賭博系統 - 常問問題
我很好奇——我肯定我的賠率不可能比莊家更高——但我想測試一種適度的賭博方法——即「見好就收」的策略。假設我一開始的賭注是1000美元。假設我一旦中了其中一個就必須離開，我離開時會帶著1200美元而不是一分錢離開的機率是多少？在百家樂中，押閒家贏20%總比輸100%好。
您遺漏了兩個關鍵資訊：您的投注金額以及投注的牌局。我假設您在百家樂中每次投注1美元，押注閒家。假設沒有平局，閒家獲勝的機率為49.3212%。
設i表示玩家擁有 $i 時，在輸光所有錢前，就能達到 $1,200 的機率。設 p 表示任意給定賭注的獲勝機率，即 49.3212%。
0 = 0
a1 = p* a2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
。
a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
1200 = 1
將左側分成兩部分：
p* a1 + (1-p)* a1 = p* a2
p* a2 + (1-p)* a2 = p* a3 + (1-p)* a1
p* a3 + (1-p)* a3 = p* a4 + (1-p)* a2
。
。
。
p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
重新排列，左側為 (1-p) 項，右側為 p 項：
（1-p）*（a 1 ）= p（a 2 - a 1 ）
（1-p）*（a 2 - a 1 ）= p（a 3 - a 2 ）
（1-p）*（ a3 - a2 ）= p（ a4 - a3 ）
。
。
。
（1-p）*（a 1197 - a 1196 ）= p（a 1198 - a 1197 ）
（1-p）*（a 1198 - a 1197 ）= p（a 1199 - a 1198 ）
接下來將兩邊乘以 1/p：
（1-p）/p*（a 1 ）=（a 2 - a 1 ）
（1-p）/p*（a 2 - a 1 ）=（a 3 - a 2 ）
（1-p）/p*（ a3 - a2 ）=（ a4 - a3 ）
。
。
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（1-p）/p*（a 1197 - a 1196 ）=（a 1198 - a 1197 ）
（1-p）/p*（a 1198 - a 1197 ）=（a 1199 - a 1198 ）
下一個望遠鏡總結：
（a 2 - a 1 ）=（1-p）/p*（a 1 ）
（a 3 - a 2 ）=（（1-p）/p） 2 *（a 1 ）
（a 4 - a 3 ）=（（1-p）/p） 3 *（a 1 ）
。
。
。
（a 1199 - a 1198 ）=（（1-p）/p） 1198 *（a 1 ）
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )
接下來將上述方程式相加：
(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
1 = a 1 * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
a 1 = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1)
現在我們知道了1 ，我們就可以找到1000 ：
（a 2 - a 1 ）=（1-p）/p*（a 1 ）
（a 3 - a 2 ）=（（1-p）/p） 2 *（a 1 ）
（a 4 - a 3 ）=（（1-p）/p） 3 *（a 1 ）
。
。
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(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
（a 1000 - a 19 ）=（（1-p）/p） 9999 *（a 1 ）
將上述等式相加：
(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
1000 = 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) =~ 0.004378132。
只要時間足夠，在任何靠運氣的遊戲中，賠率很可能會趕上玩家的節奏，資金也會逐漸減少。但是，如果你下注更多，你的賠率會更高。以下是不同投注額下，贏20%後輸100%的賠率。
5美元：0.336507
10美元：0.564184
25美元：0.731927
50美元：0.785049
100美元：0。809914
有關此類問題的更多數學知識，請參閱我的MathProblems.info網站，問題 116。
一般來說，當對任何賠率均等的事物進行投注時，是否有某種“系統”可以幫助提高機會和/或回報？
不。
我一直在思考一些資金管理技巧，想感謝你提供的一些中肯建議（更確切地說，是機率論）。我發現贏錢的機率大致取決於你的初始資金。例如，估算一下在200美元買入的情況下，不先傾家蕩產就能贏100美元的機率。這很有幫助，但如果不做數學計算（我知道這很丟臉），我覺得贏錢限額應該更多地基於你的投注單位，例如1美元、5美元、10美元等等。基本上，小額投注比大額投注更容易帶來波動。我真正的問題是：如果我的資金有限（例如100美元），並且設定了贏錢限額（例如50美元），那麼哪個投注單位（如果有的話）能帶來最大的成功機率？我認為投注太小會降低我獲得遠高於平均水平的收益的機會，而投注太大則會有破產的風險。有什麼建議或意見嗎？
在你的例子中，假設一場負期望值遊戲，為了最大化你達到贏錢目標的機率，最佳下注額是50美元。在一場正期望值遊戲中，最佳下注額盡可能小。原因是你玩得越多，賭場優勢就越會壓垮你；或者說，如果你有優勢，你也會壓垮賭場。
我在思考賭場優勢的問題：賭場總是擁有變動的優勢，但計算時有一點常被遺忘且不可輕忽：何時停手由我決定。若發現正在輸錢，我可以及時止損。若覺得贏夠了（雖然沒有所謂「足夠」），我也能選擇停注。賭場卻無此選擇權。這會如何影響計算？
從長遠來看，這種資金管理方式既不會對你有所助益，也不會造成損害。在某一刻止損離場，你可能錯失翻盤的機會；而帶著小幅盈利退出，則可能無法將其轉化為更大的收益。當然，情況也可能變得更糟。一般而言，你可以認為過去並不重要，每一局都是新的開始。提高勝算的最佳方式是盡可能降低莊家優勢。我不反對資金管理，但它不會影響莊家優勢。
百家樂有累積投注系統嗎？有沒有專門的網站？
它們有很多，但都毫無價值。
在穴居人基諾遊戲中，持續選相同號碼、每次選不同號碼，或是每次更換一個號碼，哪種方式更有優勢？
這沒有什麼區別。
您如何看待二十一點中第二次獲勝後加 50% 的策略，例如 2-2-5-7-11-15-22-33....
正如我多次說過的，從長遠來看，所有投注系統都同樣毫無價值。
縮短遊戲時間，也就是減少手數而不是增加時間，是否會增加我贏錢的幾率？一次玩750手或更少，而不是一次玩2000多手。
不會，牌局數不會影響賭場優勢。您預期的損失金額是賭場優勢、平均投注額和投注次數的乘積。
您在上一篇專欄文章中說過，任何人都可以創建一個在7500次旋轉中獲利6.5%的輪盤賭系統。好吧，我就是任何人，我都想挑戰您，請您給我一個。
你懂的！實際上，這個系統的優勢是 7.94%。我會把它提高到 8.00%。所以這就是「威世智 8.0% 優勢系統」。下面是它的玩法。
- 該系統可以在任何賭注均等的遊戲中玩，包括輪盤賭，但由於賭場優勢較低，強烈建議玩擲骰子遊戲。
- 玩家只能進行等額投注。在輪盤賭中，任何等額投注都可以，並且玩家可以隨意更改投注金額（過去投注金額無關緊要）。
- 玩家必須適應 1 到 1000 個單位的投注範圍。
- 第一次下注是 1 個單位。
- 每次下注後，玩家將確定其過往總投注額的 8.1%（額外的 0.1% 為安全邊際）。如果淨贏額低於此金額，他將押注差額與 1000 個單位中的較小者。如果淨贏額高於此金額，他將押注 1 個單位。
- 重複此操作，直到下注 7500 次。
在輪盤賭中，我用計算機模擬了10,000次這個實驗，玩家4236次成功，5764次失敗。因此，在第一次進行現場遊戲時，玩家報告成功案例並非不可能。在擲骰子遊戲中，使用相同的系統投注過線，結果贏了6648次，輸了3352次，成功率為66.48%。回到輪盤賭，如果點差是1比10,000，那麼贏的次數是8,036次，輸的次數是1,964次。在所有情況下，如果系統在7,500次旋轉後仍然無法穩定運行，損失將非常大，平均超過8.0%。
當然，這個系統和其他系統一樣毫無價值。我希望我已經表達清楚了，設計一個通常能贏的系統很容易。然而，一旦輸了，損失就很大了。長遠來看，損失會大於贏，玩家口袋裡的錢也會少很多。
你好，我幾乎讀完了你網站上的所有內容，我只能說“哇”，非常感謝你為大家提供的所有幫助。不過，我有一個問題，我覺得很有意思，應該要加入你的常見問題解答部分。你說沒有任何投注系統能打敗運氣遊戲。我完全同意你的觀點，因為我試過幾十種，都沒有成功。從長遠來看，你根本贏不了賭場。但是，怎麼會有職業玩家呢？我的意思是，有些人被稱為“職業二十一點玩家”，他們靠賭博謀生。每個人都在電視上看到他們參加錦標賽之類的活動，下注成千上萬。如果從長遠來看，根本沒有贏錢的可能，他們怎麼能靠賭博維生？這是他們的工作，所以從長遠來看，他們必然會贏。為什麼呢？
不客氣。我整個網站肯定花了一整天才看完。你把毫無價值的投注系統和能為玩家帶來優勢的合法策略混淆了。二十一點和視頻撲克是兩種可以通過良好的規則和正確的策略被證明可以贏的遊戲。所以我把系統稱為在有莊家優勢的遊戲中追隨趨勢的毫無價值的方法，而把類似於二十一點中算牌的策略稱為數學上證明有效的策略。視訊撲克的贏家可以透過尋找最佳賠率表，然後遵循可靠的策略來決定哪些牌該留，哪些牌該棄。
我好像在哪裡讀到過，如果有人能想出一個哪怕只有1%玩家優勢的系統，就能輕鬆把1000美元變成100萬美元。但有些視訊撲克的玩家優勢只有0.77%，為什麼不把它變成77萬美元左右呢？是不是因為你一次不能下注超過5美元，而且這太花時間了？謝謝。哦，我之前說過，現在再說一遍，我太喜歡你的網站了！ ！
謝謝！是的，我之前說過，如果我的投注系統只有 1% 的優勢，我只需不斷磨練，就能將 1000 美元變成 100 萬美元。這在視訊撲克中也是可能的，但需要更長的時間，因為 0.77% 優勢的遊戲（全額支付的 Deuces Wild）只能在 25 美分級別中找到。假設您每小時可以玩 1000 手（很少有人能達到這樣的速度）並且玩得完美，那麼平均每小時收入為 9.63 美元。要達到 100 萬美元，就需要不停地工作 11.86 年。 1000 美元對於玩 25 美分視訊撲克來說也非常不足，因此破產的風險會很高。在桌上遊戲中，以相同的優勢達到 100 萬美元會更快，因為玩家可以下注更多。
我想鼓勵各位讀者繼續使用他們最喜歡的投注系統。它們都很有效。我們從未在任何一個系統上長期虧損過。當然，我說的「我們」指的是那些在賭場工作的人。
我自己也說不出比這更好的了。
親愛的巫師，我從您的網站和其他管道中了解到，投注系統並不能讓你比賭場更有優勢。我的問題是，它們會降低賭場優勢嗎？過去八年，我一直在玩唐納德·達爾在《漸進式二十一點》中概述的投注系統，它讓我能夠投注比平時更高的金額，從而獲得刺激。我通常玩10美元的賭桌，常常可以下注30美元。上次去拉斯維加斯，我在山姆小鎮賭場玩到了100美元，這真的讓我心跳加速，更不用說離開賭桌時還贏了600美元。謝謝你的幫忙。
不！投注系統不僅無法克服賭場優勢，甚至連一點削減都做不到。它們也無法提高賭場優勢。它們所能做的只是影響波動性。既然聽起來你喜歡波動性強、刺激的遊戲，那麼你的系統就達到了它的目的。只是別指望贏錢。
我知道這個問題沒有確切的答案，但是，在判斷一個讓分方法是否有效時，一個適當的樣本數大概是多少呢？例如，如果我有一個1303-1088的測試樣本，佔比54.5%，是否有理由認為這個方法除了偶然性之外，還有其他因素？
正如我數百次說過的，當你進入「長期」時，並沒有一個神奇的數字。然而，你的成績越令人印象深刻，你需要證明這些成績並非隨機的牌局就越少。就你的情況而言，在2391場比賽中取得54.5%或更高的勝率的機率大約是二十萬分之一。所以我認為這個紀錄值得認真看待。以下是我得出這個數字的方法：
預期勝率 = 2391/2 = 1195.5
實際勝率高於預期 = 107.5
標準差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
與預期的標準差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
標準差為 4.4174 或以上的機率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 分之一
除了2000 美元的挑戰之外，還有什麼方法可以測試我的投注系統嗎？
我做一次直接測試的費用仍然是2000美元。這就是我做測試的時間價值。如果你通過挑戰，我幾乎不用花任何成本就能提供2萬美元，因為從數學上講，你幾乎不可能贏。
巫師，我剛剛讀了胡安·帕隆多悖論，覺得你可能會感興趣。它展示瞭如何交替進行兩場失敗的遊戲，從而形成一場勝利的遊戲。總之，我覺得這對博弈論者來說是一個有趣的「小把戲」。我喜歡你的網站！
我個人覺得帕隆多悖論沒什麼意思，但你不是第一個問我這個問題的人，所以我就說說我的看法。它的重點是，如果玩家在兩個特定的失敗遊戲之間交替進行，就能獲得優勢。
舉例來說，在遊戲一中，贏1美元的機率是49%，輸1美元的機率是51%。在遊戲二中，如果玩家的資金能被3整除，那麼他贏1美元的機率是9%，輸1美元的機率是91%。在遊戲二中，如果玩家的資金不能被3整除，那麼他贏1美元的機率是74%，輸1美元的機率是26%。
第一場比賽的預期值顯然是 49%*1 + 51%*-1 = -2%。
在第二局遊戲中，你不能簡單地取兩種可能性的加權平均值。這是因為遊戲很快就會從資金餘數為1的遊戲中獲勝，並且經常在餘數為0和2之間交替。換句話說，資金會不成比例地投入在獲勝機率為9%的遊戲中。整體而言，僅玩第二局遊戲，預期值為-1.74%。
然而，透過交替進行兩場第一局和第二局，我們打破了第二局的交替模式。這會導致75%機率的遊戲玩得更多，而9%機率的遊戲玩得更少。混合這兩種遊戲的方式無窮無盡。 「2+2」策略，即進行兩輪第一局和第二局，然後重複，其預期值為0.48%。
我要強調的是，這在賭場裡毫無實際價值。沒有哪個賭場遊戲會根據玩家資金的模數來改變規則。不過，我預測，遲早會有人發明帕隆多投注系統，在輪盤賭和擲骰子之間交替，這當然會和其他投注系統一樣毫無價值。
我想知道哪裡可以找到像你常說的十億手模擬器那樣好的測試程序。謝謝。
我常被問到類似這樣的問題。事實上，我已經寫了數百個不同的模擬程式。這些模擬程式都是我自己用 C++ 寫的，完全按照我的要求完成。這些程式通常看起來像是在尋找測試投注系統的方法。恐怕我什麼都沒有，也不知道有什麼能讓使用者輸入投注系統如何運作，然後進行測試的東西。如果真的有一個完美運作的程序，你會從中學到的是，所有投注系統都同樣毫無價值，這正是我多年來一直在說的。
如果所有賭徒在領先後立即退出，我相信會有幾家賭場破產。考慮到你的資金會大幅波動，大多數人在賭博的某個階段不是會領先嗎（當然，這意味著賭場會落後）？
我不同意，至少就你陳述的理由而言。按照你的說法，大多數人確實會離開拉斯維加斯，成為贏家。然而，有些玩家會輸掉第一筆賭注，之後越陷越深，直到耗盡所有資金。假設遊戲和玩家策略相同，無論玩家的資金管理策略如何，整體賭場優勢都將保持不變。換句話說，投注系統不僅無法克服賭場優勢，甚至無法對其造成絲毫影響。回到你的問題，如果每個人都在領先後立即退出，那麼賭博活動就會少得多。因此，雖然賭場優勢保持不變，但總賭注金額會減少，這確實會給賭場帶來經濟損失。
不是問題，只是真心感謝。繼續告訴大家，沒有必勝之道。我51歲退休，過去11年玩擲骰子，平均每年贏8.6萬美元。我真心希望別人不要相信自己能贏。繼續加油！
我會的。玩得夠久了，99.9% 的系統輸家都會輸，剩下的 0.1% 會自以為是地坐在那裡，以為是技術問題，其實只是運氣問題。
我的一個朋友認為，賭場之所以能從賭客的這種傾向中獲利，是因為他們在達到停損點時會離開賭桌，但在贏錢時會留下來。我認為，這種行為在短期內可能會有一定影響，但從長遠來看，它沒有任何作用，賭場的盈利取決於賭場的優勢。雖然在我看來，這顯而易見，但他的論點一定很有吸引力，因為我們其他（還算聰明的）朋友也接受了它。我試過了所有我能想到的論點，但我的朋友仍然不相信。我希望你能糾正他。
你說得對。從長遠來看，投注系統和下注原因並不重要。資金有限，往往傾家蕩產。然而，虧損也有上限，而獲利幾乎是無限的。長遠來看，所有因素都會平均下來，賭場根據投注額和賭場優勢獲得的收益接近預期。
我知道賭場的莊家優勢能讓賭場賺很多錢。但請幫忙解決一個問題：如果一家賭場沒有莊家優勢，例如拋硬幣贏雙倍，那麼這家賭場是否仍可能因為顧客資金管理不善而獲利？尤其是，人們不是常常在輸錢、無法繼續玩下去時就選擇退出嗎？謝謝！我喜歡這個網站。
我之前就討論過這個問題，我不同意你的假設。正如我多次說過的，所有投注系統都同樣毫無價值。因此，如果賭場沒有莊家優勢，從長遠來看，它既不會贏也不會輸。假設每個玩家的目標都是贏100萬美元，否則就破產。大多數人都會破產，但少數贏得100萬美元的玩家會平衡局面。
我想你可能會對此感興趣。我在英國用的是Betfair。我敢肯定你們這些好心人在美國因為某些原因不能用它。如果你不熟悉它，可以去betfair.co.uk看看。它是一個博彩交易所，不是博彩公司。總之，我的問題是：他們現在提供無零輪盤，沒錯，就是無零輪盤。這確實是真的。你能想到一個好的策略嗎？如果有的話，你會保密嗎？祝好，喬納森。 P.S.：他們也提供其他沒有莊家優勢的賭場遊戲。
我嘗試在那裡註冊一個帳戶來查看情況，但他們封鎖了美國玩家。我被告知最低投注額為2英鎊，最高投注額為50英鎊。即使是像無零輪盤這樣的零莊家優勢遊戲，也沒有任何投注系統能夠超過或低於0%這個數字。無論你做什麼，你投注的越多，實際莊家贏利就越接近0%。
我認為賭博最重要的一點就是知道何時放棄。我從賭徒那裡聽到的最常見的故事是，他們在某個遊戲中投入了多少，結果卻輸得精光。大多數玩家會一直玩下去，直到輸光所有錢。
我的問題是，有沒有什麼方法可以計算出最佳的贏/輸範圍？如果玩家輸了X次，他們就很難恢復，應該直接退出？同樣，如果玩家贏了X次，那麼考慮到遊戲的機率，他已經獲得了相當可觀的收益，應該趁著領先時退出。
我常被問到類似這樣的問題。如果你玩的遊戲預期收益為負（這種情況幾乎總是如此），那麼保住資金的最佳策略就是永遠不玩。然而，如果你為了娛樂而玩，那麼就沒有最佳退出時間點。你玩得越多，你預計的損失就越大，無論你目前的資金狀況如何。正如我之前多次說過的，退出的最佳時機是你不再感到樂趣的時候。
首先，我要明確地聲明，我理解並同意你對投注系統的立場。道理很簡單：如果你在某一手牌上處於劣勢，那麼無論下注金額多少，在多手牌上也同樣如此。故事結束了。我知道，我在賭場玩的時間越長，我空手而歸的可能性就越大。
我的問題並非在於如何利用系統長期獲利，因為我們知道這是不可能的。而是系統能否在「客製化」輸錢體驗上發揮作用？例如，玩家A希望每次去賭場都能贏或輸適量的錢（當然，他輸的次數會比贏的次數略多）。玩家B則希望在5次賭博中，有4次能賺到一點錢，而5次賭博中，有1次會輸很多錢。
從長遠來看，雙方都會虧損，但是否存在一種投注系統可以幫助雙方實現目標？
是的。雖然投注系統無法改變賭場優勢，但它們可以用來提高達成三個目標的機率。玩家A希望風險盡可能小。為了將風險降至最低，他應該平注。玩家B希望三條獲勝的機率更高。他應該在輸錢後繼續下注。這種策略存在巨額虧損的風險。雖然你沒有問，但一個想要小輸或大贏的玩家應該在贏錢後繼續下注。這種策略通常會輸，但有時也會贏大錢。
我長期訂閱你們的時事通訊，並且仍然很喜歡你們的網站。我偶然發現一個賭場網站，它提供的輪盤賭沒有零，只有1-36的數字，並且所有標準的輪盤賭規則都適用。你們有辦法利用這一點嗎？我知道你們不喜歡投注系統，但這個網站沒有莊家優勢。肯定有一個資金管理系統，可以在這些賭桌限額下獲利。任何建議都非常感謝。
謝謝你的讚美。我想我之前回答過這個問題，但答案是否定的。即使沒有賭場優勢，從長遠來看，仍然沒有任何投注系統能夠獲勝。
感謝您在網頁上提供的所有精彩資訊。我目前在空軍服役，將主持一場關於負責任博彩的研討會。
我在新墨西哥州立大學的歷史教授告訴我們，玩二十一點的唯一贏錢方法是每次小額下注，然後贏取小額利潤…例如25美元。在我看來，這種邏輯似乎行不通……我知道它是錯的。我的問題是…假設我一生中有100萬美元可以賭博。玩一手二十一點，押上整整100萬美元比押小額利潤“更有勝算”，還是說勝算率總是一樣？您的網站很棒，請繼續努力。非常感謝您的幫忙！
不客氣。你的歷史教授錯了。這種「小贏」策略並不新鮮。通常它確實能帶來小額收益，但偶爾的大額虧損甚至會使其損失殆盡。要回答你的問題，這取決於你所說的「更好的賠率」是什麼意思。如果你指的是哪一種方式能帶來最大的平均收益，那就沒什麼差別了。假設你使用基本策略，並且有備用資金可以加倍或分注，那麼下注 100 萬美元和下注 100 萬次 1 美元的預期損失是一樣的。然而，如果你指的是哪種情況下淨贏的機率更大，那麼單次下注的機率會大得多。如果你下注 100 萬次 1 美元的預期損失為 2850 美元，標準差為 1142 美元。獲利的機率為 0.6%。下註一手 1,000,000 美元，獲勝機率為 42.4%，平手機率為 8.5%，淨虧損機率為 49.1%。
哇！這真是個很棒的網站，我簡直不敢相信我最近才發現它。我已經花了好幾天研究你的數據、分析和評論。你的訊息太有說服力了，我簡直無法反駁。
由於我無法控制統計數據，我的問題涉及到一些我可以控制的東西，那就是遊戲時長（以及資金）。既然一百萬甚至十億手牌是由許多「遊戲」組成的，例如300到1000手牌，那麼玩到a)達到預先設定的目標贏額，或者b)玩到從連敗中恢復過來並最終收支平衡，是否就沒有意義了？
最後一個問題，您能否推荐一個軟體模擬系統，可以處理所有規則變化、止損條款、提取不同長度的“會話”，以及根據投注規模調整不同的要牌/停牌策略。我很想在電腦上試試我的方法。
謝謝。我常常收到這樣的問題。通常我會刪除它們，但既然你這麼恭維我，這次我來回答。正如我在網站上多次提到的，所有投注系統都同樣毫無價值。沒有神奇的退出點。我並不反對任何輸贏標記來決定退出，但預期值並不比憑感覺行事好或壞。我聽說Casino Vérité能夠模擬你所問的問題。最後，在二十一點中，要牌/停牌的決定不應該取決於賭注的大小。 1美元賭注的正確玩法，對於100萬美元來說也是正確的。
這純粹是「假設」式的商業問題。如果你創建了一個真正有效運作的博彩系統，並且考慮推廣它，你會如何定價？請注意，我並非在建議、暗示、爭論或進行任何相關操作。我只是在就定價問題徵求你的商業建議。
先不說這個系統是否可行，我的售價大概在5000萬美元左右。如果沒有買家，那好吧，我乾脆自己出去賺更多錢。
根據你的說法，我們玩的時間越長，損失就越接近負預期值，也就是賭場優勢。那麼，如果我們是完全理性的玩家，是否應該把全部資金都押在一次投注上，以避免這種逐漸逼近的函數呢？這是 Bluejay 在vegasclick.com上給的建議。
因此，Bluejay 說：「…如果你知道玩的時間越長，輸的可能性就越大，那麼玩的時間越短，贏的幾率就越大。而你最短的時間只能玩一次。所以從統計學上講，這是你最好的選擇：只下一次等額賭注，一次性把所有錢都押上…”
機率魔法師同意這個推理嗎？是的，絕對沒錯！如果你的目標是贏或輸 x 美元，並且僅限於等額投注遊戲，那麼只需進行一次等額投注就能最大化你的勝率。這曾經是《賭場》一集（從未播出）中的情況，儘管不限於等額投注。當時有人向我諮詢，如何在普通遊戲和 1,000 美元的起始資金下，最大化贏得 4,000 美元的勝率。我讓他們在過線投注 100 美元，然後在擲骰子遊戲中在賠率投注 900 美元。不幸的是，我們輸了。如果我們贏了那次投注，我會讓他們下注足夠的金額，以達到 4,000 美元的目標。
然而，如果考慮到樂趣，你可以透過長時間的小額投注獲得更多收益。如果你只是想盡量減少預期損失，那就乾脆別玩了。
探索頻道的《Hustling the House》節目中有一長段節目，探討如何將30美元變成1000美元。節目中，安迪·布洛赫說：「如果你口袋裡有30美元，你想把它變成1000美元，那麼輪盤賭是你唯一的選擇。」安迪接著解釋了為什麼把全部30美元押在一個數字上比五次等額投注更好。
安迪說得對，將 30 美元變成 1,000 美元的最佳方式是將全部 30 美元押在輪盤賭中的一個數字上，對嗎？
不，他錯了。安迪的單註策略的機率是1/38 = 2.6316%。
經過多次反覆試驗，我設計出了「萬福瑪利亞」輪盤策略，將 30 美元變成 1,000 美元的幾率提高到 2.8074%。
巫師的輪盤賭「萬福瑪利亞」策略：
此策略假設投注必須以 1 美元為增量。所有投注計算均向下取整。
讓：
b = 您的資金
g = 你的目標
- 如果 2*b >=g，則在任何等額賭注上投注 (gb)。
- 否則，如果 3*b >=g，則在任意列上投注 (gb)/2。
- 否則，如果 6*b >=g，則在任意六行（六個數字）上投注 (gb)/5。
- 否則，如果 9*b >=g，則在任意角（四個數字）下注 (gb)/8。
- 否則，如果 12*b >=g，則在任意街道（三個數字）上投注 (gb)/11。
- 否則，如果 18*b >=g，則在任何分割（兩個數字）上投注 (gb)/17。
- 否則，對任意單一數字下注 (gb)/35。
換句話說，盡量只用一次投注就達到目標，但不要超過目標金額。如果有多種方法可以實現目標，那就選擇獲勝機率最大的那個。
你可能會問，其他遊戲怎麼樣？探索頻道的配音員說：「大家都同意輪盤賭是賭場裡最好的快速致富計畫。」 好吧，我不這麼認為。即使只限於常見的遊戲和規則，我也覺得擲骰子比較好。尤其是在押注不及格和下注賠率方面。
按照我的擲骰子「萬福瑪利亞」策略（下文會解釋），30 美元變成 1,000 美元的機率是 2.9244%。這假設玩家可以下注 6 倍賠率，無論點數是多少（即允許 3 倍、4 倍或 5 倍賠率下注的情況）。這個成功機率比我的輪盤「萬福瑪利亞」策略高 0.117%，比安迪·布洛赫策略高 0.2928%。
安迪可能會辯稱，我上述論點依賴最低下注額為 1 美元的假設，這在拉斯維加斯的真人荷官遊戲中很難實現。考慮到有人會這麼說，我把最低下注額設為 5 美元，並以 5 美元為增量進行下注，並以此為前提，玩了兩局遊戲。在這種情況下，使用我的「萬福瑪利亞」策略，在輪盤賭中獲勝的機率為 2.753%，在擲骰子中獲勝的機率為 2.891%。這兩種情況下，都高於安迪·布洛赫策略下的 2.632%。
平心而論，探索頻道絕不會把上面那段瘋狂的咆哮搬上電視，他們肯定想找一些大眾能理解的簡單易懂的內容。安迪肯定在跟他們講他們想聽的東西。他建議的基本前提是，如果你想達到某個目標，那麼「打了就跑」的策略比讓賭場優勢把你壓垮在多重賭注下要好得多。這絕對是真的，也是我17年來一直在宣揚的理念。
巫師的擲骰子「萬福瑪利亞」策略。
此策略假設投注必須以 1 美元為增量，且贏取的金額將向下取整至最接近的美元。計算投注時，切勿下注過多，以免超出目標金額。此外，切勿下注超過四捨五入金額。
讓：
b = 您的資金
g = 你的目標
- 在不通過的情況下下注 max($1,min(b/7,(gb)/6))。
- 如果擲出一個點，並且你的籌碼足夠進行全額賠率投注，那麼就押全額賠率。否則，盡可能押注。
所以，我希望安迪和探索頻道能夠開心。我花了好幾天進行模擬，就是為了證明他們錯了。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇上提出並討論的。