請問巫師 #205
我在金神賭場玩，那裡很多二十一點賭桌都有「與莊家相符」的附加賭注。使用高/低點數時，附加賭注的賠率會隨著點數的增加或減少而變好還是變壞？非常感謝。
0.75。
您正在玩一個包含三個人的遊戲：(a) 您自己，(b) 您的對手，以及 (c) 一名裁判。你們每人秘密選擇一個介於 0 到 1 之間的實數。所有數字都選好後，它們就會被揭曉。猜得最接近裁判數字且不超過的玩家獲勝。如果您猜得更接近，您將贏得 1 美元。如果您的對手猜得更接近，您將輸掉 1 美元。如果雙方都猜得超過或出現平局，則遊戲為平局。
如果對方隨機選擇，你能否選擇一個數字，使你的預期報酬最大化？如果對方也有策略呢？
希望你滿意，我花了一整天做第二部分，但答案還是錯的。為了避免讓讀者失去同樣的樂趣，我不會在這裡直接說出答案。我把這個問題分成了兩個問題，並在mathproblems.info上發布了答案和解答，分別是問題 196 和 197。
如果有的話，不燒牌對單副牌二十一點遊戲有什麼影響？
如果你不數牌，那就沒關係。如果你數牌，那麼在進行真實牌數轉換時，所有燒掉的牌都應該加到牌盒/牌盒中未打出的牌數中。
我感覺自己在撲克遊戲中被騙了。根據我的計算，AA 和 KK 的單挑每 45,000 手牌才會出現一次，但我在 400 手牌中就出現了 3 次。這是否足以讓我懷疑什麼？
對於牌桌上每位對手來說，KK 對 AA 時輸掉的機率是 ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0.000022162。也就是說，每 45,121 手牌中出現一次，所以你的計算是正確的。 400 手牌中，預期出現這種情況的次數是 400 × 0.000022162 = 0.008865084，每位對手。下表顯示了 400 手牌中，KK 對陣 AA 出現 3 次或以上機率，並根據對手人數進行計算。
400手牌中3+ KK vs AA的機率
| 對手 | 可能性 | 逆 |
|---|---|---|
| 1 | 0.0000001145 | 8,734,376 中 1 份 |
| 2 | 0.0000009133 | 1,094,949分之一 |
| 3 | 0.0000030658 | 326,182分之1 |
| 4 | 0.0000072234 | 1/138,438 |
| 5 | 0.0000140202 | 71,325分之1 |
| 6 | 0.0000240728 | 41,541 人中 1 人 |
| 7 | 0.000037981 | 26,329 人中 1 人 |
| 8 | 0.0000563277 | 17,753分之1 |
| 9 | 0.0000796798 | 1/12,550 |
所以，是的，我覺得這看起來很可疑。玩家越少，就越可疑。我很想知道這遊戲在哪裡。
哇！這真是個很棒的網站，我簡直不敢相信我最近才發現它。我已經花了好幾天研究你的數據、分析和評論。你的訊息太有說服力了，我簡直無法反駁。
由於我無法控制統計數據，我的問題涉及到一些我可以控制的東西，那就是遊戲時長（以及資金）。既然一百萬甚至十億手牌是由許多「遊戲」組成的，例如300到1000手牌，那麼玩到a)達到預先設定的目標贏額，或者b)玩到從連敗中恢復過來並最終收支平衡，是否就沒有意義了？
最後一個問題，您能否推荐一個軟體模擬系統，可以處理所有規則變化、止損條款、提取不同長度的“會話”，以及根據投注規模調整不同的要牌/停牌策略。我很想在電腦上試試我的方法。
謝謝。我常常收到這樣的問題。通常我會刪除它們，但既然你這麼恭維我，這次我來回答。正如我在網站上多次提到的，所有投注系統都同樣毫無價值。沒有神奇的退出點。我並不反對任何輸贏標記來決定退出，但預期值並不比憑感覺行事好或壞。我聽說Casino Vérité能夠模擬你所問的問題。最後，在二十一點中，要牌/停牌的決定不應該取決於賭注的大小。 1美元賭注的正確玩法，對於100萬美元來說也是正確的。