二十一點 - 莊家優勢與規則集

是的，然而，對於採用基本策略的玩家來說，在真人娛樂場中，優勢實際上會更小。這是因為在真人娛樂場中，荷官通常會發牌到一定點數，結束該手牌，然後重新洗牌。如果在切牌或洗牌點時，牌堆裡有很多小牌（對荷官有利），那麼比起在洗牌點時牌堆裡有很多大牌（對玩家有利）的情況，他們更有可能發出更多牌。數千手牌的結果是，發出的小牌數量不成比例地高，這直接導致玩家的投資報酬率降低。這種影響並不大，但從數學上講，在線上賭場使用相同的規則比在實體賭場玩要好。

有關該主題的更多信息，請參閱我的關於切牌效應的二十一點附錄 10。

是的。我總是把平手算進賭場優勢。唯一的例外是某些通常會導致平局的擲骰子賭注，例如位置、買入、下注和硬路，這些賭注往往會持續到結果出來。對於這些賭注，我將賭場優勢定義為每次解決的賭注的預期損失。

很難找到一款二十一點遊戲中，基本策略玩家比莊家更有優勢。在我的網站上，單副牌二十一點的玩家優勢是基於多副牌規則，而這些規則在單副牌遊戲中很少見。我這樣整理表格是為了說明牌組數量的影響。 Unified Gaming 為基本策略玩家提供了我見過的最佳二十一點遊戲。要查看列表，請訪問我的線上賭場索引。如果您玩的遊戲的莊家優勢為負，那麼，是的，這意味著您的賠率會比莊家更高，前提是您採用基本策略。

假設賭注為 1 美元，那麼這 1000 美元的獎金將使賭場優勢從 6.67% 降低到 6.00%。

問得好。可惜我沒有根據具體規則制定的確切標準差數字。我網站上的1.15是基於拉斯維加斯大道的寬鬆規則。我同意分牌後加倍的規則會增加標準差。投降會降低標準差。抱歉，我幫不上忙。

你的觀點很有道理。你寫這篇文章的時候，我會根據一套固定的規則來表示賭場優勢，這些規則只會隨牌堆數量而改變。然而，在現實生活中，當提供單副牌時，其他規則總是會變得更加嚴格。我已經改進了二十一點部分的賭場優勢表，使其包含更多不同的規則。典型的拉斯維加斯單副牌遊戲不允許在分牌後加倍，莊家拿到軟17點。依照這些規則，賭場優勢為0.18%。最好的單副牌遊戲是在Slots-a-Fun（在Circus Circus旁邊），莊家拿到軟17點後停牌，玩家優勢為0.01%。隔壁的Westward Ho允許分牌後加倍，但莊家拿到軟17點後賭場優勢為0.04%。至於算牌，絕對不行，即使是最優秀的算牌高手也常輸。一個月都可能虧本。只有經過很長一段時間才有可能實現淨利。

更新：自從撰寫本文以來，Westward Ho 已被拆除，Slots-a-Fun 只剩下老虎機。

此遊戲的莊家優勢為 0.51%。

我對這個數字很有信心。它是用我的一個隨機模擬程式測算出來的。我猜測軟體開發者犯了一個錯誤，他們只打算像之前的版本一樣，在10和A上設定後期投降。我聯繫了一家使用Unified Gaming的線上賭場，他們甚至不知道新軟體允許在A上提前投降。我提供賭場優勢數據是為了方便我的訪客。 （更新於2005年1月22日：Unified Gaming幾年前修改了遊戲規則，取消了玩家優勢）

莊家拿哪張牌並不重要。重要的是，如果莊家拿到黑傑克，玩家是否能輸掉比原始賭注更多的錢。例如，在Starnet賭場，如果莊家拿到10，而玩家拿到11並加倍，那麼莊家可以隨後抽一張A，也就是黑傑克，玩家將輸掉原始賭注和加倍的賭注。為了適應這條歐洲的「不偷看」規則，當莊家可能拿到黑傑克時，玩家在加倍和分牌時應該更加謹慎。

有關歐洲無底牌規則的更多信息，請參閱我的歐洲二十一點基本策略。

你說得對，莊家更有可能拿到好牌。以下是我在二十一點附錄2中列出的，如果明牌是5，莊家最終總點數的機率。假設莊家拿到軟17點時停牌，我相信你也會這麼做。

• 17：12.23%
• 18：12.23%
• 19：11.77%
• 20：11.31%
• 21：10.82%
• 破產：41.64%

對於那些不明白你問什麼的人，現在有新的洗牌機，可以在每手牌後將二十一點棄牌隨機放回牌堆。如果你使用基本策略，那麼由於沒有切牌效應，洗牌機實際上會稍微降低賭場優勢。我的理解是，它們確實提供了公平的隨機洗牌。然而，洗牌機讓荷官可以減少洗牌時間，花更多時間發牌。這意味著你會花更多時間玩，導致賭場優勢對你造成更大的壓力。

有關連續洗牌機的數學效應的更多信息，請參閱我的二十一點附錄 10 。

我假設使用八副牌，如果莊家拿到黑傑克，則獎金不適用。使用黑傑克計數分析器，我下注 5 美元，玩家優勢為 1.4%。遺憾的是，由於獎金的可比收益會降低，而且下注 25 美元及以上需要支付額外費用，因此下注金額越大，優勢就越小。下注 24 美元時，賭場優勢為 1.4%，下注 25 美元時為 3.3%。這確實是一款非常有趣的遊戲。如果你玩過，請告訴我你的感受。

假設你最重視玩家賠率，建議你選擇Unified Gaming賭場。如果你遵循正確的策略，你將享受0.57%的玩家優勢。

你沒有說明投降規則，所以我假設這是不允許的。根據我的二十一點莊家優勢計算器，在考慮「任意張牌加倍」規則之前，莊家優勢是0.64%。根據我的規則變化列表，允許任意張牌加倍（巴拿馬常見的規則）的莊家優勢是0.23%。因此，整局遊戲的莊家優勢是0.64% - 0.23% = 0.41%。

1986 年我去赫爾辛基時確實見過這些規則。毫無疑問，這是我見過的最糟糕的二十一點規則。

回答你的問題，我的二十一點賭場優勢計算器顯示，賭場優勢為0.54%，這還不包括17-20平手輸錢的規則。我的規則變化清單顯示，17-20平手輸錢的機率為8.38%，對賭場有利。所以，整體賭場優勢應該是8.92%（哎喲！）。

我編寫了自己的組合程序，它會循環處理所有可能的事件，並根據機率對所有可能的結果進行加權計數。除了需要重新拆分對的情況外，我的計算完全正確。

您所經歷的很可能是一些非常糟糕的連敗造成的。也可能是累進投注或策略失誤造成的。基本策略平注的玩家應該對大幅上漲和大幅下跌的預期大致對稱，由於賭場優勢，以及48%的輸牌機率和43%的贏牌機率，他們更傾向於大幅下跌。如果我是為了娛樂而玩，那麼當我不再感到樂趣時，我就會離開牌桌。

我沒有做過任何模擬，但我的明智之舉是肯定的，這個遊戲是可以贏的。這個遊戲的策略是，當賠率對你不利時，下最小注，當賠率對你有利時，下最大注。通常情況下，賭注突然增加50倍會引起巨大的警覺，但在你的遊戲中，算牌者似乎可以肆無忌憚地這樣做。大西洋城剛開業時，賭場無法要求算牌者離開，整張賭桌都坐滿了人，他們的賭注突然從5美元漲到300美元，或者不管最低和最高限額是多少。在遭受重創後，大西洋城賭場懇求博彩當局修改規則，他們得到了批准。這不僅可以被打敗，而且我認為這會是算牌者的夢想。

如果您在二十一點中只贏了等額的錢，那麼賭場優勢就會增加2.3%。我推薦“雙倍或全無”功能，因為它的賭場優勢為零。但是，只在您可以承受損失的金額上加倍投注。

根據我的二十一點莊家優勢計算器，在完美策略下，六張查理規則之前的莊家優勢和分牌後的二十一點 3-2 之前的莊家優勢為 0.34%。

我的規則變體清單顯示，六張查理規則的賠率為 0.16%，而分牌 A 後，3-2 賠付的黑傑克的賠率為 0.19%。分牌 10 仍然不賠付。因此，整體賭場優勢為 0.34% - 0.16% - 0.19% = -0.01%。換句話說，玩家優勢為 0.01%。

總賭場優勢為 [費用 + (賭場優勢) * (投注額)]/[費用 + 投注額]。假設賭場優勢為 0.8%。那麼包含費用的賭場優勢為 [0.25 美元 + 2.00 美元 * 0.008][0.25 美元 + 2.00 美元] = 11.82%。

然而，一個快速簡便的估算方法是簡單地將費用除以賭注，作為費用導致的莊家優勢的增加。

你應該遵循我的多副牌策略，但面對A牌時，也應該像單副牌策略一樣投降。我還沒研究過這種遊戲是否比單副牌遊戲更賺錢，但我很想聽聽那些按照你的建議去做的人的意見。

假設有六副牌，莊家拿到軟17點，如果莊家被迫每手牌都出完，那麼根據我的二十一點附錄2B，莊家爆牌的機率是28.58%。然而，在一對一遊戲中，如果玩家拿到黑傑克或先爆牌，莊家就不會費心抽牌，那麼根據我的二十一點附錄4，莊家爆牌的機率是24.36%。

根據彼得·格里芬的《額外資料》，玩家因失誤造成的平均損失為 1.41%。這高於假設基本策略正確的情況下的賭場優勢。不同地方的賭場優勢也有所不同，例如，大西洋城的玩家比拉斯維加斯的玩家更勝一籌。您之前關於糟糕策略的問題非常好，我已將其添加到我的二十一點專欄中。請參閱我關於糟糕策略的評論。

謝謝你的讚美。這個問題問得好。如果沒有足夠的錢加倍或分牌，但其他方面都玩得正確，賭場優勢就會增加1.9%。

謝謝你的讚美。如果我當時在玩這個遊戲，我會拼盡全力。假設六副牌，其他都遵循拉斯維加斯規則，玩家優勢應該是1.94%。二十一點的2比1賠率，在六副牌的遊戲中，玩家的預期收益增加了2.37%。

你問這個問題的時候，他們仍然在二十一點上支付3-2。在考慮3張或4張牌加倍規則以及六張查理規則之前，我的二十一點賭場優勢計算器顯示賭場優勢為0.50%。我的規則變化清單顯示，3張或4張牌加倍的賭場優勢為0.23%，六張查理規則的賭場優勢為0.16%。因此，總賭場優勢為0.50% - 0.23% - 0.16% = 0.11%。

然而，自從你寫到之後，他們就修改了規則，對同花二十一點的賠率是2比1，對其他所有二十一點的賠率是1比1。這導致賭場優勢從1.13%上升到1.24%。他們仍然掛著「世界上最自由的二十一點」的牌子，如果你把「自由」理解為最低的賭場優勢，這顯然是不真實的。

確實如此。我在我的二十一點附錄10中解釋了原因。玩家數量無關緊要。

根據史丹佛·黃（Stanford Wong）的《基礎二十一點》（Basic Blackjack） ，這條規則會使玩家的預期收益增加0.2%。黃也在第60-61頁指出了這條規則下的一些策略偏差。

謝謝你的讚美。我手邊沒有八副牌的現成數字，但在四副牌的遊戲中，如果莊家在軟17點停牌，假設第一張牌是A，我算出的玩家優勢是51.66%。史丹福·黃（Stanford Wong）在《基礎二十一點》（Basic Blackjack）一書中指出，在六副牌的遊戲中，如果莊家在軟17點停牌，玩家優勢是50.5%。有時，拉斯維加斯的趣味書籍會提供優惠券，可以用A代替二十一點的第一張牌。黃在書中也提到了你所遇到的這種情況。

我在拉斯維加斯的俱樂部見過這種事，不過我記得他們只會從六副牌中切掉兩副。這是一種欺騙手段，看起來用的牌比實際的牌比實際的還要少。從數學上講，賭場優勢與洗牌機的總牌數相同。對非算牌者來說，穿透力並不重要。因此，無論是機器還是人從六副牌盒中切掉兩副牌，牌都是從六副牌盒中取出的。

使用我常用的二十一點莊家優勢計算器，根據常規市中心規則，莊家優勢為 0.1896%。在單副牌遊戲中，玩家拿到黑傑克且無莊家拿到黑傑克的機率為 2*(16/52)*(4/51)*(1-2*(15/50)*(3/49))= 0.046492。將黑傑克贏率從 1.5 降至 1.2，會導致莊家優勢增加 0.046492*(1.5-1.2)= 1.3948%。因此，這款遊戲的莊家優勢為 1.3948%+0.1896%=1.5844%（哎喲！）。如果要保證賠率相同，則賠率必須為 5-1，但玩家只能下注原始賭注的 20%。

我的賭場優勢計算器是基於洗牌後的第一手牌計算的。因此，它非常適合連續洗牌機遊戲。與普遍的看法相反，手牌洗牌遊戲的賭場優勢實際上比連續洗牌機遊戲略高。我將在二十一點附錄 10中更詳細地解釋這一點。

確切的數字很難計算，我就不多說了。不過你的推測是對的，如果荷官在棄牌架上留下很多大牌，但又會把很多小牌放回去，那麼勝算就更大了。這和優先洗牌是一樣的，在手持式遊戲中，荷官會在點數好的時候洗牌，如果點數不好就會再發一輪。優先洗牌在拉斯維加斯確實存在，所以你所描述的情況我也不會感到驚訝。

我在二十一點附錄10中詳細解釋了切牌效應。賭場優勢統計數據是基於非切牌遊戲，可能是出於傳統和數學上的簡單性。不過，你說得對，將切牌納入賭場優勢數據會更準確。不過，我還是堅持以剛洗好牌的第一手牌為基礎來計算賭場優勢數據。分析二十一點本身就夠難的了，更別提總是擔心切牌效應了。

我通常會參考「二十一點規則和特別活動」來了解拉斯維加斯哪裡有最好的二十一點遊戲。令人驚訝的是，他們說凱撒宮擁有最好的基本策略遊戲：雙副牌，任兩張牌加倍，莊家在軟17點停牌，以及延遲投降，賭場優勢為0.13%。

根據史丹佛·黃（Stanford Wong）的《基礎二十一點》（Basic Blackjack），如果第一張牌是A，玩家的優勢為50.5%（頁124）。然而，你的問題可以改寫為：「假設另一張牌不是10，那麼A的點數是多少？」為了簡單起見，我們用一副無限大的牌來計算黃的數字，如下所示：0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x，其中x是你想知道的點數。做一些簡單的代數運算，我們得到x=28.5%。

(1) 這取決於莊家拿到黑傑克時會發生什麼事。如果玩家的損失保證不超過原始賭注，那麼莊家是否拿第二張牌都無關緊要。如果玩家在加倍或分牌後仍將輸掉全部賭注，而莊家拿到黑傑克，那麼這對莊家有利。 (2) 我不需要模擬這種情況，因為玩家的數量無關緊要。

這取決於牌組數量。我只在單副牌遊戲中看過這條規則，所以我們假設只有一副牌。單副牌遊戲中出現黑傑克的機率是 2*(4/52)*(16/51)=0.0483。假設玩家有黑傑克，而莊家沒有黑傑克的機率是 1-2*(3/50)*(15/49) = 0.963265。因此，玩家有黑傑克而莊家沒有黑傑克的機率是 0.046492。每次發生這種情況，賭場都會額外收取 0.3 個單位的佣金，賭場優勢因此增加 0.3*0.046492 = 0.013948，約 1.39%。這是一個巨大的成長，使得這款遊戲成為拉斯維加斯最糟糕的黑傑克遊戲。

實際上，黑傑克幾乎每21手牌就會出現一次。更具體地說，在六副牌的遊戲中，黑傑克出現的機率是2*(4/13)*(24/311) = 0.047489。額外的四分之一美元價值0.25*0.047489 = 0.011872。除以2.50美元的賭注，玩家的預期值將增加0.004749。大多數莊家在軟17點停牌或使用1或2副牌的遊戲，其賭場優勢都低於這個數字。所以，是的，你可以獲得一點優勢。假設六副牌，莊家在軟17點停牌，基於每小時100手牌，玩家每小時的預期利潤為16美分。

是的，這確實很坑爹，尤其是在明牌是10的情況下。這相當於買保險。這裡的賭場在這種情況下總是提供“等額賭注”，如果你拒絕，莊家和其他玩家都會把你當傻子一樣對待。然而，當莊家有一張A時，黑傑克的預期價值是1.04個單位，比你接受等額賭注的1.00個單位要好。所以，除非你擅長算牌，並且知道剩下的牌是10，否則永遠不要接受等額賭注。我很高興我的基本策略幫你贏了。

人們普遍誤以為連續洗牌機在數學上等同於無限牌組遊戲。其實不然。例如，如果第一張牌是 A，第二張牌是 A 的機率略小於 1/13，因為已經從牌盒中取出一張 A。正如我在二十一點附錄 10中詳細解釋的那樣，與切牌遊戲相比，連續洗牌機實際上略微降低了賭場優勢。然而，荷官從不停下來洗牌，所以你每小時會接觸到更多手牌，因此預計每小時的損失也會更大。我非常懷疑 Mohegan Sun 是否允許提前投降，如果他們允許，玩家的優勢將是 0.28%。假設你真的是指延遲投降，那麼根據 Blackjack Edge 軟體的計算，賭場優勢恰好是 0.28%。

這使得賭場優勢增加了1.39%！這是迄今為止拉斯維加斯最糟糕的二十一點遊戲。

這是拉斯維加斯流行的新花招。許多賭場都掛著醒目的「單副牌」二十一點招牌。然而，在一個更小的招牌上卻寫著「二十一點賠率6比5」。除了6比5的規則外，賭場優勢只有0.05%。然而，如果二十一點的賠率是6比5，玩家將額外損失1.39%，總賭場優勢高達1.44%。這是城裡迄今為止最糟糕的二十一點遊戲，我強烈建議你避免玩。

在7點牌局中，他們每小時可以發更多手牌。然而，每手牌的優勢是一樣的。我個人很討厭這種7點牌桌。

從我的二十一點附錄7中，我們可以看出，在單副牌遊戲中，每去掉一張9，賭場優勢就會增加0.20%。然而，如果你想作弊，最好去掉一張A，這會使賭場優勢增加0.58%。如果你作為莊家加一張牌，你應該加一張5，這會使賭場優勢增加0.80%。所以，對玩家來說最好的牌是A，對莊家來說最好的牌是5。

如果您無法加倍或分牌，那麼賭場優勢就會增加1.9%。這說明，如果您需要，您應該隨時準備好加倍或分牌的資金。

因為我們已經知道牌盒裡有一張A被拿走了。這樣一來，牌盒裡剩下的牌就稍微重了10點。牌盒裡10點的比例越大，保險投注贏的可能性就越大。牌盒越少，這種效果越明顯。投保20點（A/9除外）會增加保險下注的賭場優勢，因為牌盒裡少了兩張10點。

這可是個傻瓜式的賭注。莊家爆牌的可能性最大的是牌面朝上6點。然而，即使如此，莊家爆牌的機率也只有42%，具體多少取決於具體規則，而賭場優勢只有16%。

多點牌二十一點的策略與常規二十一點相同。如果點數為 16，而點數為 8，則停牌，輸光的幾率會更低。然而，安全的做法並不總是正確的。要牌會增加贏得兩手牌或三手牌的幾率。可以把它想像成連續玩三手相同的牌。適合一手牌的策略也適合三手牌，或任何數量的牌。

在六副牌的遊戲中，拿到同花黑傑克的機率是：花色數量 * 特定花色的A數量 * 特定花色的十位數 / 312 種組合中的兩張牌組合數 = 4*6*24/組合(312,2) = 576/48516 = 1.19%。我假設黑傑克平手是平手，所以當莊家沒有黑傑克時，拿到同花黑傑克的機率是 1.13%。如果莊家有 1.13% 的機率額外獲得半個單位，賭場優勢就會降低 0.57%。在這種情況下，賭場優勢從 0.62% 降至 0.05%！

感謝您的讚賞。與多玩家視訊撲克類似，假設規則相同，多玩家二十一點的賭場優勢與常規二十一點相同。如果玩家拿到二十一點，他三手牌都能贏。但是，如果玩家拿到16點，他三手牌都必須跟注。總的來說，一切都平衡了。

在切牌遊戲中，答案是否定的。然而，在莊家每副牌恰好發 x 手牌的遊戲中，答案可能是肯定的。原因很難解釋。更多信息，請參閱我的二十一點附錄 10 。

我在蒙特婁的賭場也看過這條規則。沒錯，這的確是玩家串通的好機會，坐在座位上的玩家下小注，然後為了後面的大注玩家做出犧牲。 Stanford Wong 的《基礎二十一點》一書對這個主題進行了深入探討。分牌策略有很多變化，例如，坐在座位上的玩家應該始終分牌，而後面的玩家應該在牌面朝4到6時兩手都出牌，否則只出一手。使用 Wong 的完整策略可以將賭場優勢降低 0.2%。

無論切掉多少副牌，雙層牌遊戲的賭場優勢都是一樣的。許多荷官錯誤地聲稱，切掉一半的雙層牌遊戲的勝率與單層牌遊戲相同。事實並非如此。除非你把切牌的位置也算進去，否則切牌的位置沒有任何差別。

只要雙方都同意，賭場就不太可能阻止你。在某些情況下，這可能不太實際，因為玩家可能會想拿超過3張牌。然而，在10對4的情況下，玩家不應該拿第四張牌，因此這是一個好主意。雖然有點不切實際，但如果雙方能商定價格，你也可以主動提出買下玩家的牌，然後自己出牌。我的二十一點附錄9顯示了所有牌的公平價值。例如，假設另一位玩家拿到了黑傑克，而莊家拿到了一張A。大多數玩家會接受等額的賭注。你可以給該玩家高於等額的賭注，但低於103.8%，然後自己出牌，這樣就可以賺錢。但是，不要把這個提議擴展到算牌者身上。

謝謝你的讚美。假設莊家拿到軟17點，你在雙牌遊戲中使用4-8牌策略會增加0.012%的賭場優勢。而在六牌遊戲中使用雙牌策略則會增加0.008%的賭場優勢。為了進一步探討這個問題，我想到一個更極端的情況：在單牌遊戲中，莊家拿到軟17點時停牌，而你也使用4-8牌策略。在這種情況下，錯誤的基本策略會使賭場優勢增加0.038%。

我以前從未聽說過這條規則。根據我的分析，允許分牌後加倍會使賭場優勢降低0.08%。然而，與分牌到四手牌相比，不允許重新分牌任何一對會使賭場優勢增加0.06%。因此，兩條規則結合起來會使賭場優勢降低0.02%。以下是分牌後何時加倍的基本策略，假設牌堆中有4到8副牌，並且莊家在軟17點停牌：

軟 12 至軟 16：對任何牌加倍
軟 17：對 2 至 9 的牌加倍
軟 18：3 比 6 時加倍
軟19到21：永不加倍

謝謝你的讚美。我好像之前在某個地方回答過這個問題，但允許玩家在分牌A上加倍，會讓玩家的預期值額外增加0.08%。這遠不及玩家在黑傑克以6比5輸掉1.39%的預期值。

是的，我理解這個問題的意思是，莊家可以在第二張牌發到分牌A之後加倍。如果玩家可以單獨用每張A加倍，那麼賭場優勢就會降低0.21%（基於無限牌堆）。如果只有一張A，玩家應該選擇在莊家任何明牌的情況下加倍。

這規則太棒了！只要你投降輸掉3美元賭注的三分之一，就能增加2.25%的預期回報。你沒告訴我其他規則，但如果我們假設投降規則之前的莊家優勢為0.5%，那麼之後的玩家優勢就是1.75%。以下是六副牌遊戲中你應該投降的牌型（軟17點要牌或停牌都無所謂）。

• 玩家 6 對抗 10。
• 玩家 12 或 13 對抗莊家 9、10、A。
• 玩家 14 或 17 對抗莊家 8、9、10 或 A。
• 玩家 15 或 16 對抗莊家 7、8、9、10 或 A。

通常情況下，唯一一手牌是8.8對10，你通常會選擇投降。這個建議只適用於3美元的下注。隨著奇數下注的增加，投降的價值會逐漸降低。

這真是個好機會。假設有六副牌，莊家拿到黑傑克的機率是 2*(4/13)*(24/311)*(1-2*(95/310)*(23/309)) = 4.53%。所以每次黑傑克下註一半，價值 2.27%。假設莊家優勢為 0.5%，那麼玩家優勢就是 1.77%。策略和常規黑傑克一樣。可惜我錯過了。

不允許分牌A，會使莊家優勢增加0.18%。只有牌面為6時才應加倍，否則要牌。

是的！如果你把七算作-12，其他牌算作+1，那麼當真實點數（流水點數除以剩餘牌堆）達到或超過5點時，邊注的賠率就會向玩家傾斜。根據我在六副牌遊戲中的模擬，在沒有三張牌保證的情況下，滲透率為75%，真實點數達到或超過5點的機率為23.2%，此時玩家的平均優勢為27.3%。在有三張牌保證的遊戲中，平均優勢則上升到29.1%。

根據我的計算，在最佳策略下，這將使玩家獲得約 8.8% 的優勢。在大多數情況下，最佳策略與雙重曝光策略相同。但是，如果你認為莊家會再次亮出底牌，我建議你不要讓對方知道你的底牌，也不要做出通常看起來很荒謬的出牌（例如在 20 點的情況下拿到 19 點）。

不分割將使玩家損失 0.58%。
不加倍會使玩家損失 1.47%。
不分牌也不加倍會使玩家損失 1.91%。

是的。在內華達州，任何紙牌遊戲的視訊版本都必須使用公平洗牌的牌組進行發牌。換句話說，您應該能夠預期與規則相同的現場遊戲結果相同。因此，基本策略表也適用於影片二十一點。

[Bluejay 補充說：我見過的每一個視頻二十一點遊戲都只對自然牌支付等額的錢，這大大增加了賭場優勢。 ]

史丹福‧黃（Stanford Wong）在其著作《基礎二十一點》（Basic Blackjack）中給出了這樣的基本策略，見表46。他也提到，1995年拉斯維加斯波本街賭場（Bourbon Street casino）曾推出一項促銷活動，每50分鐘，荷官會亮出自己的兩張牌，持續五手。據黃稱，在此期間，玩家的優勢約為10%。

當我發現賭場不公平時，我通常不會回去查看他們是否已經停止了遊戲。有時，如果賭場要求我停止遊戲，並且我覺得問題可能是意外，我才會這麼做。以下是一個基於無限牌堆的基本策略，莊家在軟17點時停牌並發出第二張牌。我所說的第二張牌是指，如果第三張牌，而且只有第三張牌，足以讓莊家破牌，那麼這張牌就會被跳過，然後發出下一張牌，無論它是什麼。否則，遊戲繼續正常進行。這種遊戲的賭場優勢為9.3%。我以前也要求過捐款，但我收到的捐款很少，所以我就放棄了。現在，該網站已經完全靠廣告收入維持運作了。

我的二十一點附錄7可以用來近似解答這個問題。加一張A牌會讓玩家的勝率增加0.005816/24 = 0.00024。去掉一張2牌會讓玩家的勝率增加0.003875/24 = 0.000161。所以總效果是0.000404，也就是賭場優勢降低0.04%。

不。如果分牌是正確的玩法，你應該每次都這麼做，否則就永遠不這麼做。所以，如果你玩得正確，這條規則就毫無意義。

謝謝你的讚美。計算過程中有幾個假設可能會導致細微的差異。例如，每手牌後是洗牌還是使用切牌？玩家使用的是完全依賴型基本策略還是組合依賴型基本策略？是否考慮了規則間的相互作用，還是計算器只是簡單地將每條規則的影響相加？我的數據是基於使用完全依賴型基本策略的隨機模擬得出的，這兩種策略都對玩家不利，這可能是我的得分略高的原因。也可能是因為隨機模擬中的樣本數不足。儘管存在所有這些因素，我認為差異仍然可以忽略不計：每玩11,000手牌，只有一次下注。

不客氣。這遊戲挺有意思的。假設除了二十一點以外，其他牌型的賠率都是1比2，二十一點的賠率是13比2，我算出玩家優勢是0.7%，假設有六副牌。以下是這款遊戲的基本策略。

這取決於你的遊戲行為。如果你玩得激進，總是押註一半的資金，你的優勢可以非常接近10%，直到你的資金翻倍，或在嘗試中破產。我的建議是保持短線操作，要么贏大錢，要么輸光所有錢，無論哪個先發生。

謝謝。如果你能保持比洞賽，你應該會經常投降。我的二十一點附錄9很適合用來解決這類問題。比洞賽的價值大約只有牌面價值的一半。所以，如果這手牌的預期價值低於-1/3，你應該投降。假設莊家拿到軟17，以下就是這些情況。

• 玩家 6 對 10-A
• 12號球員對9-A隊
• 13號球員對8-A
• 14號球員對8-A隊
• 15號球員對上7-A
• 16號球員對上7-A
• 17號球員對8-A
• 玩家 8,8 對 9-A

如果莊家在軟 17 點上停牌，策略是一樣的，只是玩家不會在 A 點上放棄 6 點。

我認為，在家庭遊戲中，荷官應該制定寬鬆一些的規則。用苛刻的規則坑朋友可不是什麼好事。如果你使用雙副牌，我建議前兩張牌加倍，分牌後加倍，莊家在軟17點停牌。否則，遵循標準規則。這樣一來，賭場優勢只有0.19%。然而，如果玩家犯錯，賭場優勢應該遠不止於此。

1986年我去赫爾辛基的時候確實看過這些規則。當時我才20歲，我不好意思說我玩過這個遊戲，因為在美國我還未成年，距離成為巫師還有好幾年的時間。事實上，那應該是我玩過的第一場合法的二十一點遊戲。當時，旁邊就有一張單零輪盤賭桌。

我假設兩種情況下莊家都會在軟17點停牌。據我了解，瑞典允許分牌後加倍，但芬蘭不允許。假設我在瑞典的賭場優勢為5.99%，芬蘭的賭場優勢為8.93%。以下是基本策略圖表。

我覺得芬蘭的規則很糟糕。我猜平手算輸。平手打平根本沒道理，比贏好。所以，如果平手輸，贏了一半賠率，而黑傑克的賠率是11比2，那麼賭場優勢就是51%！

聖經裡不是有一條戒律禁止偷竊嗎？我算了一下，這個遊戲的莊家優勢是9.3%（哎喲！）。以下是針對這種「平局輸掉二十一點」變體的適用基本策略。請參閱第110欄，了解玩家在軟牌上可以加倍的版本。

謝謝。從314張牌的牌盒中發出的兩張牌中至少有一張百搭牌的機率是1-( combin (312,2)/combin(314,2)) = 1.27%。因此，將普通牌型變成自動贏家的機率是1.27%。假設普通牌型的預期值為-0.005，則第一條規則的值為0.0127*(1-(-0.005)) = 1.28%。您可以從我的二十一點部分看到，五張查理規則的價值為1.46%。假設每手牌後都會洗牌，或者您被迫平注，那麼作為玩家，如果可以選擇，我會選擇五張查理規則。然而，百搭牌規則很容易被進一步利用。牌盒中百搭牌與普通牌的比例越大，您就應該下注越多。有了至少 50% 的甲板穿透率，這應該足以使其成為更好的規則。

哇！根據我的計算，這會導致玩家優勢達到 6.4%。我假設這條規則在加倍和分牌後也適用。以下是該規則的基本策略。

一般來說，如果你的16點牌中至少有一張4或5，那麼賠率通常更有利於停牌。這顯然是因為4或5會讓你得到20或21點，而剩餘的牌堆中至少少了一張。 16點對10點的勝負是如此微妙，以至於這種效應可能會對遊戲結果產生影響。在兩副牌的遊戲中，我證明遵循45規則可以將賭場優勢降低0.015%。而在六副牌的遊戲中，它只能將賭場優勢降低0.003%。

正如我的二十一點部分所示，二十一點的2比1賠率價值2.27%，三張牌加倍的賠率價值0.23%。除此之外，規則看起來很標準。綜合考慮，二十一點遊戲中的莊家優勢是玩家優勢的2.1%。擲骰子遊戲中，4點或10點獲勝的機率是(6/36)×(3/9) = 5.56%。每次出現這種情況，你都會獲得一個額外的單位，因此價值5.56%。通常情況下，來注的莊家優勢是1.41%，因此，根據此規則，玩家優勢總體為4.15%。所以我同意擲骰子是更好的遊戲。

假設有六副牌，抽到同花黑傑克的機率為 4×6×24/combin(312,2) = 1.19%。因此，每手牌的 25 美元獎金價值為 25×0.0119 美元 = 0.2968 美元。抽到同花 7-7-7 的機率為 4 × combin (6,3)/combin(312,3) = 0.000015957。因此，抽到 100 美元的價值為 0.0016 美元。抽到同花 6-7-8 的機率為 4×6 ³ /combin(312,3) = 0.00017234。因此，抽到 100 美元的價值為 0.0172 美元。抽到同花黑桃 A 和 J 的機率為 6×6/combin(312,2) = 0.0007420。所以，額外加100美元，價值0.0928美元（玩家已經因為同花黑傑克獲得了25美元）。加起來，獎金價值11.25美分。所以，這遠遠不足以彌補50美分的佣金。

gamblingtools.net (www.gamblingtools.net/bj/ppbj.html) 上的二十一點計算器非常適合這類遊戲。現在你只需要讓賭場允許你在賭桌上使用電腦。

當我讀到這些規則時，它們如下：

• 1副甲板
• 莊家拿到軟17
• 僅限 9 至 11 點雙倍
• 允許分牌後加倍（遵守 9 比 11 規則）
• 不投降
• 二十一點賠率為 3 比 2
• 發牌者總是偷看二十一點

這是基本策略。

根據這些規則，賭場優勢為 0.16%。

假設有六副牌，你的牌與莊家的明牌相同但不同點的機率為 (77/311)*(234/310) = 18.69%。你的兩張牌與莊家的明牌相同但不同點的機率為 (77/311)*(76/310) = 6.07%。從我的二十一點附錄4中，我們可以看到二十一點贏的機率為42.39%，輸的機率為49.10%。贏的機率比輸的機率高出42.39%/(42.39%+49.10%) = 46.33%。因此，一個行動籌碼的價值約為面值的46.33%。本促銷活動的價值為46.33%*(18.69%*$5+6.07%*$10) = 0.7142，或每手牌約71美分。 5美元二十一點賭注的預期損失約為3美分。根據我的二十一點附錄8，我們看到超過13點賭注的賭場優勢為6.55%，因此5美元賭注的預期損失為5美元*0.0655 = 0.3275。因此，由於賭場優勢，兩筆賭注的預期損失約為36美分，預期收益為71美分，每對賭注的淨收益為35美分。

這取決於具體的規則，但通常賠率較高，因為二十一點的賠率是等額的。我在Suncoast賭場查了一下，他們的規則如下：一副牌，莊家在軟17點停牌，二十一點賠率等額，允許後期投降，玩家只能在10點或11點加倍，不允許分牌後加倍，分牌的A牌每張得一張牌，只允許分牌一次，六張牌查理，莊家必須在六張時停牌。這款遊戲的賭場優勢為2.39%。

我的二十一點附錄4顯示，假設遵循大西洋城規則，二十一點淨贏、淨輸和平手的機率分別為40.59%、42.69%和12.44%。不計平局，贏的機率為40.59%/(40.59%+46.97%) = 46.36%。跳過平局，連續贏三局的機率為0.4636 ^÷3 = 9.96%。假設有六副牌，2比1的二十一點賠率額外價值0.02267。因此，玩家將獲得0.0996*0.02267 = 0.002258。賭場優勢通常高於此，但這已經是一個不錯的降低。所有這些都假設你進行平注。如果您可以在「火熱」牌上投入更多賭注，您就可以以 1.5% 到 2.0% 的莊家優勢擊敗它們，具體取決於具體規則。

我指出，這條規則對玩家來說價值0.026%。儘管面對莊家2-7的牌，玩家有打出7,7的動機，但玩家仍應遵循基本策略，分牌。

先是莊家贏平局，現在又這樣。芬蘭的二十一點規則真是奇葩到爆，簡直是世界第一。這是你的基本策略。

假設有六副牌，沒有莊家底牌，莊家在軟 17 點停牌，不投降，允許分牌後加倍，並且允許重新分牌 A，我的莊家優勢為 1.86%。

根據唐·施萊辛格的《黑傑克攻擊》中著名的「傑出 18 人」表，從根據點數改變策略獲得的價值來看，保險是算牌者最有價值的牌。當真實點數為 +3 或更多時，投保的價值可為玩家的整體優勢增加 0.117%，基於高低點數，範圍從 1 到 8。然而，這還不到策略改變帶來總優勢的一半。只看前 18 種根據點數打法（傑出 18 人）加上前 4 種根據點數投降（披頭四），算牌者的總價值為 0.469%。因此，正確的保險只佔策略改變價值的 25%。一個好的算牌者會透過在好的點數下更多賭注再獲得大約 1% 的收益。因此，取消保險選項只會使點數的總價值減少約 8%。在英國，這個數字會略低一些，因為你還是可以用黑傑克投保。優勢數字比較粗略，取決於許多因素。所有退保偏差的價值與保險偏差的價值大致相同。

為了其他讀者的利益，二十一點規則如下。

• 8副甲板
• 莊家在軟 17 點停牌
• 發牌者總是偷看二十一點
• 僅限硬 8 至 11 的雙倍
• 允許分牌後加倍
• 每手牌後洗牌
• A 牌不可拆分。其他所有相同大小的牌只能拆分一次。
• 同花二十一點賠率為 2 比 1
• 5 張牌 21 點自動獲勝，賠率為 2 比 1

根據這些規則，我的賭場優勢是0.02%。以下是基本策略。

至於其他遊戲，百家樂中莊家投注的佣金為2.75%，賭場優勢為0.03%。輪盤賭和視訊撲克的賭場優勢為零。

二十一點、百家樂和輪盤賭的投注限額為 5 至 50 英鎊，視頻撲克的投幣額為 1 英鎊，最高投注額為 5 個硬幣。

謝謝，不客氣。是的，一般來說，規則越好，最低投注金額就越高。

在六副牌的撲克牌盒中，黑傑克的機率出現為 2 × (6/312) × (12/311) = 0.001484。我假設如果莊家也拿到黑傑克，那麼這手牌就是平手。也就是說，假設玩家拿到了黑傑克，而莊家沒拿到的機率為 1 - 2 × (23/310) × (95/309) = 0.954379。因此，贏得黑傑克的機率為 0.001484 × 0.954379 = 0.001416。每當發生這種情況時，額外 8.5 個單位的價值為 8.5* 0.001416 = 1.2039%。假設拉斯維加斯大道的規則較為寬鬆，賭場優勢為0.28% ，那麼依照 10 比 1 法則，玩家優勢為 0.92%。

根據我對拉斯維加斯二十一點規則的調查，這款遊戲的賭場優勢為 1.30% 或 1.33%，具體取決於牌的數量是五副還是八副。任何二十一點賠率 3 比 2 的遊戲中，勝率都會更高。如果你玩這款遊戲（其實你不該玩），你還是應該一直持有二十一點。我個人認為，招牌上「世界上最自由的二十一點」的宣傳是虛假廣告。

您提到的遊戲是 Shufflemaster 為其 TMS-300 系列遊戲開發的。它在數學上等同於手牌遊戲。應該使用常規的基本策略。在賓州，為了滿足博彩法規，每位玩家使用單獨的牌盒，這樣一位玩家的行動就不會影響其他玩家。在其他所有州，都使用單牌盒。 Shufflemaster 告訴我，以下規則適用於所有單位。

7 張牌的查理。
允許分牌後加倍。
允許延遲投降。
玩家只能分牌一次。
分開的 A 牌每人得一張牌。
六副牌遊戲中，牌盒穿透2/3後洗牌。洗牌時間不通知玩家。單副牌遊戲中，每局牌後洗牌。

下表顯示了可配置規則和每個變體下的莊家優勢，假設完全依賴的基本策略。

哎呀！不允許分牌A會讓玩家損失0.18%。根據完全依賴基本策略和切牌遊戲，這些規則下的賭場優勢總體為0.81%。

為了其他讀者的利益，完整的規則如下：

• 單層。
• 莊家在軟 17 點時停牌。
• 贏了二十一點，賠付等額的錢。
• 玩家可以將前兩張牌加倍。
• 分牌後不加倍。
• 玩家可以重新分成四手牌，包括 A。
• 不抽牌來分牌 A。
• 不投降。
• 六張牌查理（未爆破六張牌的玩家自動獲勝）。
• 每手牌結束後都會洗牌。
• 如果遊戲中的牌用完了，則所有未爆牌的玩家都會自動獲勝。

使用全額依賴型基本策略的賭場優勢為2.13%。我進行了一個7人模擬遊戲，使用全額依賴型基本策略，平均每輪使用牌數為21.65張，標準差為2.72張。在近1.9億輪遊戲中，最多使用牌數為42張，共發生7次。

在我看來，即使電腦完美地運用基於牌型的策略，玩家實際上也永遠看不到最後一張牌。根據你玩牌過程中看到的所有牌，你可以使用基於牌型的策略來進一步降低賭場優勢。然而，一開始就背負著2.13%的賭場優勢，無論你多麼努力，你永遠無法接近收支平衡。

我假設玩家必須支付這50美分。我的二十一點賭場優勢計算器顯示，根據這些規則，不含稅的賭場優勢為0.36%。再加上0.5/10 = 5%。所以總賭場優勢是5.36%。在我看來，僅憑原則，玩家就應該拒絕玩這個遊戲。

是的，確實如此。 Shufflemaster 告訴我，為了符合老虎機的定義，一個玩家的行為不能影響其他玩家，就像真人二十一點一樣。為了避免這項規則，每位玩家和莊家都會從一副獨特的六副牌盒中發牌。所以，你掌握著自己的命運，而不是其他玩家或莊家的命運。我知道這款遊戲是用六副牌盒設計的。根據我的模擬，為玩家和莊家使用不同的牌盒會使賭場優勢增加 0.06%。

謝謝你的讚美。我假設莊家拿到軟17，並在允許分牌後加倍。根據Don Schlesinger在《Blackjack Attack》一書中的D17表，每副牌去掉一張10會讓賭場優勢增加0.5512%。如果用六副牌來算，除以六，賭場優勢就會增加0.09%。

洛杉磯縣的每家賭場似乎都有不同的二十一點規則，而且經常變化。這些規則通常很難分析。恐怕我已經採取了一項非正式的政策，不再花時間在洛杉磯怪異的二十一點場景上。

謝謝，我已記錄。通常情況下，在Palace Station規則（雙副牌，莊家拿到軟17，分牌後加倍，再分牌A）下，賭場優勢為0.40%。這項規則將賭場優勢提升至0.86%。下表顯示了這條規則帶來的賭場優勢的提升。

基於六副牌，我證明，如果玩家持有21點，而對手是黑傑克，賭場優勢會降低0.37%。如果玩家持有黑傑克，賠率為3比2，賭場優勢會降低0.32%。無需調整策略。

類似問題的答案可以用我的賭場優勢計算器來找到，只需修改一條規則，並記錄對賭場優勢的影響。通常我會讓你這麼做，但今天我比較有耐心，所以就給你：

6副牌，莊家在軟17點停牌：0.0726%
8副牌，莊家在軟17點停牌：0.0758%
6副牌，莊家拿到軟17點：0.0882%
8副牌，莊家拿到軟17點：0.0916%

除非你算牌，否則你應該盡可能重新分牌，在六副牌的牌盒中最多可以分24手。無限次重新分牌的價值與最多三次相比微不足道。這取決於是否允許分牌後加倍，但無論如何，其價值遠低於0.01%。

如果你下注 5 美元（不包括 50 美分的手續費），那麼賭場優勢就會增加 9.09%！增加額的一般公式是 c/(b+c)，其中 b 代表投注額，c 代表佣金。假設每小時玩 60 手牌，那麼佣金將花費你每小時 30 美元（哎喲！）。

為了方便其他讀者，俄克拉荷馬州的賭場與洛杉磯地區的賭場類似，玩家輪流押莊。如果您有能力承擔支付賭桌上所有其他賭注的風險，那麼請務必這樣做。如果還沒輪到您押莊，就不要下注。

我認為，在那些配有大螢幕和魅力荷官的大型「桌王」（Table Master）機位上，你贏錢的幾率最高。這類機位現在越來越容易找到，但我不清楚特定的名單。在低賭注賭場，你找到這類機位的幾率會更高。有些賭場的二十一點賠率是3比2，而有些只有6比5。例如，裡維埃拉賭場的機位規則如下：

• 6副牌（4副牌後洗牌）
• 二十一點賠率為 3 比 2
• 莊家拿到軟 17
• 允許分牌後加倍
• 允許任兩張牌加倍
• 允許投降
• 只分成兩隻手
• 七張牌查理（未爆牌的 7 張牌自動獲勝）
• 投注範圍：2美元至200美元

根據這些規則，賭場優勢為0.68%。如果您玩的是等額投注遊戲，賭場優勢將為1.4%到2.0%，具體取決於其他規則。請務必使用玩家卡來贏取賭場提供的任何現金、免費遊戲或贈品。

下圖展示了其中一種產品。

你拿到黑傑克的賠率是21比32。這相當於額外的1/42，也就是2.38%。在六副牌的遊戲中，黑傑克獲勝的機率是4.53%。所以，這相當於2.38% × 4.53% = 0.11%，這還不錯。然而，我認為這不是一個很優雅的技巧。

假設每小時玩70手，賭場優勢為0.64%，下注5美元，那麼扣除手續費前的玩牌成本為5美元×70×0.0064=2.24美元。相比之下，20美元的手續費相當高。考慮到你每小時下注350美元，預期總損失為22.24美元，賭場優勢為22.24美元/350美元=6.35%（哎喲！）。

這取決於其他規則，但假設六副牌且分牌後加倍是正常允許的，那麼賭場優勢只會增加0.39%。如果分牌後加倍通常不允許，那麼賭場優勢只會增加0.24%。這種情況其實適用於Triple Shot遊戲，由於它是單副牌遊戲，我的賭場優勢為0.33%。請記住，在二十一點遊戲中，這些數字可能會有0.03%左右的誤差，這取決於分析方法。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

大西洋城的標準規則是 6 副或 8 副牌，莊家在軟 17 點停牌，分牌後允許加倍，不投降，不重新分牌 A，玩家只能分兩次其他對子。然而，Resorts 也有一些遵循這些規則的牌桌，只不過莊家要了軟 17 點。使用我的二十一點莊家優勢計算器，假設有 8 副牌，如果莊家在軟 17 點停牌，莊家優勢為 0.46%，如果要牌，則為 0.67%。如果每手牌必須支付不可退還的費用，則莊家優勢增加的一般公式是 f/(b+f)，其中 f 是費用，b 是初始賭注。在這樣做時，我將莊家優勢定義為預期損失與賭注和費用總和的比率。因此，下注 2 美元，莊家優勢增加 0.25/2.25 = 11.11%。下注5美元時，漲幅為0.25/5.25 = 4.76%。我猜想，在這些牌桌上，莊家可能會拿到軟17，這樣一來，下注2美元時，賭場整體優勢為11.78%，下注5美元時，賭場整體優勢為5.43%。這比拉斯維加斯的6比5遊戲或等額投注遊戲要糟糕得多。不過，這比我在芬蘭看到的平局輸錢規則要好得多。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

假設有六副牌，莊家在軟17點停牌，玩家可以重新分牌，最多分到四手牌。每次基本策略變化的影響在於該手牌出現的機率以及出現錯誤打法的成本。我的二十一點附錄9顯示了每手牌出現的機率以及每種打法的預期價值。假設玩家選擇要牌而非分牌，對遊戲預期價值的影響如下：

機率(8,8 vs A)×(EV(擊中)-EV(拆分)) + 機率(8,8 vs 9)×(EV(擊中)-EV(拆分)) + 機率(8,8 vs 10)×(EV(擊中)-EV(拆分))
= 0.0003036 × (-0.513551 -(-0.364371)) + 0.0004404 × (-0.505707 -(-0.38995)) + 0.0016249 × (0.53531 -5385)
= -0.019%。

因此，如果莊家拿到 9、10 或 A，而玩家拿到 8、8，賭場優勢就會增加 0.019%，也就是說，每玩 5,300 手牌，賭場優勢就會增加一次。如果玩家選擇投降而不是拿牌，賭場優勢就會降至 0.013%。所以，這並不是一個重大錯誤。相比之下，在六副牌的遊戲中，如果玩家拿到“等額賭注”，而莊家拿到 A，賭場優勢就會增加 0.014%。如果玩家對每張黑傑克和 20 都投保（這是一個常見的錯誤），那麼錯誤成本就會躍升至 0.149%！

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我指出，牌桌上每增加一名玩家（不包括您自己），該規則的賭場優勢為 0.10%。根據我的二十一點莊家優勢計算器，在考慮該規則或允許三張牌加倍的規則之前，賭場優勢為 0.48%。三張或三張以上牌加倍的賭場優勢為 0.23%。為了做出合理的推測，我們假設恰好三張牌加倍的賭場優勢為 0.20%，將賭場優勢降至 0.28%。考慮到 2-1 的二十一點規則，以下是根據包括您在內的所有玩家人數計算的賭場優勢。

我表明規則組合具有 0.65% 的玩家優勢！

最後提到的規則在澳門的法老宮也適用。不過，那裡的牌局是收支平衡的，因為還有其他一些不好的規則，例如只有11點才加倍。我在澳門巫師的二十一點頁面上有一個針對五張牌半贏規則的策略。

我知道。金神賭場（Mohegan Sun）將於7月15日早上6點開始，推出為期24小時的「三倍下注」促銷活動。活動適用於所有二十一點和西班牙21點賭桌，最高額外投注額為500美元。詳情可在金神賭場的促銷頁面上查看。新聞編輯室之前有以下聲明，但已刪除：

點數為 11 點，想加倍下注？ 7 月 15 日星期四，玩西班牙 21 點或二十一點的玩家，在 7 月 15 日上午 6:00 至 7 月 16 日上午 5:59 期間，將有資格進行三倍下注。玩家收到前兩張牌後，可以進行額外下注，最高可達原始賭注的三倍。所有賭桌均提供三倍下注，最高下注金額為 500 美元。標準加倍下注規則適用。

移除的內容表示玩家可以加註四倍，因為總賭注將是初始賭注的四倍。這可能是因為印刷錯誤而被移除。

我聽說二十一點使用六副牌，軟17點停牌，分牌後允許投降和加倍，但不允許再次分牌A。通常情況下，這些規則下的賭場優勢是0.36%。我不確定玩家在分牌後是否允許加倍/三倍。以下是不同規則下的玩家優勢：

• 玩家可以在前兩張牌加倍下注，分牌後加倍下注：1.39%
• 玩家可以在前兩張牌上三倍下注，分牌後三倍下注：1.59%
• 玩家可以在前兩張牌加倍下注，分牌後加倍下注：3.20%
• 玩家可在前兩張牌加註四倍，分牌後加註四倍：3.62%

任何收費的遊戲（這在加州的紙牌賭場很常見）的賭場優勢增量為 f/(f+b)，其中 f 是費用，b 是賭注。在這種情況下，我將賭場優勢定義為玩家預期損失與賭注加費用總和的比率。因此，如果你的二十一點賭注為 2 美元，那麼賭場優勢增量為 0.25/2.25 = 11.11%。如果你下注 5 美元，那麼賭場優勢增量為 0.25/5.25 = 4.76%。

我的建議是，如果您無法承擔最低 10 美元的費用以避免費用，那麼可以玩影片二十一點或其他遊戲。

www.pressofatlanticcity.com上有一篇關於此的文章。

史丹福‧黃（Stanford Wong）在他的著作《基礎二十一點》（Basic Blackjack）中探討了二十一點中的百搭牌。書中他指出，每副牌中每張百搭牌對玩家來說價值4.2%。因此，每副牌中半張百搭牌的價值為2.1%。書中也介紹了一個策略，根據你的其他牌以及莊家的明牌，決定將哪張牌作為百搭牌。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我假設有六副牌，莊家拿到軟17，分牌後加倍，投降，然後重新分牌。如果不允許小牌加倍，那麼我的玩家優勢是4.9%。這是正確的策略。顯然，這個策略可能會引發一些危險訊號。

如果允許小額加倍，那麼我採用以下策略可以獲得最高9.4%的玩家優勢。小額加倍時，盡量少下注，最好只加一分錢。我的9.4%是基於小額加倍下注的假設。實際上，大多數賭場都要求至少達到賭桌最低投注額才能加倍。

這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。

我指出，與最多分牌至四手牌相比，無限次重新分牌的價值，如果該規則適用於所有對子（包括A），則價值為0.05%；如果不包含A，則價值為0.02%。這個問題是在我的配套網站「拉斯維加斯巫師」（Wizard of Vegas）的論壇上提出並討論的。