二十一點 - 可能性

這是統計學入門課常見的問題。由於大量的隨機變數和總是趨近於鐘形曲線，我們可以使用中心極限定理來得到答案。

從我關於莊家優勢的部分來看，我們發現二十一點的標準差是1.17。如果你沒有學過統計學，你不會理解這一點，但你例子中輸錢的機率應該是Z統計量45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91。

任何基礎統計學書籍都應該有一張標準常態分佈表，其Z統計量為0.8186。所以，在你的例子中，領先的機率大約是18%。

當莊家拿到軟17點停牌時，爆牌的機率約為29.1%。當莊家拿到軟17點要牌時，爆牌的機率約為29.6%。根據我的二十一點附錄4 ，淨贏的機率為42.42%。然而，如果我們忽略平局，機率為46.36%。因此，連續四張牌贏的機率為0.4636 ^÷4 =4.62%。

感謝您的讚賞。連續出現這種情況，例如莊家抽到 5 到 16，是不可避免的，但無法預測。二十一點不像輪盤賭那樣完全是獨立嘗試的遊戲，但牌組本身並不傾向於連續出現。對於不擅長算牌的人來說，可以假設每一輪的勝率都相同。撇開牌組構成的一些細微影響不談，連續五次抽到 5 到 16 的莊家，下次再次出現這種情況的概率，與連續幾個小時爆牌 16 的莊家是一樣的。

根據我的二十一點附錄4 ，二十一點總勝率是42.22%，平手是8.48%，輸掉是49.10%。我假設你為了計算連勝率而忽略平手。在這種情況下，給定已解決的賭注，獲勝的機率是46.36%。連續贏n手牌的機率是0.4636 ⁿ 。因此，連續贏六手牌的機率是0.99%，連續贏七手牌的機率是0.46%。

您所經歷的很可能是一些非常糟糕的連敗造成的。也可能是累進投注或策略失誤造成的。基本策略平注的玩家應該對大幅上漲和大幅下跌的預期大致對稱，由於賭場優勢，以及48%的輸牌機率和43%的贏牌機率，他們更傾向於大幅下跌。如果我是為了娛樂而玩，那麼當我不再感到樂趣時，我就會離開牌桌。

設 n 為牌組數量。黑傑克的機率為 2*(4/13)*(4n/(52*n-1))。若 n=6，則機率為 192/4043 = 4.75%。

感謝您的讚賞。您問了一個好問題，這個問題沒有固定的答案。這更多的是程度問題，玩得越多，結果就越接近賭場優勢。我最近用一些關於標準差的資訊取代了我的二十一點附錄4，這可能會有所幫助。例如，下表顯示，如果您玩10,000手二十一點，在扣除由於賭場優勢造成的預期損失後，最終結果在192個單位以內的機率為90%。因此，由於隨機變數的影響，在10,000手牌中，您贏或輸的金額很可能不到總賭注金額的2%。然而，如果我們玩100萬手牌，那麼由於運氣因素，0.2%的波動機率就是90%。一般來說，平均值的變化與您玩的手數的平方根成反比。所有這些都假設平注，否則數學計算就會變得非常複雜。

第一張牌是A的機率是4/52。第二張牌是10點的機率是16/51。因此，第一張黑傑克是A的機率是(4/52)*(16/51)。將這個機率乘以2，因為10點也可能是第一張牌，所以答案是2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0.0482655，或大約是20.7分之一。

自此問題提交以來，一位玩家於2009年5月23日在大西洋城擲了154次骰子。該機率為5,590,264,072分之一。關於擲1到200次的機率，請參考我的擲骰子生存表。關於如何自行解答此題，請參考我的MathProblems.info網站，問題204。

您的預期損失為 100*5 美元*0.005=2.50 美元。一手牌的標準差為 1.17，這可以在我的二十一點附錄 7中找到。因此，您範例中的一個標準差為 5 美元*1.17*sqr(100)=58.5 美元。因此，由於運氣不好而損失 295 美元或更多的機率為 0.00135（-3 的 Z 統計量）。

兩副牌中剩餘103張牌，其中32張是10。因此，拿到黑傑克的機率為32/103=31.07%。

在六副牌的遊戲中，出現同花黑傑克的機率為 2*(4/13)*(6/311) = 0.0118723。

我嘗試在我的二十一點附錄 8中解決這個問題，但在這裡我會更慢地講解。為了簡單起見，我們忽略莊家的二十一點，並假設玩家總是在兩張牌後面要牌。在六副牌的牌盒中，排列三張牌的方式數為 combin(312,3)=5,013,320。牌盒中有 24 個 7。從 24 個 7 中排列出 3 個 7 的方式數為 combin(24,3)=2024。機率是獲勝組合數除以總組合數，即 2024/5013320=0.0004，約為 2477 分之一。

你忘了，有兩種可能的順序：要嘛是A，要嘛是10。乘以2，你就得到了答案。

根據史丹佛·黃（Stanford Wong）的《基礎二十一點》（Basic Blackjack），如果第一張牌是A，玩家的優勢為50.5%（頁124）。然而，你的問題可以改寫為：「假設另一張牌不是10，那麼A的點數是多少？」為了簡單起見，我們用一副無限大的牌來計算黃的數字，如下所示：0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x，其中x是你想知道的點數。做一些簡單的代數運算，我們得到x=28.5%。

是的！好問題，連我都不知道這一點。牌堆越少，牌的數量越多，這種情況就越明顯。為了測試最有可能擊中的情況——8 副牌堆，只有 3 張牌——我用我的組合程序運行了所有可能的情況。下表顯示了結果。

底行右側的兩個數字表明，要牌的總體預期值為 -0.540355，停牌的總體預期值為 -0.540293。因此，停牌是略微更好的打法。遵循這條規則，每 1117910 手牌就能額外獲得一個單位。這項建議需要玩家每週玩 40 小時的二十一點，大約需要 5 年才能讓他節省一個單位。

根據我的二十一點附錄9H，假設16由10和6組成，停牌的預期回報為-0.476476，拿牌的預期回報為-0.408624。因此，如果我拿牌，你每下注1美元就能省下6.79美分。這甚至不算是最低限度的玩法。沒有一個簡潔的答案能解釋你為什麼應該拿牌。這些預期值考慮了這手牌可能出現的所有可能結果。十億手牌的最佳玩法就是一手牌的最佳玩法。如果你想偏離基本策略，這裡有一些邊緣玩法：12對3，12對4，13對2，16對10。在這些牌上偏離策略會讓你損失更少。

(1) 這取決於莊家拿到黑傑克時會發生什麼事。如果玩家的損失保證不超過原始賭注，那麼莊家是否拿第二張牌都無關緊要。如果玩家在加倍或分牌後仍將輸掉全部賭注，而莊家拿到黑傑克，那麼這對莊家有利。 (2) 我不需要模擬這種情況，因為玩家的數量無關緊要。

這取決於牌堆的數量。若牌堆數為 n，則機率為 2*pr(A)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1))，約等於 21 分之一。以下是不同牌堆數量的準確答案。

如果拿到黑傑克的機率是 p，那麼 10 手牌中沒拿到黑傑克的機率就是 1-(1-p) ¹⁰ 。例如，在六副牌的遊戲中，答案就是 1- 0.952511 ¹⁰ = 0.385251。

我假設每手牌之間從未洗牌。其他三位玩家無關緊要。答案是 2 ³ *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47)= 0.00004401，大約是 22722 分之一。若每手牌之間洗牌，機率會大幅增加。

手的數量無關。機率為 2*(4/13)*(8/103) = 0.0478。

這取決於黑傑克之間是否有洗牌。假設沒有，機率為 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0.000044011058。其他玩家的數量無關緊要，除非他們導致洗牌。

從我的二十一點附錄7中，我們可以看出，在單副牌遊戲中，每去掉一張9，賭場優勢就會增加0.20%。然而，如果你想作弊，最好去掉一張A，這會使賭場優勢增加0.58%。如果你作為莊家加一張牌，你應該加一張5，這會使賭場優勢增加0.80%。所以，對玩家來說最好的牌是A，對莊家來說最好的牌是5。

當你感覺運氣好的時候，我同意你加大賭注。重要的是你打好牌。除非你算牌，否則你可以隨心所欲地下注。我常說，所有投注系統都同樣沒用，所以長期來看，憑感覺下注和平註一樣好。我說連輸8手牌的機率是1/173，意思是從下一手牌開始，連輸8手牌的機率是1/173。一局牌越長，連輸8手牌的機率越大。希望這能解答你的問題。

你的另外兩張牌是任兩張10點牌的機率是 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6)，即 22,307,231 分之一。然而，同一手牌中出現四張 A 還有其他可能，例如最後一張牌可能是 8 或 9。我必須進行電腦模擬才能考慮所有其他組合。不過，粗略估計，我認為 700 萬個組合看起來差不多。

我花了好幾年才自己弄好分牌對子。 Gambling Tools的 Cindy 給了我很大的幫助。 Peter Griffin 在《二十一點理論》第 11 章中也談到了這個主題。假設我想計算莊家 2 點時分牌 8 的期望值。最多可以重新分牌 4 手。以下是我的做法。

1. 從鞋子裡取出一張 2 和兩張 8。
2. 決定玩家不會在任何一手牌中拿到第三個八的機率。
3. 遍歷除 8 之外的所有點數，從牌堆中減去該點數，用該點數和 8 打出一手牌，確定期望值，然後乘以 2。假設另一個 8 的機率為零，則確定每個點數對應的機率。將每個點數對應的機率與期望值進行點積。
4. 將此點積乘以步驟 2 中的機率。
5. 決定玩家重新分牌為 3 手的機率。
6. 從牌堆中再取出 8。
7. 重複步驟 3，但乘以 3 而不是 2。
8. 將步驟 7 的點積乘以步驟 5 的機率。
9. 決定玩家重新分牌為 4 手的機率。
10. 從鞋子裡取出另外兩個 8。
11. 重複步驟 3，但乘以 4 而不是 2，這次考慮獲得 8 作為第三張牌，對應於玩家被迫停止重新分牌的情況。
12. 將步驟 11 的點積乘以步驟 9 的機率。
13. 新增步驟 4、8 和 12 中的值。

最難的部分是第三步。我有一個非常難看的子程序，裡面全是我用機率樹計算的長公式。當莊家拿到10或A時，它就變得特別難看了。

假設有六副牌，玩家總是拿第三張牌（無論是要牌還是分牌）。抽出 3 張同花色 7 的方法數等於花色數 (4) 乘以從牌盒中 6 張該花色 7 中抽出 3 張的方法數。換句話說，4× combin (6,3)=4×20=80。抽出 3 張彩色 7（包括 3 張同花色 7）的方法數等於顏色數乘以從牌盒中的 12 張該顏色 7 中抽出 3 張的方法數，即 2×combin(12,3)=2×220=440。抽出任 3 張 7（包括 3 張彩色和同花色 7）的方法數等於從牌盒中的 24 張 7 中抽出 3 張的方法數，即 combin(24,3)=2024。 312 張牌中任 3 張的組合數為 combin(312,3)=5013320。因此，出現 3 張同花色 7 的機率為 80/5013320=0.000015957。出現 3 張不同花色、有色 7 的機率為 (440-80)/5013320=0.0000718。出現 3 張混合顏色 7 的機率為 (2024-440)/5013320=0.00031596。

是的，我用組合方法計算二十一點賠率，分析玩家和莊家牌的所有可能出牌方式，並在每個決策點取最大期望值。這比模擬程式設計更難，但我覺得它更優雅，在遞歸程式設計中也是一個不錯的挑戰。不過，我仍然尊重我的同行進行模擬。用今天的計算機，運行十億次投注並不需要很長時間，這非常接近最優策略的回報。

允許重新分牌A的賭場並不多，所以你應該慶幸自己在允許重新分牌的地方玩。你的座位位置無關緊要。這種情況的機率是牌盒裡前四張牌是A，後四張牌是10的機率，即 (combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 1/4,034,213。

我似乎每個月都會被問到一次類似的問題。為了計算方便，我們假設每手牌後都會洗牌。如果某件事發生的機率是 p，那麼它連續發生 n 次的機率就是 p ⁿ 。在一副牌的遊戲中，拿到黑傑克的機率是 4*16/combin(52,2) = 64/1326。所以連續拿到四張牌的機率是 (64/1326) ⁴ = 16777216/ 3091534492176 = 1/184270。然而實際機率要小得多，因為隨著玩家每次拿到黑傑克，牌堆中 A 與剩餘牌的比例會降低。如果我不知道莊家拿到了什麼牌，我就無法告訴你確切的答案。

不客氣，謝謝你的讚美。從六副牌的牌盒中連續發出三張百搭牌（加上三張百搭牌）的機率是 1/combin(315,3) = 1/5,159,805。另一個解是 (3/315)*(2/314)*(1/313)。

所有資深二十一點專家都同意，在其他所有規則相同的情況下，隨著牌堆數量的減少，賭場優勢會降低。然而，原因卻很難解釋。首先，在單副牌中，你拿到一張小牌和一張大牌的機率確實比在多副牌中更大。例如，如果我們將 2 到 6 定義為小牌，將任何 10 點牌或 A 定義為大牌，那麼在單副牌中分別拿到一張小牌和一張大牌的機率為 2*(20/52)*(20/51) = 30.17%。在 8 副牌中，這個機率為 2*(160/416)*(160/415) = 29.66%。雖然僵牌可以任意選擇，但玩家可以自由選擇停牌，而莊家必須始終拿牌。

以下是機率：

玩家 1 0.048265
玩家 2 0.036735
玩家 3 0.024823
經銷商 0.012560

乘積為 1 比 1,808,986。

謝謝你的讚美。恐怕我不知道有哪個資料來源，包括我自己，能提供遊戲分析的程式碼。我花了好幾年才讓我的二十一點引擎完美運作（當莊家有10或A時分牌非常棘手）。要獲得二十一點莊家優勢的一個更簡單的方法是寫一個隨機模擬程式。我想有一天寫一本關於我如何分析遊戲的書，但恐怕只有你會買。

2*(4/13)*(4n/(52n-1))

機率為 (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 3,248,700 分之一。

謝謝你的誇獎。

假設一場六副牌的遊戲，莊家在軟 17 點停牌，玩家玩基本策略，以下是基於 1 億手牌模擬得出的近似結果。

如果您玩的遊戲沒有莊家優勢，那麼使用任何系統，在投入 5000 美元的風險下贏得 200 美元的機率都是 5000/(5000+200) = 96.15%。如果資金為 b，贏得 w 的一般公式是 b/(b+w)。因此，資金越多，您的獲勝幾率就越大。莊家優勢會降低成功機率，降低的幅度難以量化。對於像二十一點這樣低莊家優勢的遊戲，成功機率的降低幅度很小。需要進行隨機模擬才能決定。如果我不想費心去做這件事，請原諒我。 VegasClick使用 Martingale 做了一個關於成功機率的小模擬。

這並非事實。剩餘的牌組需要表現出一定程度的偏斜，才能使賠率偏向玩家。假設在一副牌的遊戲中，任何同花對子的賠率都是3比1。牌組頂部的牌獲勝的機率是4* combin (13,2)/combin(52,2) = 23.53%。但是，如果你棄掉兩張不同花色的牌，獲勝的機率就會降至2*(combin(13,2)+combin(12,2))/combin(50,2) = 23.51%。如果你棄掉兩張相同花色的牌，獲勝的機率就會上升到(3*combin(13,2)+combin(11,2))/combin(52,2) = 23.59%。如果每種點數各去掉一張牌，獲勝機率就會降至 4*combin(12,2)/combin(48,2) = 23.40%。由此可見，如果牌的分佈呈均勻分佈，獲勝機率會下降；但如果分佈非常不均勻，則獲勝機率會上升。隨著牌堆的玩法減少，獲勝機率有時會變高，有時會變低，但從長遠來看，獲勝機率會趨於平均，保持在 23.53%。

在典型的拉斯維加斯規則下（6副牌，莊家拿到軟17點），始終停牌的賭場優勢為15.7%。短期內你還能克服這個風險，但長期來看，你會損失慘重。

在Cryptologic，他們使用 8 副牌，莊家在軟 17 點時停牌。根據我的二十一點附錄 2 ，莊家以 6 點爆牌的機率為 0.422922。因此，不爆牌的機率為 1 - 0.422922 = 0.577078。7 次中有 7 次不爆牌的機率為 (0.577078) ⁷ = 2.13%。

哇！這個機率是 (combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 287,209,346,813,617 分之一。

此機率為 52/ combin (260,5) = 5/9525431552 = 1/1,905,086,310。

假設拉斯維加斯大道的規則較為寬鬆（六副牌，莊家在軟17點停牌，分牌後允許加倍，允許後期投降，允許再次分牌A），以下是最初兩張牌加倍時各種可能結果的機率。這不包括分牌後加倍。

從我的二十一點附錄 4中，我們可以看到每手初始牌的以下機率。

• 勝率 42.43%
• 損失49.09%
• 平手 8.48%

因此，連續輸掉19次的機率是0.4909^19*(1-0.4909) = 1/1,459,921。相較之下，在視訊撲克拿到同花大順的機率是649,740分之一，也就是2.25倍。眾所周知，狂熱的視訊撲克玩家可能會拿到好幾張同花大順，所以如果你經常玩二十一點，你最終很可能會遭遇這樣的連敗。

策略會根據你手中牌的數量而變化，如附錄 18 所示，因為每張牌離開牌堆都會改變剩餘牌的機率。一個很好的例子是，單副牌基本策略規定，如果牌堆是 10，則放棄 7.7；但如果是其他 14，則應該拿牌。你應該放棄的原因是，一半的 7 已經從牌堆中被拿走了。你需要再拿一張 7 才能湊成 21，這是唯一能擊敗莊家 20 的牌。因此，7 的不足會將拿牌的預期價值降低到賭注的一半以下，因此放棄是更好的選擇。

八副牌盒中有416張牌。這看起來可能很多，但16點對10點的牌型非常危險，即使只拿走一張牌，停牌也是更好的選擇。規則是，在八副或更少的牌盒中，如果你的16點由三張或更多牌組成，而莊家有一張10點，那麼你應該停牌。兩張16點牌型中，每張牌的平均點數為8點；三張16點牌型中，平均點數為5.33點。在三張牌型中，由於牌堆中小牌越多，剩餘牌堆的大牌越多，要牌的風險就越大，最終導致停牌的勝率更高。

我指出，這條規則對玩家來說價值0.026%。儘管面對莊家2-7的牌，玩家有打出7,7的動機，但玩家仍應遵循基本策略，分牌。

我的二十一點附錄14顯示，如果你的第一張牌是6，你的預期價值就已經約為-21%。例如，如果他下注100美元，那麼賣出這手牌並下注的合理價格大約是79美元。或許你可以利用他的抱怨，提出以低於79美分的合理價格買下他的牌。我建議75美分的出價，這樣既能為你帶來優勢，又不會佔太多便宜。

為了其他讀者的利益，完整的規則如下：

• 單層。
• 莊家在軟 17 點時停牌。
• 贏了二十一點，賠付等額的錢。
• 玩家可以將前兩張牌加倍。
• 分牌後不加倍。
• 玩家可以重新分成四手牌，包括 A。
• 不抽牌來分牌 A。
• 不投降。
• 六張牌查理（未爆破六張牌的玩家自動獲勝）。
• 每手牌結束後都會洗牌。
• 如果遊戲中的牌用完了，則所有未爆牌的玩家都會自動獲勝。

使用全額依賴型基本策略的賭場優勢為2.13%。我進行了一個7人模擬遊戲，使用全額依賴型基本策略，平均每輪使用牌數為21.65張，標準差為2.72張。在近1.9億輪遊戲中，最多使用牌數為42張，共發生7次。

在我看來，即使電腦完美地運用基於牌型的策略，玩家實際上也永遠看不到最後一張牌。根據你玩牌過程中看到的所有牌，你可以使用基於牌型的策略來進一步降低賭場優勢。然而，一開始就背負著2.13%的賭場優勢，無論你多麼努力，你永遠無法接近收支平衡。

根據我的遊戲比較，二十一點玩家每小時大約玩70張手牌。六副牌遊戲中出現二十一點的機率是24*96/combin(312,2)=4.75%。我假設二十一點平手仍然會蓋章。所以大約要30/0.0475=632手牌才能填滿牌，也就是9.02小時。

假設玩了280手牌，那麼在4小時內完成牌局的機率是3萬分之一，前提是每次只玩一手牌。我懷疑任何在4小時內達到目標的玩家，每次至少都玩了兩手牌。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

在這些規則下，莊家剛好拿到9張牌的21點的機率是32,178,035分之一。以下是不同牌組數量以及莊家拿到軟17點時是否要牌或停牌的機率。

為了回答這個問題，我假設有六副牌。

如果莊家只對贏的黑傑克支付6比5的賠率，那麼通常不允許「等額賠付」。不過，我相信你，名勝世界確實提供這種賠率。

如果玩家的勝率是6比5，那麼玩家拿到黑傑克對A的勝率將達到賭注金額的83%。因此，贏得100%的勝率非常划算。這種情況發生的機率為0.352%。總而言之，對玩家來說，這筆錢的價值為0.00352 × (1 - 0.83) = 0.0006。換句話說，它降低了0.06%的賭場優勢。

我必須提醒讀者，如果黑傑克的賠率是3比2，玩家應該拒絕。在這種情況下，一張黑傑克對一張A的價值是下注金額的1.037倍，所以只接受一個單位的賠率是一個糟糕的決定。