後加倍
- 無需重新拆分
- 不投降
有意思。我假設如果玩家加倍下注並獲勝，他仍然只能獲得總賭注金額的 1 比 2 的賠付。
首先，這些規則的基本策略如下：
- 硬牌：絕不加倍。其他方面，與常規基本策略類似，但12對3、16對10時停牌。
- 軟牌：切勿加倍。若要軟牌17或以下，或軟牌18對9，則停牌。否則，停牌。
- 對子：只有當牌面是 6 到 8 時，才用 8 來分牌。一定要打出兩張 A。否則，請遵循硬總點數策略。
根據這些規則和策略，我獲得了 7.88% 的莊家優勢。