賓果 - 常問問題
考慮一個賓果遊戲，共有 75 張隨機的賓果卡。然後根據標準賓果規則抽出 12 個隨機數字。那麼，出現賓果的機率是不是 75 × 0.00199521？（我從你們賓果機率的表格中取得這個數字，即在 12 個被叫出的數字內出現標準賓果的機率為 0.00199521）如果不是，那實際上出現賓果的機率應該是多少呢？你們的網頁真的很棒。
你說得對，根據我計算賓果 機率的表格，任何一人在抽出 12 個號碼內得到賓果的機率是 0.00199521。
一般來說，如果某事件發生的概率是 p，那麼該事件在 n 次嘗試中至少發生一次的概率為 1-(1-p)n。在此情況下，至少有一人獲得賓果的機率為 1 - 0.0019952175 = 1 - .9980048 75 = 1 -.8608886 = .1391114。
然而，在賓果遊戲中我們不能使用上述方法，因為所有賓果卡都是根據同一組抽出的號碼球來進行的。解釋起來有點複雜，但由於賓果卡上的數字是按照每列15個可能的數字排列成五列的，因此所預期的開球數目是有關聯的。要準確回答你的問題，需要通過隨機模擬來實現。如果不進行模擬的話，13.9% 可以作為一個粗略的合理估計。
你好，我正在做一個關於賓果遊戲的項目，我想知道如何計算賓果遊戲的機率。例如，出現一條線、水平線、對角線、垂直線、連身衣和四個角落的機率。我已經看過你的機率表了，我想知道你使用的公式。
猜對（連續5個）的機率很難解釋，主要是因為有空格子。我用電腦算了一下。猜四個角的機率要簡單得多。假設卡片上有x個標記，那麼出現4個角落的機率是combin (20,x-4)/combin(24,x)。換句話說，它是將4個標記放在角落上，其餘標記放在其他位置的方法數除以將所有x個標記放在卡片上任意位置的方法數。在y次調用內猜出四個角的機率是，在y次調用中，卡片上有x個標記的機率與這x個標記組成四個角的機率（見上文）乘積之和（i=4到y）。在y次呼叫中猜出x個標記的機率是combin(24,x)*combin(51,yx)/combin(75,y)。按照這個邏輯，你應該可以理解連身衣的數學原理。
在賓果遊戲部分，您可以指定在特定回合中獲得賓果遊戲的機率，但是在有人獲得賓果遊戲之前，預計抽取的數字數量是多少？
以下是根據玩家數量，某人獲得賓果之前預計的叫牌次數。
1名球員：41.37
10名球員：25.51
50名球員：18.28
100名玩家：15.88
200名玩家：13.82
500名玩家：11.56
1000名玩家：10.13
在 54 次通話內，從 600 張賓果卡中至少有一張會得到一件工作服的機率是多少？
任一牌中有54張牌的機率為：combin(51,30)/combin(75,54) = 114456658306760/2103535234151140000 =~ 1/18738。600因此，600名玩家中至少有一名中獎的機率為3.21%。
在bingogala.com ，他們提供54次通話內贏得一件連身衣的獎金，獎金為500美元。你之前告訴我，600張卡片中至少有一張在54次通話中贏得連身衣的機率是3.21%。所以，在380天（截至目前為止）內，每天8次通話，他們應該有97.58位500美元的贏家，對吧？然而，我在他們的主頁上只數出了76位贏家。當我在聊天中提出這個問題時，我和我丈夫都被禁止訪問該網站，這真的讓我很生氣？抱歉打擾了，但如果他們經營的是一個不道德的網站，我想知道如何找出真相，以便我可以廣泛地用事實來證明這一點。感謝您在這件事上給我的任何幫助。
首先，我要解釋一下，這是一個我暫時擱置的相當老的問題了。根據bingogala的主頁信息，它已經運營了兩年。單張卡在54次通話中抽到連身衣的機率是COMBIN(75-24,54-24)/COMBIN(75,54) = 0.000054。600張卡片中至少有一張在54次通話中抽到連身衣的機率是1-(1-.00054)。每天8次，380天的預期中獎人數為97.65人。標準差為(380*8*0.032121*(1-0.032121)) 1/2 = 9.72。因此，這比預期低了(97.58-76)/9.72 = 2.23個標準差。公平遊戲中，76人或更少獲勝者的機率是1.30%。所以這要嘛是因為玩家運氣不好，要嘛是因為平均玩家人數不足600人。也許早期他們贏的次數沒有那麼多。所以在我看來，這些證據不足以構成不公平競爭的指控。
親愛的Wiz：我參加的賽馬場正在推出視訊彩票機。您能告訴我一些相關資訊嗎？它們和老虎機一樣嗎？如果您能提供任何信息，我將不勝感激。
另一位 Mike S.，賠率是多少？許多賽馬場允許所謂的「二級」博彩，即必須以彩票或賓果遊戲為基礎。根據這條規則，提供老虎機的方式是在幕後進行彩票或賓果遊戲，並將結果以老虎機贏錢的形式顯示出來。例如，如果彩票遊戲確定你贏了20倍的賭注，它就會顯示任何支付20倍的老虎機符號。所以這是一個巧妙的幻象。
我住在俄克拉荷馬州，聽說這裡的老虎機其實不是真正的老虎機，而是在跟其他玩家玩賓果遊戲。這到底是怎麼回事？
俄克拉荷馬州和其他一些印第安賭場都擁有所謂的「二級」老虎機。遊戲結果實際上由賓果球的抽取決定。不同老虎機上的玩家彼此連接，每個玩家的牌都不同，但所有透過網路連接的玩家的抽取球都是相同的。通常存在一種“遊戲結束模式”，如果某個玩家完成了該模式，其他玩家的抽取球就會停止。然而，對於大多數製造商而言，這種遊戲結束模式很難實現，因此競爭因素可以忽略不計。除非達到遊戲結束模式，否則會抽取一定數量的球，您的牌會自動被塗抹，並根據您覆蓋的最高賠付模式獲得賠付，而賠付模式有數百種。老虎機的影片示範只是為了展示您贏了多少錢。如果做得好（通常情況下並非如此），這些遊戲的玩法幾乎就像拉斯維加斯的老虎機一樣。
一直都很棒，網站很棒。我希望你能解決我和我朋友之間關於線上賓果遊戲的爭論。這個網站允許你以每張10美分的價格購買賓果卡。假設你手上有5美分可以花，我朋友認為你最好買50張卡玩一次，而不是每局都花0.5美分買一張卡玩10次。我不同意，而且我認為，既然無論你買多少張卡，每張都是0.1美分，那麼你是一次性玩完還是分散玩，都沒什麼區別？
謝謝你的讚美。答案取決於賓果遊戲網站如何決定累積獎金。如果累積獎金是以售出卡牌總數的百分比計算（通常如此），那就沒什麼區別。但是，如果獲勝者有固定的獎金，那麼最好一次只玩一場，以免自己跟自己競爭。
在俄克拉荷馬州，我們在印第安賭場玩。我知道我們實際上是在玩賓果遊戲。如果這是真的，它們的回報率和拉斯維加斯的隨機數產生器機器一樣嗎？
是的，確實如此。在俄克拉荷馬州等一些州，傳統的「3級」老虎機是非法的。規避該法律的一種方法是讓機器隨機抽取賓果卡和球。某些圖案會對應特定的獎金，結果會像老虎機獎金一樣顯示給玩家。如果操作得當（通常情況下並非如此），這些遊戲的玩法就像在拉斯維加斯一樣。如果我沒記錯的話，我在塔爾薩的一家賭場看到過一些很受歡迎的威廉姆斯老虎機，比如Reel 'em In，屏幕一角只有一張小小的賓果卡。除此之外，它們在我看來都一樣。我不知道俄克拉荷馬州的老虎機回報率是多少，所以我無法幫助你解決這個問題。
兩張賓果卡沒有相同數字的機率是多少？它們所有數字都相同的機率是多少？
兩張賓果卡沒有相同數字的機率為 ( combin (10,5)/combin(15,5)) 4 ×(combin(11,4)/combin(15,4)) = 83,414 分之一。兩張賓果卡全部 24 個數字相同的機率為 (1/combin(15,5)) 4 ×(1/combin(15,4)) = 111,007,923,832,371,000 分之一。
在Station賭場，賓果遊戲室裡有「Big 3」遊戲。你必須選出前4個數字中的3個才能贏得累積獎金。這個遊戲的中獎幾率是多少？謝謝。
為了方便其他讀者，Big 3 是所有 Station Casinos 和 Fiesta Rancho 的賓果附加投注。玩家會收到一張紙本或電子票，票上會從 75 個可能的賓果號碼中隨機抽出三個。如果該回合中被叫出的前四個賓果號碼包含玩家的三個號碼，那麼玩家將贏得累積獎金。累積獎金起始金額為 1000 美元，每天增加 200 美元，直到有人中獎。每個回合和每個酒店都有獨立的累積獎金。
中獎組合數為 72，因為其中三個球必須匹配，而第四個球可以是其他 72 個球中的任意一個。組合數(75,4) = 1,215,450。因此，中獎機率為 72/1,215,450 = 0.000059。玩家可以 10 美元購買 48 張彩票，因此每張彩票的成本為 10/48 = 0.208333 美元。損益平衡點（即賭場優勢為零）為 (10/48)/(72/1,215,450) = 3,516.93 美元。
Station Casinos 在其Jumbo Bingo 網站上公佈了三大累積獎金。在那裡，你會看到獎金池通常會超過 3517 美元。我在 2007 年 8 月 30 日回答這個問題時，八家賭場中有兩家設有玩家優勢，分別是 Palace Station 和 Fiesta Rancho。這是拉斯維加斯為數不多的經常設有玩家優勢的賭場之一。可惜的是，他們限制了可以購買的卡牌數量，所以對包括我在內的大多數人來說，專程前往並不值得。
從統計學上講，需要使用多少張傳統賓果卡才能實現 40 個或更少數字的覆蓋範圍？
卡片是隨機印製的，所以如果你買了足夠的卡片，你就能重複取得。所以，沒有哪個號碼能保證你一定中獎。每張卡片的中獎機率是 0.00000000243814，也就是 410,148,569 分之一。假設你希望中獎機率為 p，你購買的卡片數量為 n，每張卡片的中獎機率為 c。我們來解一下 n：
P = 1-(1-c) n
1-p = (1-c) n
ln(1-p) = n×ln(1-c)
n=ln(1-p)/ln(1-c)
例如，要想有 90% 的獲勝機會，您需要購買 ln(1-.9)/ln(1-0.00000000243814) 張卡，相當於 944,401,974。
Station Casinos 根據賓果遊戲玩家的消費金額，向其提供免費的「Mini X」賓果卡，具體如下：
消費 1-19 美元 = 1 張免費卡
消費 20-29 美元 = 2 張免費卡
消費 30-39 美元 = 3 張免費卡
消費 $40-$49 = 4 張免費卡
消費 50-59 美元 = 5 張免費卡
消費滿 60 美元即可獲得 6 張免費卡
每張卡片上有五個數字，分別對應BINGO中的一個字母。獎品如下：
封面卡上有 5 個數字 = 10,000 美元
6 個數字的封面卡 = 3,000 美元
封面卡上有 7 個數字 = 500 美元
如果沒有人用 7 個或更少的數字覆蓋，則第一個覆蓋的玩家將獲得 50 美元的安慰獎。
下表顯示每張卡的基本獎金價值為 1/5 美分。
Mini X卡的預期價值
| 呼叫 | 支付 | 可能性 | 返回 |
| 5 | 10000 | 0.00000006 | 0.00057939 |
| 6 | 3000 | 0.00000029 | 0.00086909 |
| 7 | 500 | 0.00000087 | 0.00043455 |
| 全部的 | 0.00000122 | 0.00188303 |
每張牌的安慰獎價值為50/n，其中n為參賽牌的數量。例如，如果有1000張參賽牌，那麼每張牌的安慰獎價值為5美分。
在同一場遊戲中，兩張賓果卡完全相同的機率是多少？
這取決於遊戲中有多少張牌。假設遊戲中有c張牌，那麼至少出現一組相同牌的機率的近似值是1-e (-c/471,000,000) 。例如，假設遊戲中有10,000張牌（我認為這個數字在拉斯維加斯賓果遊戲中是合理的），那麼至少出現一組相同牌的機率大約是1/47,000。要讓至少出現一組相同牌的機率達到50/50，你需要大約3.3億張牌。
我在六場賓果遊戲中贏了四次頭獎。中頭獎的條件是50個球內必須有一件連身衣。賭場卻以故障為由拒絕賠付，並威脅要扣留我的100美元押金。這似乎不公平。您怎麼看？
在任何一場遊戲中，50個球內出現連身衣的機率是212,085分之一。六場遊戲中四場連身衣的機率是134,882,670,482,530,000,000分之一。如果真的故障，這聽起來像是系統故障。我認為賭場有正當理由拒絕發放累積獎金，因為這些遊戲顯然運作不正常。然而，我認為拿走你的存款只是偷竊行為。如果遊戲能這樣騙獎金，我也不得不質疑它的公平性。這讓我懷疑抽獎可能不是完全隨機的。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
密爾瓦基的這家賭場最初是一家賓果遊戲廳，本週在一場遊戲中創下了290個賓果遊戲的紀錄。圖案是字母I，要麼上下排列（上下各3個，所有字母N），要麼橫著排列（中間3個字母B和O）。第一個G球被叫出後，經過43次叫號，最終產生了大量贏家。每人獲得25美元。
這裡有一篇關於它的文章：賓果！波塔瓦托米創下了單場遊戲獲勝者人數的紀錄。
我的問題是，在 43 次呼叫中沒有呼叫任何特定字母的數字的機率是多少？
我曾經遇到過類似的情況，大多數人都在等待某封特定的信件，但我見過的獲勝者最多的一次是 25 人左右。
我指出，進行 44 次通話並避開任何一個字母（不僅僅是 G）的機率是 1,517,276 分之一。此機率的公式如下：5*combin(60,44)/combin(75,44) - combin(5,2)*combin(45,44)/combin(75,44)
在您網站上名為賓果模式機率(PDF) 的文檔中，您指出，假設遊戲中有 300 張牌，那麼找到獲勝者的預期呼叫次數如下：
- 四角球：8.43
- 小鑽石：11.833
兩種模式都只需要四個標記，並且只有一種獲勝方式。為什麼獲勝所需的球數不同？
這個問題很難解釋。首先，我想說的是，單張牌遊戲中的預期叫牌次數是一樣的。然而，多張牌遊戲中存在相關效應。
這個問題很難快速回答，但如果硬要回答，那是因為四角圖案需要球集中在B列和O列。而小菱形圖案則更容易在B、N和O列上更均勻地分佈球。
讓我們把遊戲簡化成無限多張牌，每次抽球都會放回原位。以下是兩種遊戲中獲勝所需的球數：
- 四個角：2.5+2.5+((1/2)*10+(1/2)*(2.5+5)) = 13.75
- 小鑽石：=(5/3)+((1/3)*((5/3)+(5/2)+5)+(2/3)*((5/2)+((1/2)*((5/2)+5)+(1/2)*(5+5)))) = 12 + 2/9
這表明四個角球多花了 1.53 個球。
根據正常的賓果遊戲規則，透過模擬執行此程序，假設有無限張牌，結果如下：
- 四角：12.8289
- 鑽石：11.3645
這次相差 1.46 個球。
我希望展示的是，如果標記分佈在更多列上，圖案更容易被覆蓋。因此，我認為在單排賓果遊戲中，你通常會看到獲勝的賓果圖案是水平的。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中討論過的。
一張賓果卡上預計有多少個標記可以形成各種常見的獲勝模式？
以下是常見獲勝模式所需的卡片上的平均標記數：
- 單賓果 — 13.60808351
- 雙倍賓果 — 16.37193746
- 三重賓果 — 18.02284989
- 單行道 — 15.29273554
- 雙硬路 — 18.09327842
- 三重硬路 — 19.79294406
- 六塊肌 — 14.62449358
- 九包 — 18.97212394