請問巫師 #312
哥斯達黎加體育博彩公司BookMaker.eu對川普在邊境牆電視演講中會說多少虛假言論進行了下注。他們設定的賠率是3.5。96%的投注都押在了「大」上，最終他們損失了276,424美元。你覺得這個賭注的公平賠率是多少呢？
據BookMaker稱，《華盛頓郵報》會統計政治虛假言論的數量，並將其作為謊言數量的來源。據該消息來源稱，川普在2018年平均每天發表15條虛假言論。分析此賭注的下一個問題是，川普每天花多少時間發表公開聲明？在我看來，推文、採訪和即興演講加起來，20分鐘似乎是合理的估計。至少是個不錯的整數。簡單除法即可得出15/20 = 每分鐘0.75條虛假言論，即每80秒一條。
媒體在演講開始前估計會持續六到八分鐘。我們把差距縮小到七分鐘。七分鐘內，每分鐘出現0.75次虛假陳述，我們估計會有5.25次虛假陳述。所以，我會把上下限設定為5.5。
順便說一句，如果我們假設虛假陳述的平均數量為 5.25，那麼如果我們假設總數按照泊松分佈分佈，那麼三個或更少虛假陳述的機率為 23.17%，我認為這是一個合理的假設。
順便說一下，最終，虛假陳述的數量被評為六項。
這個問題是在拉斯維加斯巫師論壇上關於川普的很長的帖子中提出和討論的，但這個特定主題的討論從這裡開始。
在單零輪盤賭中，每個數字至少出現一次所需的平均旋轉次數和中位數是多少？
求平均值要容易得多，所以我們就從平均值開始。讓我們一步一步來：
- 第一次旋轉肯定會出現一個新數字。
- 第二次旋轉出現新數字的機率為 36/37。若某事件的機率為 p，則該事件發生的預期嘗試次數為 1/p。在這種情況下，出現第二個數字的預期嘗試次數為 37/36 = 1.0278。
- 觀測到兩個數字後，下次旋轉出現新數字的機率為35/37。因此，觀測到第二個數字後，預期旋轉次數為37/35 = 1.0571。
- 依照這個邏輯，看到每個數字的平均旋轉次數是 1 + 37/36 + 37/35 + 37/34 + ... + 37/2 + 37/1 = 155.458690。
中位數要複雜得多。為了找到確切的答案，與使用隨機模擬不同，我們需要運用大量的矩陣代數運算。我已經在其他「問巫師」問題中討論過如何解決類似的問題，因此不再贅述。類似問題的一個例子是連續三次擲出一對 6-6 的機率，正如「問巫師」#311中所討論的。可以說，在 145 次旋轉中看到所有數字的機率是 0.49161779，在 146 次旋轉中看到所有數字的機率是 0.501522154。因此，中位數是 146。
我在Wizard of Vegas論壇上提出並討論了這個問題。
假設你有12個六面骰。你擲它們，然後可以把任何你想棄掉的骰子放在一邊。然後你重新擲出剩下的骰子。兩次擲出12點的機率是多少？
初始擲骰結果有 58 種不同的序列。我辨識每種序列的方法是：先計算骰麵數最多的數字，然後計算骰麵數第二的骰子總數，以此類推。例如，擲出 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 的機率表示為 4-3-2-1。下表列出了每個序列的組合數、擲出該序列的機率、第二次擲出相同點數 12 的機率以及兩者的乘積。對於第二次擲出的機率，我假設玩家持有初始擲骰結果最大的骰子。右下角單元格顯示的總機率為 0.0000037953，相當於 263,486 分之一。
12 骰子問題
| 順序 | 組合 | 可能性 順序 | 條件 可能性 | 全部的 可能性 |
|---|---|---|---|---|
| 12-0-0-0-0-0 | 6 | 0.0000000028 | 1.0000000000 | 0.0000000028 |
| 11-1-0-0-0-0 | 360 | 0.0000001654 | 0.1666666667 | 0.0000000276 |
| 10-2-0-0-0-0 | 1,980 | 0.0000009096 | 0.0277777778 | 0.0000000253 |
| 10-1-1-0-0-0 | 7,920 | 0.0000036384 | 0.0277777778 | 0.0000001011 |
| 9-3-0-0-0-0 | 6,600 | 0.0000030320 | 0.0046296296 | 0.0000000140 |
| 9-2-1-0-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 9-1-1-1-0-0 | 79,200 | 0.0000363840 | 0.0046296296 | 0.0000001684 |
| 8-4-0-0-0-0 | 14,850 | 0.0000068220 | 0.0007716049 | 0.0000000053 |
| 8-3-1-0-0-0 | 237,600 | 0.0001091519 | 0.0007716049 | 0.0000000842 |
| 8-2-2-0-0-0 | 178,200 | 0.0000818639 | 0.0007716049 | 0.0000000632 |
| 8-2-1-1-0-0 | 1,069,200 | 0.0004911837 | 0.0007716049 | 0.0000003790 |
| 8-1-1-1-1-0 | 356,400 | 0.0001637279 | 0.0007716049 | 0.0000001263 |
| 7-5-0-0-0-0 | 23,760 | 0.0000109152 | 0.0001286008 | 0.0000000014 |
| 7-4-1-0-0-0 | 475,200 | 0.0002183039 | 0.0001286008 | 0.0000000281 |
| 7-3-2-0-0-0 | 950,400 | 0.0004366077 | 0.0001286008 | 0.0000000561 |
| 7-3-1-1-0-0 | 2,851,200 | 0.0013098232 | 0.0001286008 | 0.0000001684 |
| 7-2-2-1-0-0 | 4,276,800 | 0.0019647348 | 0.0001286008 | 0.0000002527 |
| 7-2-1-1-1-0 | 5,702,400 | 0.0026196464 | 0.0001286008 | 0.0000003369 |
| 7-1-1-1-1-1 | 570,240 | 0.0002619646 | 0.0001286008 | 0.0000000337 |
| 6-6-0-0-0-0 | 13,860 | 0.0000063672 | 0.0000214335 | 0.0000000001 |
| 6-5-1-0-0-0 | 665,280 | 0.0003056254 | 0.0000214335 | 0.0000000066 |
| 6-4-2-0-0-0 | 1,663,200 | 0.0007640635 | 0.0000214335 | 0.0000000164 |
| 6-4-1-1-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-3-3-0-0-0 | 1,108,800 | 0.0005093757 | 0.0000214335 | 0.0000000109 |
| 6-3-2-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000214335 | 0.0000001965 |
| 6-3-1-1-1-0 | 13,305,600 | 0.0061125083 | 0.0000214335 | 0.0000001310 |
| 6-2-2-2-0-0 | 4,989,600 | 0.0022921906 | 0.0000214335 | 0.0000000491 |
| 6-2-2-1-1-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000214335 | 0.0000002948 |
| 6-2-1-1-1-1 | 9,979,200 | 0.0045843812 | 0.0000214335 | 0.0000000983 |
| 5-5-2-0-0-0 | 997,920 | 0.0004584381 | 0.0000035722 | 0.0000000016 |
| 5-5-1-1-0-0 | 2,993,760 | 0.0013753144 | 0.0000035722 | 0.0000000049 |
| 5-4-3-0-0-0 | 3,326,400 | 0.0015281271 | 0.0000035722 | 0.0000000055 |
| 5-4-2-1-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-4-1-1-1-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-3-1-0-0 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-3-2-2-0-0 | 29,937,600 | 0.0137531436 | 0.0000035722 | 0.0000000491 |
| 5-3-2-1-1-0 | 119,750,400 | 0.0550125743 | 0.0000035722 | 0.0000001965 |
| 5-3-1-1-1-1 | 19,958,400 | 0.0091687624 | 0.0000035722 | 0.0000000328 |
| 5-2-2-2-1- | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 5-2-2-1-1-1 | 59,875,200 | 0.0275062872 | 0.0000035722 | 0.0000000983 |
| 4-4-4-0-0-0 | 693,000 | 0.0003183598 | 0.0000005954 | 0.0000000002 |
| 4-4-3-1-0-0 | 24,948,000 | 0.0114609530 | 0.0000005954 | 0.0000000068 |
| 4-4-2-2-0-0 | 18,711,000 | 0.0085957147 | 0.0000005954 | 0.0000000051 |
| 4-4-2-1-1-0 | 74,844,000 | 0.0343828589 | 0.0000005954 | 0.0000000205 |
| 4-4-1-1-1-1 | 12,474,000 | 0.0057304765 | 0.0000005954 | 0.0000000034 |
| 4-3-3-2-0-0 | 49,896,000 | 0.0229219060 | 0.0000005954 | 0.0000000136 |
| 4-3-3-1-1-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000005954 | 0.0000000273 |
| 4-3-2-2-1-0 | 299,376,000 | 0.1375314358 | 0.0000005954 | 0.0000000819 |
| 4-3-2-1-1-1 | 199,584,000 | 0.0916876238 | 0.0000005954 | 0.0000000546 |
| 4-2-2-2-2-0 | 37,422,000 | 0.0171914295 | 0.0000005954 | 0.0000000102 |
| 4-2-2-2-1-1 | 149,688,000 | 0.0687657179 | 0.0000005954 | 0.0000000409 |
| 3-3-3-3-0-0 | 5,544,000 | 0.0025468784 | 0.0000000992 | 0.0000000003 |
| 3-3-3-2-1-0 | 133,056,000 | 0.0611250826 | 0.0000000992 | 0.0000000061 |
| 3-3-3-1-1-1 | 44,352,000 | 0.0203750275 | 0.0000000992 | 0.0000000020 |
| 3-3-2-2-2-0 | 99,792,000 | 0.0458438119 | 0.0000000992 | 0.0000000045 |
| 3-3-2-2-1-1 | 299,376,000 | 0.1375314358 | 0.0000000992 | 0.0000000136 |
| 3-2-2-2-2-1 | 149,688,000 | 0.0687657179 | 0.0000000992 | 0.0000000068 |
| 2-2-2-2-2-2 | 7,484,400 | 0.0034382859 | 0.0000000165 | 0.0000000001 |
| 全部的 | 2,176,782,336 | 1.0000000000 | 0.0000037953 |