請問巫師 #325
一位農民種了5顆蘋果種子。每天，每顆種子有1/3的機率發芽。請問五棵樹全部發芽的平均時間是多少？
[劇透=解]
一位農民種了5顆蘋果種子。每天，每顆種子有1/3的機率發芽。請問五棵樹全部發芽的平均時間是多少？
我們反過來算一下。如果剩下一顆種子還沒有發芽，它平均需要 1/p 天才能發芽，其中 p 是任一天發芽的機率。由於 p = 1/3，所以平均需要 3 天才能發芽。我們稱之為 t 1 = 3。
如果剩下兩顆種子呢？第二天兩顆種子都有 ap 2 = 1/9 的機率發芽，這樣就完成了。其中一顆種子第二天發芽的機率是 2×p×q，其中 q 是不發芽的機率。因此，一顆種子發芽的機率是 2×(1/3)(2/3) = 4/9。兩顆種子都不發芽的機率是 q 2 = (2/3) 2 = 4/9。我們將兩顆種子的預期天數稱為 t 2 。
t 2 = 1 + (4/9)×t 1 + (4/9)t 2
t 2 = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t 1
t2 = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))
t2 = (21/9) / (5/9)
t2 = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2
如果剩下三顆種子呢？有 p 3 = 1/27 的機率，它們第二天都會發芽，我們就完成了。其中一顆種子第二天發芽的機率是 3×p×q 2 = 3×(1/3)(2/3) 2 = 12/27。第二顆種子第二天發芽的機率是 3×p 2 ×q = 3×(1/3) 2 ×(2/3) = 6/27。沒有種子發芽的機率是 q 3 = (2/3) 3 = 8/27。我們將擁有三顆種子的預期天數稱為 t 3 。
t 3 = 1 + (6/27)t 1 + (12/27)×t 2 + (8/27)×t 3
t 3 = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t 3
t3 × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)
t 3 = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = 約 5.02105263
如果剩下四顆種子怎麼辦？有 ap 4 = 1/81 的機率，四顆種子第二天都會發芽，我們就完成了。一顆種子第二天發芽的機率是 4×p×q 3 = 4×(1/3)(2/3) 3 = 32/81。第二顆種子第二天發芽的機率是 combin(4,2)×p 2 ×q 2 = 6×(1/3) 2 ×(2/3) 2 = 24/81。第三顆種子第二天發芽的機率是 combin(4,3)×p 3 ×q = 4×(1/3) 3 ×(2/3) = 8/81。沒有種子發芽的機率是 q 4 = (2/3) 4 = 16/81。我們將擁有三顆種子的預期天數稱為 t 4 。
t 4 = 1 + (8/81)×t 1 + (24/81)×t 2 + (32/81)×t 3 + (16/81)×t 4
t4 = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)× t4
t 4 = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))
t 4 = 約 5.638056680161943319838056680。
如果剩下的五顆種子都還剩下呢？第二天，五顆種子全部發芽的機率是 p 5 = 1/243，這樣我們就完成了。一顆種子第二天發芽的機率是 5×p×q 4 = 5×(1/3)(2/3) 4 = 80/243。第二顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,2)×p 2 ×q 3 = 10×(1/3) 2 ×(2/3) 3 = 80/243。第三顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,3)×p 3 ×q = 10×(1/3) 3 ×(2/3) 2 = 40/243。第四顆種子第二天發芽的機率是 combin(5,4)×p 4 ×q = 5×(1/3) 4 ×(2/3) = 10/243。沒有種子發芽的機率是 q 5 = (2/3) 5 = 32/243。我們將有三顆種子的預期天數稱為 t 5 。
t 5 = 1 + (10/243)×t 1 + (40/243)×t 2 + (80/81)×t 3 + (80/243)×t 4 + (32/243)×t 5
t5 = (1 + (10/243)× t1 + (40/243)× t2 + (80/81)× t3 + (80/243)× t4 ) / (1 - (32/243))
t5 = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))
t 5 = 約 6.131415853。
[/spoiler]該問題改編自Mind Your Decisions的 Presh Talwalkar 提出的類似問題。
有一個圓錐形帳篷，半徑為1米，斜高（從底部邊緣任一點到頂端的距離）為4米。你想在圓錐形帳篷底部的任何位置固定一條繩子，用繩子繞著圓錐形帳篷一圈，然後將繩子的另一端綁在你開始固定的木樁上。
- 所需繩索的最小長度是多少？
- 假設使用最小距離，繩子上的任何一點距離尖端有多近？
- 所需繩子的最小長度是多少？答：sqrt(2)*4 = 約 5.6569。
- 假設使用最小距離，繩子上任一點距離繩尖有多近？答：2*sqrt(2) = 約 2.828427125。
[劇透=解]
假設圓錐形帳篷的底部是裸露的地面。換句話說，圓錐形帳篷只有牆壁，沒有底座。由於半徑為 1，因此圓錐形帳篷底部的直徑為 2*pi。
從底部的任一點到頂端切割帳篷，並將材料平放。
這個切片空間的彎曲部分仍然是 2*pi。由於斜高為 4，如果將此切片擴展為完整的圓，半徑將是 8*pi。因此，這個切片是圓的 1/4。
三角形的邊長為4，夾角為90度，三點之間的斜邊長度為sqrt(2)*4 = 約5.6569。如果你重新組裝帳篷，這個距離就是繩子的長度。
將切片再次平放，並使用勾股定理，很容易看出從斜邊到帳篷頂端的最近點是 2*sqrt(2) = apx。 2.828427125。
[/spoiler]這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。
我玩的是10人玩的視訊撲克，發牌後拿到了一對。之後十手牌都變成了四張。賠率是多少？
一對牌變成四張同點牌的機率為 45/COMBIN(47,3) = 約 0.002775208。
十手有十手出現這種情況的機率是 (0.002775208) 10 = 約 36,901,531,632,979,700,000,000,000 分之一。
這個機率就像購買三張獨立且隨機的強力球彩票並全部中獎一樣。
解釋是，這不是普通的電子撲克遊戲，它採用自然機率，即每張牌從牌堆剩餘的牌中抽出的機率均等。不，這叫做“VLT”，即視訊彩票終端。在這類遊戲中，無論玩家如何支付，結果都是注定的。它就像刮刮樂彩票，但結果會像電子撲克遊戲一樣顯示給玩家。你可能會問，如果玩家拿到全部五張牌會發生什麼事？然後會有一個精靈出現，改變一些牌，或者玩家會贏得獎金，最終贏得2500積分。
這個問題是在我的「拉斯維加斯巫師」論壇中提出並討論的。