請問巫師 #350
在全國冰球聯盟（NHL）的例行賽中，如果比賽在規定時間內結束，勝方將獲得兩分，負方則得零分。然而，如果比賽進入加時賽，勝方仍然獲得兩分，而負方將獲得一分。然而，在季後賽中，沒有這樣的加時賽激勵機制。
你覺得在例行賽中，如果比賽進行到最後階段打平，兩隊會拖延時間試圖進入加時賽嗎？這樣做似乎合乎邏輯，因為兩隊之間會各得三分，而不是兩分。
正如您所說，在冰球比賽中，確實存在著一種讓比賽進入加時賽的動機。讓我們來看一些數據來回答您的問題。以下數據來自四個冰球賽季，從2017/2018賽季開始。
下表對四個賽季的7846場比賽進行了細分，包括常規賽、季後賽以及是否進入加時賽。表格顯示，常規賽期間，11.27%的比賽進入加時賽，而季後賽期間，54/544 = 9.03%的比賽進入加時賽。
NHL加時賽數據
| 季節 | 隨著時間的推移 | 遊戲 |
|---|---|---|
| 常規的 | 是的 | 817 |
| 常規的 | 不 | 6431 |
| 季後賽 | 是的 | 54 |
| 季後賽 | 不 | 544 |
問題在於，11.27% 和 9.03% 之間的差異是否具有統計顯著性，或者是否能用常態變異來解釋。為了檢定兩個樣本平均值，我將進行卡方檢定，例如 MedCalc.org 上的比例比較計算器。在全部 7,846 場比賽中，有 871 場比賽進入加時賽，機率為 11.10%。在同一樣本中，不進行加時賽的機率為 88.90%。如果我們假設常規賽和季後賽的比賽之間沒有統計上的顯著差異，那麼常規賽應該有 804.6 場比賽進入加時賽，季後賽應該有 66.4 場比賽進入加時賽。
下表比較了實際結果與預期結果，假設常規賽和季後賽加時賽的真實機率相同。右列顯示的是卡方統計量，即實際總分與預期總分差的平方除以預期總分。
NHL加時賽數據－卡方檢驗
| 季節 | 隨著時間的推移 | 實際的 全部的 | 預期的 全部的 | X^2 |
|---|---|---|---|---|
| 常規的 | 是的 | 817 | 804.61 | 0.190641 |
| 常規的 | 不 | 6431 | 6443.39 | 0.023806 |
| 季後賽 | 是的 | 54 | 66.39 | 2.310641 |
| 季後賽 | 不 | 544 | 531.61 | 0.288540 |
| 全部的 | 7846 | 7846.00 | 2.813628 |
上表的卡方統計量為 2.813628。自由度為 1 時，結果出現如此或更大偏差的機率為 9.347%。換句話說，如果常規賽和季後賽之間的行為沒有變化，導致加時賽的機率真正相等，那麼我們看到進入加時賽的比賽出現 2.24% 或更長時間差異的機率為 9.347%。簡而言之，這些證據確實顯示兩類比賽的加時賽率有統計上的顯著差異。然而，仍有 9.35% 的可能性可以將其解釋為常態隨機變異數。
我應該補充一點，我連結的MedCalc計算器以及其他來源都對卡方統計量進行了「N-1」調整。具體來說，它們將卡方統計量乘以(N-1)/N，其中N是觀測值的總數。在這種情況下，調整後的卡方統計量將是2.813628 * (7845/7846) = 2.813270。這個自由度為1的卡方統計量的p值為9.349%。我不想用這個小調整來混淆視聽，但如果我沒有這樣做，我相信我的讀者會想知道我為什麼不這樣做。
就我個人而言，我相信球隊在常規賽中確實比季後賽更傾向於打加時賽，數據也支持這一點，但數據並不能排除合理的懷疑。
外部連結
- 約翰霍普金斯大學彭博公共衛生學院使用卡方統計量。
更有可能的是：
- 賈斯汀·韋蘭德連續投出 100 次好球。
- 史蒂芬·庫裡連續 100 次罰球命中。
- 賈斯汀·塔克連續 100 次 40 碼射門得分。
韋蘭德的實力很難估計，所以我們最後再來評價他。
2019/2020賽季，史蒂芬·柯瑞的罰球命中率為93.10%（資料來源：籃球參考）。
NFL 40碼射門得分的平均命中率為85.83%。然而，我認為塔克的命中率高於平均水平。 30碼至39碼射門得分的平均命中率為89.32%，而塔克的命中率為96.63%。將塔克的命中率應用到NFL平均命中率中，我估算塔克命中40碼射門得分的機率為85.85% × (96.63%/89.32%) = 92.86%。
棒球比賽就變得棘手了。我們必須要問，我們討論的是真實比賽中的實際投球，還是在受控的演示中。這一點很重要，因為在真實比賽中，投手並非每次都力求投出好球。大多數時候，他們會努力將球投到好球區邊緣附近，這使得擊球手更難打出乾淨的擊球。
我沒有統計數據支持這一點，但我在小聯盟比賽中觀察過一些牛棚投手，他們幾乎每次都能把球直接送到捕手的手套裡，捕手根本不用移動。我粗略估計，像韋蘭德這樣的投手在受控測試中至少能有95%的機率投出好球。然而，在實際比賽中，韋蘭德的好球率只有68.50%。
要獲得連續 100 次成功試驗的機率，忽略疲勞因素，只需將單次成功試驗的機率取 100 次方。
底線是，如果我們談論的是一個受控實驗，我會選擇韋蘭德，而在實際比賽條件下，我會選擇柯瑞。
這個問題最初是在Barstool Sports上提出的。在我的Wizard of Vegas論壇上也有很多關於它的討論。
哪一種堆疊砲彈的方法比較有效？是像埃及金字塔那樣堆疊方形底座的金字塔，還是堆成三角形，形成四面體？
以下是讀者可能會發現有用的幾個公式：
向下滾動查看我的答案和解決方案。
我假設你所說的「高效」是指砲彈之間浪費的空間最少。
為了簡單起見，為了定義每個金字塔的體積，我們以位於金字塔角的球體中心點作為定義。設 n 為每個金字塔底部每邊砲彈的數量。
我們先來看看方形底座的金字塔。
整個金字塔的砲彈數量為1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + ... + n 2 = n*(n+1)*(2n+1)/6。
接下來，我們來求這個底邊為 n 的正方形金字塔的高度。如圖所示，除正方形底邊外，其他邊都是等邊三角形。因此，斜高也為 n。底邊一角到對角的距離為 n*sqrt(2)。因此，底邊一角到底邊中心的距離為 n*sqrt(2)/2。設高度為 h。考慮高度、底邊一角到底邊中心的距離以及斜高所構成的直角三角形。
h 2 + (n*sqrt(2)/2) 2 = n 2
h = n*sqrt(2)/2。
回想一下，金字塔的體積是底面*高/3。因此，金字塔的體積為：
n 2 * n* sqrt(2)/2 * (1/3) = n 3 *sqrt(2)/6。因此，球與體積的比值為 [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n 3 *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n 3 ) = sqrt(2)*(n+ 1 )(2n+
接下來我們來看看三角形底座的金字塔。
整個金字塔的砲彈數量為1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6。
接下來，我們來求底面積。回想一下，30°-60°-90°三角形的邊長分別與1/2、sqrt(3)/2和1成比例。由此不難得出，邊長為n的等邊三角形的高是n*sqrt(3)/2。這樣，底面積就是n的2 *sqrt(3)/4。
底面一個角到底面中心的距離是 sqrt(3)/3。已知該距離以及金字塔的斜高 1，我們可以用勾股定理求出金字塔的高度，即 sqrt(6)/3。
現在我們可以找到金字塔的體積，即底面*高度/3 = (n 2 *sqrt(3)/4) * (n*sqrt(6)/3) * (1/3) = n 3 *sqrt(18)/36 = n 3 *sqrt(2)/12。
因此，球與體積的比值為 [n*(n+1)*(n+2)/6] / [n 3 *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n 3 ) = sqrt(2)*(n+1)n(n+2)n 2n+
以下是球與體積比率的比較：
- 平方底：sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n 2 )
- 三角形底邊：sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n 2
我們將兩個比值除以 sqrt(2)*(n+1)/n 2 ：
- 方底：（2n+1）/2 = n + 0.5
- 三角形底數：n+2
隨著 n 的增大，兩個金字塔的砲彈數量與體積之比都會趨近於 n。換句話說，砲彈數量越多，它們的效率就越接近。
給定一個砲彈的體積，兩個金字塔的效率（定義為砲彈體積與總體積的比率）接近 pi*sqrt(2)/6 =~ apx. 74.05%。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。