二十一點 - 常問問題
賭場在二十一點中有何優勢?
莊家佔優勢,因為玩家必須先出牌。如果雙方都爆牌,雖然不算平局,但你輸了。
贏得二十一點錦標賽的最佳方法是什麼?我常規比賽似乎表現不錯,但從來沒能進入前兩名晉級。看來我最多只能拿到第三名。
關於二十一點錦標賽策略,可以寫一整本書。簡而言之,以下是一些建議:
- 位置優勢非常重要。最後行動時,正是下大注的最佳時機。
- 一開始就耐心等待。有時,在一張冷桌上,其他人都累得筋疲力盡,而你卻能輕鬆奪得第一名。
- 下半輪比賽需要冒很大的風險才能獲得第一名。
- 如果與另一個玩家競爭,當你領先時你想與他下注,當你落後時你想與他下注。
- 注意允許的最大下注額。如果最大下注額相對於玩家籌碼量較小,你應該儘早採取激進的策略。
首先,我非常喜歡您的網站,我會拜訪每一位廣告商,為它提供支援。希望您的網站經濟狀況良好,因為您無疑為許多人節省了不少錢。我在賭場看到的景象令人驚嘆,我會向所有願意聽的人推薦您的網站(大多數輸家不會聽,我拿到12點,而莊家拿到2點,即使我解釋了其中的數學原理,也會被人狠狠地批評)。我的問題是,您對參加二十一點錦標賽的玩家有什麼建議嗎?我參加過幾次錦標賽,幾乎都晉級“錢圈”,除了緊跟領先者並在最後一手牌上押注之外,沒有任何真正的策略。任何建議都將不勝感激!
謝謝你的讚美。我很感謝你訪問廣告商的想法。然而,賭場不像以前那麼在意點擊率了,現在重要的是新的真錢玩家,以及這些玩家能帶來多少利潤。所以,除非你真的會玩,否則點擊橫幅廣告已經沒有壓力了。
二十一點錦標賽不是我的強項。關於這方面的建議,我強烈推薦史丹佛黃(Stanford Wong)的《賭場錦標賽策略》(Casino Tournament Strategy) 。黃說,如果你落後,就應該與領先者對賭,他下大注時你下小注,他下小注時你下大注。如果你領先,就應該與第二高的玩家對賭。這本書講得更詳細。說到支持我的網站,在亞馬遜上買書時,點擊我的連結會很有幫助。
首先,我對您的網站和資訊讚不絕口,您不僅在網路上,還在電視和新聞通訊中持續提供詳盡的資訊。我知道,每當我遇到關於賭博數學的棘手問題時,我都可以隨時向您求助。
我的問題與某些二十一點圈子裡所謂的「缺陷」有關。簡而言之,它指的是基本策略的最初創造者在他們的計算中編寫了一個缺陷,而其他數學家在製定基本策略時,又一次又一次地重複了這個缺陷。正如一位「缺陷」的支持者所說:「只有三個人知道這個缺陷,他們在這個論壇上發帖。其中一位是最近退休的IBM老手,他證實,要找到這個缺陷,就必須編寫一個計算機模擬程序來做到這一點——因此,事先了解情況是必要的。數學小子們確信他們是正確的;但索普不明白為什麼贏錢的人這麼少了。
那麼,這個缺陷到底是什麼呢?它真的有道理嗎?還是說它只是理論上的胡扯?我知道很容易就駁斥那些反對者,但我確實很感興趣。
謝謝你的讚美。這個「缺陷」理論簡直是一派胡言,考慮到它通常被討論的都是些糞坑,這並不奇怪。並非某個人創造了基本策略,然後其他二十一點專家就照搬了。無數數學家從零開始發展了基本策略,最終得出了相同的結論。我覺得,包括我在內的所有人,都不太可能在程式中犯下同樣的錯誤。
據我了解,賭場非常重視玩家的理論贏利。我認為我的理論價值與賭場的兼容性直接相關。如果我平均下注10美元玩二十一點,每次平均玩3小時,賭場用什麼公式來決定我的理論價值?提前謝謝您。
是的,賭場會計算玩家玩牌的價值,然後以一定比例返還,大約在33%到40%之間。根據我的理論賭場優勢表,賭場假設二十一點的賭場優勢為0.75%。因此,在您的例子中,這手牌的價值應該是0.0075×10×60×3=13.50美元。如果賭場返還1/3,那麼您可以預期獲得4.50美元的返還。然而,大多數賭場並不喜歡為這麼小的返還操心。
拉斯維加斯的單副牌遊戲在哪裡仍能支付 3 比 2 的賠率?
隨著比尼恩馬蹄鐵賭場(Binion's Horseshoe)的倒閉,拉斯維加斯真正的單副牌遊戲數量減少了約75%。雖然我不太關注這方面的最新動態,但我知道的有Fiesta Rancho、Golden Gate、El Cortez和Western。小心那些只賠等額本金或21點賠率6比5的單副牌遊戲,賠率3比2的牌靴遊戲會更好。
這週我在盧克索飯店,注意到一台看起來很像視訊撲克機的二十一點機。這些機器是像線上一樣使用隨機數產生器,還是像老虎機一樣運作?
使用隨機數產生器的原理與老虎機相同。線上二十一點、老虎機和影片二十一點都使用隨機數產生器。
內華達州法律規定,任何以紙牌或骰子代表的電子遊戲必須基於公平的賠率。因此,此類遊戲應公平,賠率應與規則相同的手牌遊戲相同。
我在幾個不同的網站上看到過類似的說法:「如果莊家在一副牌盒裡贏了40手牌,你贏了20手,那麼這種趨勢很可能會持續下去,直到你輸光,或者直到通過多次洗牌消除了不利的偏見」。在我看來,這說法有點“極端”,但我的問題是,這個概念真的成立嗎?有沒有可能一些通常有利(高)或不利的牌組在一次莊家洗牌後就被淘汰,以至於不洗牌的玩家可以通過調整投注來利用這種短暫的連續機會?順便說一句,你的網站太棒了。
謝謝你的讚美。這個理論叫做“卡片結塊”,如果能裝袋的話,應該可以做成很好的肥料。正規的二十一點作家根本不會相信這個理論。
當新發牌人敲擊桌子時,在二十一點牌靴遊戲中燒掉一張牌的優缺點是什麼?
除非你數牌,否則沒什麼差別。如果你數牌,那就等於減少了一張牌的滲透率。
我對小費禮儀有一些疑問…
二十一點:我可以加倍、分牌或為莊家投保嗎?
加勒比海梭哈撲克:我可以(或我必須)為莊家加註嗎?
Let It Ride 撲克:我可以為莊家下多個賭注嗎(如果我決定收回其中一個賭注並且有提示會發生什麼)?
擲骰子:我可以在可以玩的任何地方玩提示(包括賠率和道具)嗎?
輪盤:我可以為他玩數字嗎?
一般來說,在任何遊戲中,您都可以為莊家下注。一般來說,您應該告訴莊家哪些賭注是他的,但二十一點除外,在二十一點中,通常情況下,投注圈外的所有賭注都屬於莊家。
二十一點:三個問題都對。在二十一點中,通常為莊家下注的方式是將小費放在投注圈的邊緣。如果您分牌或加倍,大多數人也會分牌或加倍莊家的賭注,儘管這不是強制性的。
加勒比海梭哈撲克:我問過一個荷官,他說荷官加註是可選的。我沒研究過,但我覺得這樣會讓小費更有優勢。
Let it Ride:我聽說玩家一開始應該放三注,但必須像收回自己的賭註一樣收回。收回的賭注歸玩家所有,而不是莊家。
擲骰子:是的,你可以為莊家下任何賭注。最常見的是 yo-11 和硬路。如果你為莊家下線注,並用賠率作為支撐,則表示賠率也算小費。
輪盤賭:就像擲骰子一樣,你可以為莊家下任意賭注。只要提前告知莊家即可。
我們最近去了加拿大的尼加拉賭場,我和一桌滿員的玩家玩二十一點。牌局照常進行,我留在 17 點。輪到莊家時,她有一張 8,翻開她未亮出的牌是 10,等於 18。然後她繼續在 18 點時要牌(錯誤),並扔出一張 J,結果在 18 點爆牌。我覺得這應該是發牌錯誤或全押,但莊家說不,這無效,因為賭場規則是莊家 17 點及以上不要牌,16 點及以下不要牌。我不同意這個叫牌,賭場經理過來說莊家是對的,你輸了。我很感激你的想法,因為我完全不同意這個叫牌。而且我下了很大的注,所以也許這只是我輸不起的一面。我迫不及待地想一勞永逸地聽聽專家的意見。
我站在賭場這邊。規則規定莊家點數達到18點時停牌。莊家沒有自由意志,一旦她拿到18點,18點就固定不變。額外發的牌不會改變莊家的18點,而且它被正確銷毀了。在一副或兩副牌的遊戲中,有些賭場會在這種情況下重新洗牌。
為什麼賭場拿到軟17點的機率更高?看起來他們更有可能爆牌,因此機率更低。
誠然,如果莊家拿到軟17,賭場爆牌的機率會更高。然而,莊家拿到的17點也更少,這可不是好牌。莊家拿到軟17點對玩家有利,原因與玩家拿到軟17點時應該加註或加倍相同。 17點是一手爛牌,無論是玩家或莊家拿到軟17點,都提供了兩次改進的機會。
我們都曾在二十一點牌桌上遇到莊家似乎不可能輸的情況。假設你無法算牌,莊家連續贏了3、4或5手,那麼對於莊家的點數,我們可以做什麼假設嗎?還是一切都只是隨機的?你會選擇離開(和/或減少賭注),然後去另一張牌桌,認為點數對你不利,所以才會輸。還是你會認為過去的牌局對下一手牌沒有影響,繼續玩下去?巫師會怎麼做?我知道這和直覺無關,但尤其是在二十一點遊戲中,如果莊家似乎已經贏了(或輸了)很長時間,我們能從中得出關於未來的數學結論嗎?
實際上,如果莊家一直贏錢,很有可能是因為發了很多小牌,這意味著牌堆裡有很多大牌,在這種情況下,下一手牌的賠率實際上會對你有利。但這是一個非常輕微的影響,你不應該相信。我認為在這種情況下你只是運氣不好,換牌桌也無濟於事。為了避免某些完美主義者糾正我,我會說在洗牌之間,二十一點的牌型確實存在輕微的負相關性。如果你問的是輪盤或擲骰子,我會說過去根本沒有差別。如果使用連續洗牌機,那麼二十一點也會如此。但是,由於我剛才解釋的原因,我不能絕對說二十一點的牌型是獨立的。
我有一個關於二十一點的問題,在你的網站上還沒有找到答案。如果玩家總是能看到莊家的底牌並據此調整策略,賭場優勢會如何改變?
根據我的計算,在最佳策略下,這將使玩家獲得約 8.8% 的優勢。在大多數情況下,最佳策略與雙重曝光策略相同。但是,如果你認為莊家會再次亮出底牌,我建議你不要讓對方知道你的底牌,也不要做出通常看起來很荒謬的出牌(例如在 20 點的情況下拿到 19 點)。
我在拉斯維加斯的幾家賭場見過視訊二十一點,想知道這個遊戲的監管方式是否與視訊撲克類似。如果是,那麼使用基本的二十一點桌面策略能為玩家帶來最佳的報酬率嗎?如果不是,那麼影片二十一點有沒有基本的策略?
是的。在內華達州,任何紙牌遊戲的視訊版本都必須使用公平洗牌的牌組進行發牌。換句話說,您應該能夠預期與規則相同的現場遊戲結果相同。因此,基本策略表也適用於影片二十一點。
[Bluejay 補充說:我見過的每一個視頻二十一點遊戲都只對自然牌支付等額的錢,這大大增加了賭場優勢。 ]
我的一個朋友告訴我,賭場也有影片二十一點。這兩款遊戲的賠率或隨機性一樣嗎?我的意思是,視訊程式設計師是為了讓賭場在視訊版二十一點上比桌面版更有優勢,還是視訊版的程式設計完全複製了桌面遊戲的玩法?
內華達州的法律規定,紙牌遊戲的視訊畫面必須完全隨機。因此,其賠率與規則相同的真人二十一點相同。大多數其他司法管轄區或多或少都接受內華達州的規定。要注意的是,絕大多數影片二十一點遊戲的賠率都是等額的,無論電玩還是真人遊戲,這都是一個糟糕的規則。
我猜你的二十一點策略是針對初始牌(玩家的前兩張牌和莊家的明牌)的基本策略。但是,在拿牌或分牌之後,牌組組成發生了變化,基本策略也可能隨之改變。我認為更合適的是基於二十一點整體遊戲的基本策略,包括分牌和拿牌之後的基本策略。你的初始牌基本策略和整體遊戲的基本策略是否有差異?
是的,我的基本策略圖表旨在根據前兩張牌確定最佳玩法。這是製定基本策略的常用方法。這種方法的一個好處是可以精確計算每種玩法的預期值並與其他來源進行比較。但是,你提出的觀點很有道理。因此,我詢問了《Blackjack Attack》的作者唐·施萊辛格,是否存在任何已知的玩法,其中初始手牌的最佳玩法不同於最大化整個二十一點遊戲的預期值的最佳玩法。他回答說,在雙層牌遊戲中,軟 18 對抗莊家的 A,而莊家在軟 17 點停牌,就是這樣一種玩法。如我的二十一點附錄 9所示,停牌的預期值為 -0.100502,要牌的預期值為 -0.100359。因此,基於前兩張牌,要牌的賠率為 0.000143。但是,看到軟 18 的方式遠不止一張 A 和一張 7。下表顯示了這手牌可能出現的所有方式。
Soft 18 與 Ace 組合分析
玩家 牌 | 條件 可能性 | 打 電動車 | 站立 電動車 | 打 返回 | 站立 返回 |
A7 | 0.621139169 | -0.100359 | -0.100502 | -0.062336906 | -0.062425729 |
A6A | 0.036728229 | -0.11202 | -0.116009 | -0.004114296 | -0.004260805 |
A52 | 0.146912917 | -0.111299 | -0.103382 | -0.016351261 | -0.015188151 |
A43 | 0.146912917 | -0.114804 | -0.103721 | -0.01686619 | -0.015237955 |
A5AA | 0.001827682 | -0.111395 | -0.105122 | -0.000203595 | -0.00019213 |
A42A | 0.016814677 | -0.116975 | -0.108233 | -0.001966897 | -0.001819903 |
A33A | 0.007356421 | -0.132142 | -0.107256 | -0.000972092 | -0.00078902 |
A322 | 0.020470041 | -0.134229 | -0.11004 | -0.002747673 | -0.002252523 |
A4AAA | 0.000073486 | -0.117554 | -0.110984 | -0.000008639 | -0.000008156 |
A32AA | 0.001028802 | -0.134775 | -0.112433 | -0.000138657 | -0.000115671 |
A222A | 0.000709873 | -0.136788 | -0.114993 | -0.000097102 | -0.00008163 |
A3AAAA | 0.000002238 | -0.135313 | -0.114821 | -0.000000303 | -0.000000257 |
A22AAA | 0.000023502 | -0.137312 | -0.117376 | -0.000003227 | -0.000002759 |
A2AAAAA | 0.000000046 | -0.137859 | -0.119823 | -0.000000006 | -0.000000006 |
全部的 | 1 | -0.105806844 | -0.102374694 |
列標題說明
玩家卡:玩家手中的牌
條件機率:假設玩家擁有軟 18 點,而莊家擁有 A 點,則給定手牌組成的機率。
Hit EV:擊中後的期望值
站立EV:站立的預期值
命中回報:機率與命中預期值的乘積
林分回報:機率與林分期望值的乘積
底行右側兩個單元格顯示,總體而言,擊球的預期值為 -0.105807,停球的預期值為 -0.102375。因此,表格顯示停球的賠率為 0.00343。
為了驗證這些結果,我根據相關規則進行了兩次模擬,一次模擬要牌,一次模擬停牌。我只統計了在遊戲過程中出現軟18對抗莊家A的牌局。以下是我的結果。
軟18對Ace模擬
軟 17 | 手 播放次數 | 全部的 贏 | 預期的 價值 |
站立 | 3857490 | -396224 | -0.102715 |
打 | 3208390 | -337572 | -0.105215 |
因此,模擬結果顯示,在所有可能出現這手牌的情況下,停牌的機率為0.0025。因此,從實際玩所有牌的角度考慮,最佳玩法是停牌,這與我的基本策略圖所示相反。
我有一個關於二十一點錦標賽的問題,錦標賽只支付最後籌碼最多的玩家的獎金。假設有1000名玩家,起始籌碼100美元,每次可以下注5手,每手下注1-10美元。如果沒人知道其他玩家的籌碼狀況,那麼你該關注哪個籌碼量才能滿意呢?
你沒說總共幾輪。不過,我寧願每手五手都下注10美元,否則就輸掉比賽。 1000名玩家,最高下注額相對較低,你需要盡可能利用波動。
在您最近的「問問巫師」專欄 ( 169 ) 中,有人問了一個關於二十一點遊戲中荷官錯誤燒牌的問題。在我工作的賭場,發二十一點時,如果一張牌被錯誤地從牌盒中取出,且沒有被翻開,它仍然是下一張可用的牌(除非它被發到荷官手中,在這種情況下它會被燒掉)。在二十一點遊戲中,只有在以下情況下才會燒牌:a) 開始新的牌盒時;b) 牌盒朝反時(牌盒中牌面朝反時);或 c) 錯誤地發到荷官手中。
謝謝你的評論。這聽起來也差不多是拉斯維加斯的常規政策。
玩二十一點,我預計平均下注多少美元:
- 免費食品和飲料
- 免費住宿
- 那些豪賭套房之一
- 永利免費高爾夫
- 一輛新車
- 免費機票。
補償的基本公式是賭場會返還您理論損失的一定百分比。這個百分比會因遊戲而異,賭場優勢越高,百分比就越高。我問過一位前拉斯維加斯賭場經理,他說補償回饋大約是 15%。這個等式的其他相關部分是每小時玩 60 手二十一點,平均賭場優勢為 1%。因此,您可以預期的補償價值為(平均投注)×(遊戲小時數)× 60 × 1% × 15%。假設遊戲時間為 16 小時。然後您可以推算出所需的平均投注額。假設食品和飲料的價值為 500 美元。那麼所需的平均投注額為 500/(16*60*0.01*0.15) = 347 美元。一間免費房間可能價值 1,000 美元,因此平均需要投注 694 美元。套房種類繁多,價值大致從每天 1,000 美元到 10,000 美元不等,因此平均需要下注 1,389 美元到 13,889 美元。免費高爾夫可能價值 500 美元,所以回到 347 美元。我聽說過拉斯維加斯賭場在時尚秀購物中心提供免費購物,但那裡不賣車。如果我們假設機票價格為 2,000 美元,那就是 1,389 美元。在高水準比賽中,這也可能取決於技能水平,你的水平越高,得到的越少。如果你運氣真的不好,他們也可能會同情你,給你比你應得的更多。對於房間,如果你在淡季要求一間有空房的房間,你將有更大的討價還價的能力。
我是兼職二十一點玩家,在實體賭場玩得很成功。我正在考慮開始玩線上二十一點,但我有幾個問題。比方說,98% 的賠付率是否代表無論玩得好壞,你都會損失 2%?在無底牌的歐式二十一點中,如果你玩最後一格,是不是應該把小牌留給莊家,還是無論如何都要拿牌?我有時對此有疑問。 PS:我喜歡你的網站,謝謝
謝謝。這類賠付百分比是歷史資料。例如,King Neptune 賭場在其網站上發布了 2006 年 6 月的報告。桌上遊戲的 96.78% 意味著 2006 年 6 月的返還金額與投注金額的比率為 96.78%。換句話說,實際的賭場優勢為 3.22%。您自己的結果將取決於遊戲規則、您的技巧(在決策遊戲中)以及運氣。在大多數遊戲中,賠率是可量化的,因此賠付報告沒有用處。其他玩家的玩法有多差或他們選擇的遊戲組合對您來說應該無關緊要。這些報告非常有用的地方在於評估老虎機。據我所知,沒有一家賭場會主動公佈其老虎機的理論賠付率有多低,但這樣的賠付報告可以讓用戶大致了解。如果您查看其他月份的數據,您會發現 King Neptune 賭場的老虎機賠付率約為 96%。我還認為,獨立驗證回報率是良好營運的一個好兆頭。這表明賭場沒有什麼可隱瞞的。
關於你的「巫師王牌五點」 ,真實賭場遊戲和模擬遊戲對合理破產風險所需的莊家角色有何影響?更具體地說,你的模擬遊戲是否與莊家進行正面交鋒?在模擬遊戲中,當點數較高時,你每副牌盒下注的次數比在真實牌桌上(6名玩家在點數較高時會用完牌)要多,導致點數較高時下注的機會更少。謝謝。
從賭場優勢來看,其他玩家的數量並不重要。沒錯,當牌面好的時候他們會吃掉牌,但當牌面差的時候他們也會吃掉牌。從長遠來看,這並不重要。然而,就每小時預期贏利而言,當你擁有優勢時,玩家數量越少就越有利,因為你可以在相同的時間內玩更多手牌。
我下週末要去拉斯維加斯,想玩5美元的二十一點和Let It Ride。週末我可以找到空著的5美元賭桌嗎?還是我應該比平常多帶點錢?如果5美元的賭桌很少,我可以在哪裡找到?
週末在拉斯維加斯大道上找到5美元的二十一點遊戲並不容易。你可能只能選擇像Riviera、Sahara、Frontier或Circus Circus這樣的低賭注賭場。在市中心會容易得多。 「Let It Ride」正在慢慢消失,但如果你找到它,最低投注額通常是5美元。
在連續洗牌的 5 副牌系統中玩二十一點,獲勝的幾率與使用 1 副牌或 2 副牌與莊家玩的幾率不同嗎?
我常在一家有50張賭桌的賭場玩二十一點。我發現有些荷官,當我在第六或第七個位置時,大概有25%的機會會亮出他們的牌。我想知道,如果不讓他們立刻換牌,正確的玩法應該是什麼。我不敢充分利用看到牌的優勢。如果我知道荷官有20點,我還該用19點來要牌嗎?還是說那樣會引太多壓力?還是我應該等到更有利的情況下再要牌?
這就是我的二十一點附錄16的目的。回答你的問題,我不會做出任何會觸發危險訊號的舉動,例如打出硬19。我的建議是堅持犯一些更邊緣、更可信的錯誤。
身為賭場荷官,為了增加遊戲知識,我幾年前就開始瀏覽您的網站。我記得我讀過,荷官在非二十一點牌局中的平均贏牌點數是18.56。今天,作為一名講師,我想向學生們展示這個事實,但我找不到。正確答案是什麼?它是如何計算的?謝謝。
下表顯示了根據各種規則,假設莊家未爆牌且莊家已檢查牌面是否有黑傑克的情況下,莊家的平均得分。請注意,平均分數會隨著牌堆數量的增加而增加。更重要的是,當莊家拿到軟17點時,平均得分會高出0.0405。而當莊家拿到軟17點時,莊家爆牌的機率僅高出0.00403。也就是說,每爆一次莊家,莊家就能額外獲得10.05分。希望這能解釋為什麼莊家拿到軟17點對玩家不利。
二十一點中莊家平均總分
甲板 | 站立柔軟 17 | 命中軟 17 |
1 | 18.840371 | 18.880098 |
2 | 18.842648 | 18.882868 |
3 | 18.843415 | 18.883798 |
4 | 18.843826 | 18.884288 |
5 | 18.844053 | 18.884564 |
6 | 18.844205 | 18.884720 |
7 | 18.844292 | 18.884880 |
8 | 18.844370 | 18.884981 |
為了回答你的第二個問題,我使用 C++ 中的強力組合程式來循環遍歷莊家牌的所有可能組合。
我在拉斯維加斯的時候喜歡玩5美元二十一點的友善遊戲。令我驚訝的是,這次旅行中,5美元二十一點的賭桌要么消失了,要么賠率變成了5賠6。我在埃爾科特斯賭場酒店玩過一場公平的5美元賭桌,但很難找到另一家提供5美元賭桌且規則合理的賭場。您知道拉斯維加斯大道或市中心還有其他公平的5美元遊戲嗎?謝謝。真希望在我最近這次旅行之前就發現了您的網站。
許多賭場在低限額遊戲中確實為二十一點支付6比5的賠率,而且情況正在迅速惡化。然而,仍然有一些真正的二十一點遊戲,最低下注5美元。其他規則可能不是最好的,尤其是六副牌,莊家在軟17點時要牌,但下注5美元,你就不能太挑剔了。聽起來你是在一個非常繁忙的周末來到這座城市,或者只是沒有仔細尋找。任何市中心或拉斯維加斯大道外的賭場都應該有一些真正的5美元二十一點賭桌。這些賭桌通常最擁擠。在拉斯維加斯大道上,你應該可以找到一些象徵性的5美元遊戲,尤其是在周中,例如Excalibur、Monte Carlo、Harrah's、Flamingo、Circus Circus、Riviera和Sahara。
我很喜歡這個網站;感謝你們的辛勤付出。關於二十一點的調查很棒,而且我注意到大多數賭場都有不只一套規則。我能正確地假設,規則越好,賭場的最低投注額就越高嗎?例如,百樂宮的最低賭場優勢相當不錯,但那裡的最低投注額是100美元嗎?
謝謝,不客氣。是的,一般來說,規則越好,最低投注金額就越高。
每次我去玩二十一點遊戲,總是能遇到一個脾氣暴躁的傢伙,他想用石頭砸那個可憐的傢伙,因為他「把牌弄亂了」。這是真的嗎?
經營這個網站的十年來,我始終堅信「糟糕的玩家會導致其他玩家在二十一點中輸錢」的說法是錯誤的。然而,你是第1000個提出這個問題的幸運兒,所以我不厭其煩地透過隨機模擬來證明這一點。我使用的規則是拉斯維加斯大道上標準的自由主義規則,如下所示。
6層甲板
莊家在軟 17 點停牌
允許前兩張牌加倍
允許分牌後加倍
允許逾期投降
玩家可以重新分成四手牌,包括 A
已使用切卡
首先,我讓兩位玩家都遵循正確的全依賴基本策略。在近16億輪遊戲中,第一個行動的玩家的損失為0.289%,第二個行動的玩家的損失也為0.288%。
其次,我讓第一位玩家遵循相同的正確策略,第二位玩家也遵循相同的正確策略,但以下情況除外:
總是命中 12 到 16
總是把 9 加倍到 11
拆分任意一對
永不投降
絕不軟雙
在10.5億手的模擬遊戲中,第一位玩家的損失為0.282%,第二位玩家的損失為11.260%。因此,無論第二位玩家的玩法正確與否,玩第一位玩家的基本策略的賭場優勢幾乎相同。我希望這能終結三壘手的神話,但我對此表示懷疑。正如我多次說過的,一個信念越荒謬,就越容易被人們固執地堅持下去。
這是一個關於二十一點牌桌禮儀的問題,我在你的網站上找不到相關資訊。我和朋友們大約每個月去一次我當地的賭場,我們基本上只是為了好玩才玩的,但他們對遊戲不太了解,也沒有學習或記住基本的策略。我的問題是:當我們一起在牌桌上玩的時候,我給他們建議如何玩牌,這樣做對嗎?告訴他們分牌、加倍、停牌等等,這會惹惱莊家或其他玩家嗎?這樣做是對還是錯?
謝謝你這麼棒的網站!我有時候會看不懂你的賠率計算,但它真的太有用了!
謝謝你的讚美。在這種情況下,提供建議完全可以接受。一般來說,主動提供建議是可以接受的,即使是對陌生人。荷官不喜歡玩家主動提供建議。如果不清楚玩家是在向誰徵求建議,那就進入了模糊地帶。如果玩家看起來像是在向荷官詢問,那麼你就不應該提供建議。如有疑問,我的原則是保持沉默。
如果有的話,不燒牌對單副牌二十一點遊戲有什麼影響?
如果你不數牌,那就沒關係。如果你數牌,那麼在進行真實牌數轉換時,所有燒掉的牌都應該加到牌盒/牌盒中未打出的牌數中。
我一直聽說賭場發明了基本策略。那麼,基本策略是從哪裡來的呢?
約翰·帕特里克很可能就是那個謠言的幕後黑手。這項基本策略首次發表於 1956 年 9 月的《美國統計協會雜誌》。文章標題為“二十一點的最佳策略”,作者是羅傑·R·鮑德溫、威爾伯特·E·坎蒂、赫伯特·梅塞爾和詹姆斯·P·麥克德莫特。如今,他們被統稱為“阿伯丁四騎士”,因為他們在進行分析時正在馬裡蘭州的阿伯丁試驗場工作。我很自豪能擁有那篇文章的副本,並在四騎士中的三位入選 2007 年二十一點名人堂時見過他們。此後,包括我在內的數百人從頭開始推導了這個策略。如果操作得當,遵循相同的規則,結果總是一致的。不過,也許我只是參與了這個陰謀。
為什麼賭場在玩二十一點和百家樂時要燒牌?
一個次要原因是為了挫敗算牌者。然而,與其燒掉 x 張牌,荷官可以將切好的牌向前移動 x 張,也能達到同樣的目的。主要原因是為了保護遊戲。首先,玩家可能會瞥見頂牌,並根據這些資訊調整自己的賭注和策略。我想補充一點,這種策略不算作弊。頂牌也容易受到許多作弊手段的攻擊。它可能被標記,荷官可以偷看它,或者強行將一張想要的牌放到頂牌上。如果荷官因為某些原因知道頂牌是什麼,他就可以向同夥玩家發出訊號,從而獲得巨大的優勢。
這個問題困擾了我很多年。 1999年,我21歲生日那天,父親帶我去拉斯維加斯。我們在同一張賭桌上玩二十一點,我大約押了25美元,父親大約押了40美元。荷官有20美元,但她算錯了,以為爆牌了。她把我們當成贏了一樣付錢。大約15分鐘後,來了三個花色的荷官,把手放在我們的肩膀上,大致評估了一下情況,並要求我們退還“贏的錢”,否則就離開賭場。我們決定離開賭場,那天晚上去別的地方賭。這是標準的操作程序嗎?還是說這只是個例外?
在我看來,賭博中最神聖的兩件事是:不要作弊和遵守賭注。沒有期限,沒有藉口,紳士要遵守賭債。你沒說你有多少點數。正確的做法是,只有當你有20點數時才退還獎金;如果你的點數少於20點數,就把獎金加上原始賭注退還給你。如果他們當時問你的方式很粗魯,我不會怪你離開,但我還是會付錢。我以前也被問過這個問題,所以我認為這是標準的操作程序。
在拉斯維加斯,我坐在二十一點牌桌旁時可以使用提示/備忘單圖表嗎?
是的,只要它不會對其他玩家的遊戲速度造成太大的影響。
你有關於影片二十一點的資訊嗎?規則/賠率有什麼不同嗎?拉斯維加斯最好的遊戲在哪裡?
我認為,在那些配有大螢幕和魅力荷官的大型「桌王」(Table Master)機位上,你贏錢的幾率最高。這類機位現在越來越容易找到,但我不清楚特定的名單。在低賭注賭場,你找到這類機位的幾率會更高。有些賭場的二十一點賠率是3比2,而有些只有6比5。例如,裡維埃拉賭場的機位規則如下:
- 6副牌(4副牌後洗牌)
- 二十一點賠率為 3 比 2
- 莊家拿到軟 17
- 允許分牌後加倍
- 允許任兩張牌加倍
- 允許投降
- 只分成兩隻手
- 七張牌查理(未爆牌的 7 張牌自動獲勝)
- 投注範圍:2美元至200美元
根據這些規則,賭場優勢為0.68%。如果您玩的是等額投注遊戲,賭場優勢將為1.4%到2.0%,具體取決於其他規則。請務必使用玩家卡來贏取賭場提供的任何現金、免費遊戲或贈品。
下圖展示了其中一種產品。

二十一點遊戲中玩家的失誤會產生什麼影響?
彼得·格里芬(Peter Griffin)在他的著作《額外內容-賭博漫談》(Extra Stuff — Gambling Ramblings)中用整整一章的篇幅探討了這個問題。他的研究是基於對1987年11,000手實際牌局的觀察。下表總結了他對錯誤成本的評估結果。
二十一點失誤的代價
地點 | 錯誤成本 | 誤差幅度 |
大西洋城 | 1.13% | 0.12% |
拉斯維加斯 | 1.67% | 0.17% |
裡諾 | 1.48% | 0.19% |
太浩湖 | 1.39% | 0.54% |
全部的 | 1.41% | 0.10% |
在我看來,自這項研究以來的23年裡,玩家的遊戲水準已經有了很大的提升。如果非要猜測的話,我認為現在因失誤造成的損失大約是0.5%。我同意格里芬的觀點,大西洋城的玩家比拉斯維加斯的玩家技術更精湛。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
這篇專欄文章首次發表後,我收到了博彩顧問比爾·贊德(Bill Zender)的來信。他主動提出讓我發表他發表在《博彩運營》(Gaming Operations)雜誌上的文章《二十一點玩家有多窮》(How Poor are Blackjack Players,PDF 147K) 。文章中說,他自己的研究表明,玩家失誤的成本約為0.83%。
網路上有一款二十一點遊戲,其規則如下:
- 8 層甲板。
- 每手牌結束後都會洗牌。
- 二十一點的賠率為 2 比 1。
- 莊家在軟 17 點加牌。
- 不加倍下注。
- 僅拆分一次。
- 不投降。
使用我的二十一點莊家優勢計算器,我得到的莊家優勢為0.82%,這還不包括二十一點的2-1賠率和不加倍的賠率。二十一點的2-1賠率對玩家來說價值2.26%。不加倍的賠率對莊家來說價值1.37%。
因此我顯示玩家優勢是 0.82% -2.26% + 1.37% = 0.07%。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
您對最近在大西洋城贏得 1500 萬美元的人有什麼評論嗎?
對我來說,關鍵線索是文章中的這句話:「『他們還同意將他在二十一點遊戲中的損失折扣 20%,作為鼓勵他繼續玩的獎勵,』他說。」由於二十一點遊戲規則較為寬鬆,資金充足的玩家可以輕鬆獲得 20% 的返利,佔據巨大優勢。
正確的策略是,當你獲得巨額收益或適度虧損時(以先到者為準)就退出。例如,贏100萬美元或輸10萬美元。大多數情況下你都會輸,所以需要大量的資金才能承受波動。幸運的是,這位玩家擁有充足的資金來利用這些優惠。除了擁有優勢之外,他自12月以來的表現可能也超出了預期。我向他的成功致敬。
現在 Barona 已經取消了他們的單副牌二十一點遊戲,那麼對於基本策略玩家來說,美國最好的二十一點遊戲是什麼?
你說得對。今年六月,巴羅納賭場遺憾地取消了他們的單副牌遊戲,這種遊戲允許用任何兩張牌加倍、分牌後加倍以及投降。基本策略的賭場優勢是0.01%。根據《當代二十一點簡報》的報導,這是美國最好的遊戲。
那麼,誰會崛起,佔據榜首位置呢?根據我自己的拉斯維加斯規則調查,目前最好的遊戲是在胡佛大壩附近的Hacienda賭場。然而,我並不關注大拉斯維加斯地區以外的任何情況,所以我查看了《Current Blackjack Newsletter》,它監控整個美國和加拿大的情況。他們指出,Hacienda遊戲不僅在拉斯維加斯最好,在美國和加拿大也是最好的。所以,我祝賀Hacienda升至第一名!
遊戲的規則如下:
- 單層
- 二十一點賠率 3-2(當然)
- 莊家拿到軟 17
- 任一前兩張牌加倍
- 分牌後加倍
- 允許重新分牌
- 不投降
- 賭桌限額:2-200 美元
- 遊戲並不總是開放的
根據我的二十一點莊家優勢計算器,假設採用基本策略且不切牌,莊家優勢為 0.02%。要得出這個數字,就需要用「實際莊家優勢」減去 0.11%,也就是在單副牌遊戲中,切牌效應會為玩家帶來的損失。 《目前二十一點簡報》的 Al Rogers 告訴我,下文提到的 Hacienda 和 Peppermill 賭場都不使用切牌,而是採用每副牌指定輪數的方式。單副牌遊戲通常遵循「六輪規則」 ,這意味著每副牌的輪數等於 max(2,6-p),其中 p 是玩家人數。
對於想在單副牌遊戲中下注超過200美元的玩家,Al建議我推薦位於內華達州溫多弗的Peppermill賭場集團(Peppermill、Montego Bay和Rainbow)。他們的規則相同,只是分牌後不加倍,賭場優勢為0.16%,同樣假設使用基本策略且不切牌。這可能是最好的24小時營業且不接受大額投注的單副牌遊戲了。
厚顏無恥的廣告: 《二十一點新聞簡報》列出了美國和加拿大所有提供賭桌遊戲的合法賭場的規則和算牌條件。月度報告每份15美元,每季30美元,每年99美元。十多年來,我一直把它當作寶貴的資源。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
我試著讓我的朋友們了解一下你的「巫師簡易二十一點策略」 。但是他們覺得還是太難了,尤其是軟18例外。你能提供更簡化的方案嗎?
好的,這個「超簡單策略」怎麼樣?遵循適用的第一條規則。
- 分開 8 和 A。
- 雙 10 和 11。
- 重擊 9 或更少。
- 以 12 到 16 的成績對抗 7 到 ace 的成績。
- 擊中軟 17 或更少。
- 否則,站立。
這只是30個字,以字數計算。相對於完整的基本策略,錯誤成本為0.44%。這比我的完整簡單策略的0.14%高得多,但仍然大約是普通二十一點玩家錯誤成本的一半。
這個問題是在我的同伴網站Wizard of Vegas的論壇中提出並討論的。
你好,我住在伊朗。我讀了你的網站,很喜歡你關於二十一點的評論,我對二十一點很感興趣。我喜歡玩你的圖表,但我很難去拉斯維加斯,那裡有很多很棒的賭場,而且賭場優勢很小。因為我住在亞洲,所以除了澳門,我想知道哪裡還能找到公平的賭場,可以玩二十一點,而且賭場優勢也比較大。
我並非每天都會收到來自伊朗的賭博問題。我可能錯了,但根據世界賭場名錄(World Casino Directory)的介紹,我能找到的最接近且確認提供二十一點的賭場是位於哈薩克斯坦阿馬蒂的Zodiac賭場。他們的網站顯示,他們提供輪盤、二十一點和六張牌撲克(不管那是什麼)。遺憾的是,我無法保證他們的公平性或競賽規則。
在二十一點遊戲中,從六副牌中取出一張特定的牌(從 2 到 A)會產生什麼影響?
下表顯示了從六副牌中取出一張牌對玩家預期回報的影響,這取決於莊家在軟 17 點上是否要牌或停牌。例如,如果莊家在軟 17 點上停牌,而燒牌是 5,莊家優勢下降 0.146%。
二十一點中移除的效果
卡片 | 站立 軟 17 | 打 軟 17 |
---|---|---|
2 | 0.069% | 0.071% |
2 | 0.070% | 0.072% |
3 | 0.084% | 0.089% |
4 | 0.114% | 0.122% |
5 | 0.146% | 0.148% |
6 | 0.079% | 0.085% |
7 | 0.041% | 0.038% |
8 | -0.010% | -0.012% |
9 | -0.041% | -0.046% |
10 | -0.092% | -0.098% |
高手 | -0.101% | -0.091% |
上表假設“自由脫牌規則”,即允許分牌後加倍、後期投降以及最多三次重新分牌(包括A)。該表格是使用 bjstrat.net 上的Composition Dependent Combinatorial Analyzer建立的。
通常在6-5的二十一點遊戲中,玩家不能拿等額的錢。如果可以的話,會對賭場優勢產生什麼影響?
假設有六副牌,在 6-5 的二十一點中允許等額的賭注,如果二十一點只支付 6-5,玩家就應該接受,這樣可以降低賭場優勢 0.06%。
我知道我不應該玩 6-5 的二十一點,但是如果我遇到這種情況,在什麼時候加倍下註二十一點而不是接受 6-5 的賠付會更有利?
使用 Hi-Lo 點數,我證明,面對莊家 5 和黑傑克,賠率為 6 比 5;如果真實點數為 +18 或更大,那麼在黑傑克上你應該加倍。雖然你沒有問,但如果黑傑克的賠率為 3 比 2,那麼你需要達到 +27 點數才能加倍。這些數字應該被視為估算值。面對任何其他明牌的莊家,點數需要更大,加倍才是正確的玩法。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
我認為賭場在好牌點數時提前洗牌是作弊。我要向博彩管理委員會正式投訴Stratosphere賭場對我這樣做。沒什麼特別的問題,我只是想發洩一下。
提前洗牌作為防範算牌者的手段,50年來一直是遊戲的一部分。我想說,如果賭場用電腦告訴荷官什麼時候點數合適,作為洗牌的提示,那就是作弊。我還認為,如果荷官自己算牌,然後提前洗牌給休閒玩家,那也是作弊。但是,如果荷官在你加註時也這麼做,那遊戲就是這樣玩的。如果你贏了博彩公司的官司,賭場就會毀掉算牌者的遊戲,就像他們在大西洋城肯·烏斯頓案中所做的那樣。接下來你會看到,每局遊戲都使用連續洗牌機。雙方最好還是不要玩貓捉老鼠的遊戲了。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
壞玩家,特別是在二十一點中,會導致其他所有人都輸錢嗎?
不。雖然每個人都記得那個糟糕的玩家拿走了莊家的爆牌導致整桌輸錢的時刻,但人們往往忘記了那些糟糕玩家救了整桌的時刻。這種選擇性記憶以支持既有信念的做法被稱為「確認偏誤」。長期來看,糟糕的玩家幫助你和傷害你的可能性一樣大,所以別管他們。
為什麼當莊家有一張A牌時,你說不要接受「平賭」?這明明是個穩贏的機會!
莊家有69.1%的機率沒有黑傑克,而你將贏得完整的3-2賠率。(1.5 × 69.1% = 103.7%。)這比選擇平局賠付的100%更有利。你一開始選擇玩這遊戲就已經證明自己是個賭徒了。別突然變得避險,只因為不想冒險就放棄那3.7%的優勢。
在二十一點遊戲中,有時莊家會不經意地露出底牌。當這種情況發生時,玩家的優勢是多少?
你的任務是從0號方格走到19號方格。你不能連續兩次走同一種顏色的路徑。換句話說,你必須在每個方格換一條顏色不同的路徑。不能掉頭。答案是什麼?
大衛‧普利徹 (David Pleacher) 創作的謎題。
我鼓勵讀者自己解決這個問題。不過,如果你放棄了,可以點擊下面的「解決方案」按鈕。
[劇透=解]這是一個可能的解決方案:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、17、18、12、11、18、17、9、8、7、6、5、4、3、2、1、15、14、13、19。
關鍵在於,要注意在11-12-18三角形中可以掉頭。解決方法是,先逆時針繞外圈一圈,直到回到1。然後順時針繞內圈到18。再掉頭回到18。然後原路返回1。這樣,從那裡到19就很容易了。
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