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請問巫師 #333

有無數個燈泡，全部關閉。燈泡開啟的時間間隔服從指數分佈*，平均值為1天。燈泡開啟後，其預期壽命也服從指數分佈，平均值為1天。

第一個燈泡燒壞的平均時間是多少？

*：服從指數分佈的隨機事件具有無記憶特性，即過去的事情並不重要。換句話說，單一事件永遠不會過期，其發生的機率也始終相同。

Ace2

答案是 e - 1 = 約 1.7182818...

[劇透=解]

平均而言，第一盞燈泡需要一天的時間才能亮起來。

從那時開始，平均需要半天才能發生下一個重大事件，要么是新燈泡亮了，要么是第一個燈泡燒壞了。我們將等待時間加到半天，這樣就得到了 1 + (1/2) = 1.5 天。

第二個事件是打開第二個燈泡的機率是1/2。在這種情況下，距離下一個重要事件（前兩個燈泡燒壞或打開新燈泡）有1/3天的等待時間。因此，將1/2（發生到這一步驟的機率）乘以1/3，等於1/6，加到等待時間。這樣，我們得到的不是1.5 + 1/6 = 5/3 = 1.66667天。

第三個重要事件是第三個燈泡亮起的機率為 (1/2)*(1/3) = 1/6。在這種情況下，距離下一個重要事件（前三個燈泡燒壞或新燈泡亮起）有 1/4 天的等待時間。因此，將 1/6（發生到這一步驟的機率）乘以 1/4，等於 1/24，加到等待時間上。這樣，我們得到的不是 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1.7083 天。

依照這個模式，答案是 (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

常識應該是 e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

唯一的差別是我們的答案少了 1/0! 這個因子。因此，答案是 e - 1/0! = e - 1 = 約 1.7182818…

[劇透]

我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。

平均而言，一個人必須玩多少場紅心大戰*才能看到自己手中的全部 52 張牌？

*：紅心大戰使用一副52張牌的牌組進行遊戲。每手牌由13張牌組成。

anonymous

要看完整 52 張牌，平均需要 16.41217418 手牌。

[劇透=解]

我使用 Excel 中的馬可夫鏈來解決這個問題。下表顯示了在 4 到 100 手牌中看到全部 52 張牌的機率。左列顯示牌局數。中間列顯示玩家在 4 到 100 手牌中剛好看到第 52 張牌的機率。右列顯示玩家在 4 到 100 手牌中剛好看到第 52 張牌的機率。例如，恰好 20 手牌的機率為 4.64%，20 手牌或更少手牌的機率為 84.63%。

紅心問題

手可能性
精確的
數位		可能性
透過這個
數位
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
十三0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0.7416558705
19 0.0582992717 0.7999551422
20 0.0463771514 0.8463322937
21 0.0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0.9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
二十五0.0125489118 0.9614994539
二十六0.0095051901 0.9710046441
二十七0.0071815343 0.9781861784
二十八0.0054157295 0.9836019079
二十九0.0040783935 0.9876803013
三十0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
三十二0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
三十四0.0009767397 0.9970651521
三十五0.0007330651 0.9977982171
三十六0.0005500841 0.9983483012
三十七0.0004127226 0.9987610238
三十八0.0003096311 0.9990706549
三十九0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
四十二0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
四十四0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
四十七0.0000232667 0.9999301974
四十八0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0.9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000
[劇透]

加州內華達州的賭場裡有一款古老的電子二十一點遊戲，規則如下：

  • 贏錢（二十一點除外）賠率為 3 比 2（或 1 比 2）
  • 二十一點賠率為 6 比 1（或 5 比 1）
  • 單層
  • 莊家在軟 17 點停牌
  • 任何最初提供的兩張底牌都加倍
  • 允許拆分
  • 分牌後加倍
  • 無需重新拆分
  • 不投降

Rosebud

有意思。我假設如果玩家加倍下注並獲勝，他仍然只能獲得總賭注金額的 1 比 2 的賠付。

首先，這些規則的基本策略如下：

  • 硬牌：絕不加倍。其他方面，與常規基本策略類似，但12對3、16對10時停牌。
  • 軟牌：切勿加倍。若要軟牌17或以下，或軟牌18對9，則停牌。否則，停牌。
  • 對子：只有當牌面是 6 到 8 時，才用 8 來分牌。一定要打出兩張 A。否則，請遵循硬總點數策略。

根據這些規則和策略，我獲得了 7.88% 的莊家優勢。

如果玩家在擲出七點之前必須兩次獲得一個點數才能贏得擲骰子的通過線賭注，那麼這會增加多少賭場優勢？

Gary

這項可怕的規則將使賭場優勢從 1.41% 增加到 33.26%。