請問巫師 #197
我在英格蘭和荷蘭之間的渡輪上發現了這些糟糕的輪盤賠率：
- 1 號碼：30 比 1
- 2個數字：15比1
- 3個數字：10比1
- 4個數字：7比1
- 5個數字：5比1
- 6個數字：4比1
儘管這艘渡輪往返於兩個歐洲國家之間，但它卻是美式雙零。賠率是多少？ ——Spanky McBluejay
渡輪業者真丟臉。賭場優勢從13.16%到21.05%不等，如下所示。
荷蘭/英格蘭渡輪輪盤賭
| 數位 | 可能性 | 支付 | 莊家優勢 |
| 1 | 2.63% | 三十 | 18.42% |
| 2 | 5.26% | 15 | 15.79% |
| 3 | 7.89% | 10 | 13.16% |
| 4 | 10.53% | 7 | 15.79% |
| 5 | 13.16% | 5 | 21.05% |
| 6 | 15.79% | 4 | 21.05% |
對於 38 個數字，我們可能會錯誤地說其中任何一個數字都不會被擊中的機率是 38 × (37/38) 200 = 18.34%。
這是不正確的，因為它重複計算了兩個未中數字的機率。所以我們需要減去這些機率。 38 個數字中，有(38,2) = 703 組，每組 2 個。任兩個給定數字未中機率為 (36/38) 200 = 0.000020127。我們需要減去兩個數字都未中的情況。因此，我們得到：
38×(37/38) 200 - 組合(38,2)×(36/38) 200 = 16.9255%。
然而，現在我們已經抵消了三個號碼未中獎的機率。對於任何給定的三個號碼組，我們將任意一個號碼未中獎的機率計算三次。然後，我們分別減去三次，從三個號碼中選出兩個號碼，最後三個號碼全部未中獎的機率為零。共有 combin(38,3)=8,436 個這樣的組別。將它們加回去，我們現在得到：
38×(37/38) 200 - 組合(38,2)×(36/38) 200 + 組合(38,3)×(35/38) 200 = 16.9862%。
然而，現在我們高估了四個號碼未中獎的機率。對於 combin(38,4)=73,815 組四個號碼中的每一組，最初都計算了四次。然後，我們減去了 combin(4,2)=6 組（每組 2 個號碼）中的每一組。之後，我們又加回了 4 組（每組 3 個號碼）的 3 個號碼。因此，對於每個四個號碼的並集，它被計算了 4 − 6 + 4 = 2 次。為了調整重複計算，我們必須對每一組進行減法。減去這些數字後，我們現在得到：
38×(37/38) 200 - 組合(38,2)×(36/38) 200 + 組合(38,3)×(35/38) 200 - 組合(38,4)×(34/38) 200 = 16.9845%。
繼續這個過程，我們會不斷交替進行加減運算，直到失去37個數字。因此，至少一個數字永遠不會被選中的機率是：
總和 i=1 至 37 [(-1) (i+1) × combin(38,i) × ((38-i)/38) 38 ] = 16.9845715651245%
以下是對 126,900,000 個這樣的 200 次旋轉實驗進行隨機模擬的結果。
200 次輪盤賭中命中的數字
| 數字命中 | 觀察 | 比率 |
|---|---|---|
| 31歲或以下 | 0 | 0 |
| 三十二 | 1 | 0.00000001 |
| 33 | 33 | 0.00000026 |
| 三十四 | 1812 | 0.00001428 |
| 三十五 | 68845 | 0.00054251 |
| 三十六 | 1577029 | 0.01242734 |
| 三十七 | 19904109 | 0.15684877 |
| 三十八 | 105348171 | 0.83016683 |
| 全部的 | 126900000 | 1 |
至少一個數字未被擊中的次數比率為 0.169833。