請問巫師 #179
如果重複擲兩顆骰子，直到發生以下任一事件，那麼哪個事件更有可能先發生：
- 擲出的總數為六和八，順序不限，允許重複。
- 總共擲兩次，結果都是七。
有人跟我打賭，6 和 8 會先出現。我答應了，因為 7 是最有可能的數字。然而，我一次又一次地輸掉了 2500 美元。這個機率到底有多大？
恐怕你這次下注是贏了。先擲出兩個7，再擲出6和8的機率是45.44%。以下是所有可能的結果。第一列是與下注結果相關的擲骰順序，忽略所有其他結果。
兩個七，然後是六和八的賭注
| 相關卷 | 可能性 | 公式 | 結果 |
| 6,8 | 0.142045 | （5/16）*（5/11） | 失去 |
| 8,6 | 0.142045 | （5/16）*（5/11） | 失去 |
| 6,7,8 | 0.077479 | （5/16）*（6/11）*（5/11） | 失去 |
| 7,6,8 | 0.053267 | （6/16）*（5/16）*（5/11） | 失去 |
| 8,7,6 | 0.077479 | （5/16）*（6/11）*（5/11） | 失去 |
| 7,8,6 | 0.053267 | （6/16）*（5/16）*（5/11） | 失去 |
| 7,7 | 0.140625 | （6/16）*（6/16） | 贏 |
| 6,7,7 | 0.092975 | （5/16）*（6/11）*（6/11） | 贏 |
| 8,7,7 | 0.092975 | （5/16）*（6/11）*（6/11） | 贏 |
| 7,6,7 | 0.06392 | （6/16）*（5/16）*（6/11） | 贏 |
| 7,8,7 | 0.06392 | （6/16）*（5/16）*（6/11） | 贏 |
基本上，6 和 8 是更好的選擇，因為您可以按任意順序擊中這些數字：6 然後 8，或 8 然後 6。如果有兩個 7，則只有一個順序，即一個 7 然後另一個 7。
親愛的巫師，我在拉斯維加斯的South Point賭場玩了一場促銷活動，可以用雪佛龍加油卡獲得雙倍返現。規則上沒有規定加油卡的兌換上限。然而，當我去兌換時，他們告訴我加油卡的兌換上限是500美元。我知道其他玩家的兌換上限超過1000美元，所以我覺得我受到了不公平的對待。您認為South Point的這種做法公平嗎？為了贏取這些加油卡，我損失了很多錢，本來以為我能賺到遠超過500美元的。謝謝。
我對這個促銷活動很熟悉。我上次去南角賭場的時候，那裡有促銷活動的宣傳單，但當時還沒正式開始。宣傳單上沒有提到任何關於限額的事情。我問了一位工作人員，他說他不知道。雖然我理解你的處境，但我認為如果你在開始玩之前確認牌是無限的，你的理由會更有說服力。在我看來，舉辦規則模糊的促銷活動，讓賭場事後依照自己的喜好解讀細節，這是不專業的做法。這就是為什麼我喜歡在玩之前先問清楚，而不是妄下結論。
如果由我來設計促銷活動，我會考慮所有可能出現的問題或情況，並制定規則來預防此類問題。我同意，規則的不一致應用是不公平的。他們把你列入不受歡迎玩家名單並受到限制，這沒問題，但我認為他們應該在促銷活動的細則中保留這項權利，允許你查詢自己是否在名單上。這有點超出我的專業範圍，所以請謹慎對待我的觀點。
在圖尼卡的無骰子擲骰子賭桌上，你可以買2、3、11和12。你列出的是投注這些數字時的賭場優勢，但沒有列出買入數字時的賭場優勢。如果贏錢時只支付1美元佣金（從1.5美元向下取整），那麼以30美元買入12的賭場優勢是多少？根據我的計算，大約是0.47%，這意味著這是一個非常好的選擇。我計算了所有決策擲骰的總金額（211美元，包括佣金）和損失金額（1美元）後得出的。我這樣做對嗎？我想確認一下，因為這會讓這個賭注非常誘人！也請詳細說明你是如何得出賭場優勢的，這樣我才能確保我的做法是正確的。非常感謝！
我不知道無骰子遊戲（Crapless Craps）有買入投注。下表顯示了位置投注和買入投注的賭場優勢（假設獎金不進行四捨五入）。以你舉的2或12的買入投注為例，投注30美元，獎金為6*30美元-1美元=179美元。因此預期回報為[(1/7)*179美元+(6/7)*-30美元]/30美元=-0.0048，非常接近。
在 Crapless Crapspass 中下注和購買賭注以及在 Crapless Craps 中購買賠率
| 賭注 | 支付 | 機率獲勝 | 莊家優勢 |
| 第2、12名 | 11比2 | 0.142857 | 0.071429 |
| 地點 3,11 | 11點到4點 | 0.25 | 0.0625 |
| 購買 2、12（僅對獲勝者收取佣金） | 119比20 | 0.142857 | 0.007143 |
| 購買 3,11（僅對獲勝者收取佣金） | 59比20 | 0.25 | 0.0125 |
| 購買 2、12（始終收取佣金） | 119至21 | 0.142857 | 0.047619 |
| 購買 3,11（始終有佣金） | 59至21 | 0.25 | 0.047619 |
我最近在玩「雙鬼牌」電玩撲克遊戲時運氣爆棚。我當時在拉斯維加斯，週末連續三次拿到了同花大順。我這裡四捨五入一下，假設我週末玩了10000手。我再次拿到這個牌的幾率是多少？非常感謝你們的分享！
泊松分佈可以用來回答這類問題。其通用公式為 e -m *m x /x!，其中 x 是您觀察到的事件數，m 是預期數。在本例中，x 為 3。在「不那麼醜的鴨子雙雙百搭」遊戲中，出現同花大順的機率為 0.000023。因此，10,000 手牌中的預期數為 0.23。因此，10,000 手牌中剛好出現三張同花大順的機率為 e -0.23 *0.23 3 /3! = 0.161%。 Excel 中此公式的計算方法為 poisson(3,0.23,0)。
我在路易斯安那州的一家賭場玩一對一雙層二十一點。我下了很大的賭注，莊家的牌是 4 和 7，我決定加倍下注。我打開牌，把它們放在籌碼前面，然後加倍下注。莊家繼續打開他的牌，4 和 2，然後抽出一張 10 和 3。然後我們發現莊家忘了寄雙倍下注的牌給我。賭場裁定我輸了，因為我的牌是 11 對 19。我要求賭場給我 10，並根據 4+2+3 抽一張牌。賭場說這些牌不能後退！他所能做的就是退還我的賭注。下一張牌是 10，這應該是我的 21 對莊家的 19。我決定和賭場經理見面，討論賭桌遊戲的賠償問題。我需要關於如何就此事與經理聯繫的建議。這種賭場錯誤通常能獲得賠償嗎？
賭場不喜歡備份牌，因為這可能會導致一些因為錯誤而贏錢的玩家輸錢。一般規則是，如果錯誤地備份了多張牌，則判定該手牌無效。然而，賭場經常會稍微變通規則，讓玩家高興。例如，上個月我獨自在威尼斯人玩二十一點時，我加倍了。荷官根本沒看到我下雙倍注，以為我停牌，翻開他的牌，然後用一張 4 來湊成自己的牌。然後我把這個錯誤告訴了荷官。賭場經理讓我選擇接受這張 4 作為我的加倍牌，還是把它燒掉作為下一張牌。我選擇了燒掉它，結果下一張牌又是 4，我最終輸了。雖然我對賭場經理的處理方式很滿意，但經理還是讓荷官繼續追加我的賭注，我認為這非常好，而且超出了他的職責範圍。回到這個問題，只要場地退還你的全部賭注，我認為這就是程序性的。
同花順的出現頻率大約是皇家同花順的四倍，為什麼它的賠率這麼低，大約低了16倍？我承認這不切實際。然而，如果把每手牌的賠率與其出現頻率成反比，豈不是更公平？
問得好。在9/6 J或更好的牌型中，皇家同花順的機率是同花順的22.65%，但皇家同花順的賠率是同花順的16倍。總的來說，同花順只貢獻了遊戲回報的0.55%。同花順就像大多數電玩撲克遊戲中的羅德尼·丹傑菲爾德，毫無存在感。我只能猜測，遊戲開發者想要一個高額的頭獎。沒人喜歡屈居第二，所以也許這就是為什麼最初的遊戲開發者沒有給同花順支付那麼多獎金。
我認為賭博最重要的一點就是知道何時放棄。我從賭徒那裡聽到的最常見的故事是，他們在某個遊戲中投入了多少，結果卻輸得精光。大多數玩家會一直玩下去，直到輸光所有錢。
我的問題是，有沒有什麼方法可以計算出最佳的贏/輸範圍？如果玩家輸了X次，他們就很難恢復，應該直接退出？同樣，如果玩家贏了X次，那麼考慮到遊戲的機率，他已經獲得了相當可觀的收益，應該趁著領先時退出。
我常被問到類似這樣的問題。如果你玩的遊戲預期收益為負（這種情況幾乎總是如此），那麼保住資金的最佳策略就是永遠不玩。然而，如果你為了娛樂而玩，那麼就沒有最佳退出時間點。你玩得越多，你預計的損失就越大，無論你目前的資金狀況如何。正如我之前多次說過的，退出的最佳時機是你不再感到樂趣的時候。