請問巫師 #15

Q: 我非常喜歡你的網站，資訊量很大。謝謝你分享你的想法。我注意到Crappers Delight上推薦了一種叫做「經典回歸」的擲骰子投注策略。他建議，在確定點數後，押注6和8。等其中一個點數被擊中後，再撤回。他說，6和8的組合方式有10種，但7的組合方式只有6種。這聽起來很有道理，但我看到你證明了，表面上看似合乎邏輯的東西，一旦分析清楚，就不那麼光彩了。你對這個策略有什麼看法？如果你在一次擊中後撤回投注，真正的賠率是多少？

這和我<a href="/ask-the-wizard/14/">上週</a>遇到的一個問題類似。沒錯，擲出 6 或 8 有 10 種方法，擲出 7 有 6 種方法。但是，我們不能只看機率，還要將其與收益進行比較。對 6 和 8 的位置注賠率為 7 比 6，而公平賠率是 6 比 5。透過對 6 和 8 進行六個單位的位置注，如果其中一個贏了就放棄另一個，那麼贏得 7 個單位的機率是 62.5%，輸掉 12 個單位的機率是 37.5%。如果玩家必須同時押注 6 和 8，那麼位置注是最好的選擇。這個回報率還不錯，但可以更好。對於優先考慮最小化整體賭場優勢的玩家來說，最好的策略是組合過牌、不過牌、來牌和不來牌，並始終選擇允許的最大賠率。

Q: 在像二十一點這樣不計分的劣勢牌局中，我該如何確定平註（不計分、不加註等）的領先賠率？這種牌局玩了大約45,000手後，我的勝率只有0.5%。這有可能嗎？

這是統計學入門課常見的問題。由於大量的隨機變數和總是趨近於鐘形曲線，我們可以使用中心極限定理來得到答案。 從我關於<a href=/gambling/house-edge/>莊家優勢的</a>部分來看，我們發現二十一點的標準差是1.17。如果你沒有學過統計學，你不會理解這一點，但你例子中輸錢的機率應該是Z統計量45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91。 任何基礎統計學書籍都應該有一張標準常態分佈表，其Z統計量為0.8186。所以，在你的例子中，領先的機率大約是18%。

我非常喜歡你的網站，資訊量很大。謝謝你分享你的想法。我注意到Crappers Delight上推薦了一種叫做「經典回歸」的擲骰子投注策略。他建議，在確定點數後，押注6和8。等其中一個點數被擊中後，再撤回。他說，6和8的組合方式有10種，但7的組合方式只有6種。這聽起來很有道理，但我看到你證明了，表面上看似合乎邏輯的東西，一旦分析清楚，就不那麼光彩了。你對這個策略有什麼看法？如果你在一次擊中後撤回投注，真正的賠率是多少？

Michael

這和我上週遇到的一個問題類似。沒錯，擲出 6 或 8 有 10 種方法，擲出 7 有 6 種方法。但是，我們不能只看機率，還要將其與收益進行比較。對 6 和 8 的位置注賠率為 7 比 6，而公平賠率是 6 比 5。透過對 6 和 8 進行六個單位的位置注，如果其中一個贏了就放棄另一個，那麼贏得 7 個單位的機率是 62.5%，輸掉 12 個單位的機率是 37.5%。如果玩家必須同時押注 6 和 8，那麼位置注是最好的選擇。這個回報率還不錯，但可以更好。對於優先考慮最小化整體賭場優勢的玩家來說，最好的策略是組合過牌、不過牌、來牌和不來牌，並始終選擇允許的最大賠率。

在像二十一點這樣不計分的劣勢牌局中，我該如何確定平註（不計分、不加註等）的領先賠率？這種牌局玩了大約45,000手後，我的勝率只有0.5%。這有可能嗎？

Kevin

這是統計學入門課常見的問題。由於大量的隨機變數和總是趨近於鐘形曲線，我們可以使用中心極限定理來得到答案。

從我關於莊家優勢的部分來看，我們發現二十一點的標準差是1.17。如果你沒有學過統計學，你不會理解這一點，但你例子中輸錢的機率應該是Z統計量45000*0.005/(45000 ^1/2 *1.17) =~ 0.91。

任何基礎統計學書籍都應該有一張標準常態分佈表，其Z統計量為0.8186。所以，在你的例子中，領先的機率大約是18%。

我很好奇——我肯定我的賠率不可能比莊家更高——但我想測試一種適度的賭博方法——即「見好就收」的策略。假設我一開始的賭注是1000美元。假設我一旦中了其中一個就必須離開，我離開時會帶著1200美元而不是一分錢離開的機率是多少？在百家樂中，押閒家贏20%總比輸100%好。

Brian 來自 Denver, Colorado

您遺漏了兩個關鍵資訊：您的投注金額以及投注的牌局。我假設您在百家樂中每次投注1美元，押注閒家。假設沒有平局，閒家獲勝的機率為49.3212%。

設_i表示玩家擁有 $i 時，在輸光所有錢前，就能達到 $1,200 的機率。設 p 表示任意給定賭注的獲勝機率，即 49.3212%。

₀ = 0

_a1 = p* _a2
a ₂ = p*a ₃ + (1-p)*a ₁
a ₃ = p*a ₄ + (1-p)*a ₂

。

a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈
₁₂₀₀ = 1

將左側分成兩部分：

p* _a1 + (1-p)* _a1 = p* _a2
p* _a2 + (1-p)* _a2 = p* _a3 + (1-p)* _a1
p* _a3 + (1-p)* _a3 = p* _a4 + (1-p)* _a2
。
。
。
p*a ₁₁₉₇ + (1-p)*a ₁₁₉₇ = p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₆
p*a ₁₁₉₈ + (1-p)*a ₁₁₉₈ = p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₇
p*a ₁₁₉₉ + (1-p)*a ₁₁₉₉ = p*a ₁₂₀₀ + (1-p)*a ₁₁₉₈

重新排列，左側為 (1-p) 項，右側為 p 項：

（1-p）*（a ₁ ）= p（a ₂ - a ₁ ）
（1-p）*（a ₂ - a ₁ ）= p（a ₃ - a ₂ ）
（1-p）*（ _a3 - _a2 ）= p（ _a4 - _a3 ）
。
。
。
（1-p）*（a ₁₁₉₇ - a ₁₁₉₆ ）= p（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）
（1-p）*（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）= p（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）

接下來將兩邊乘以 1/p：

（1-p）/p*（a ₁ ）=（a ₂ - a ₁ ）
（1-p）/p*（a ₂ - a ₁ ）=（a ₃ - a ₂ ）
（1-p）/p*（ _a3 - _a2 ）=（ _a4 - _a3 ）
。
。
。
（1-p）/p*（a ₁₁₉₇ - a ₁₁₉₆ ）=（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）
（1-p）/p*（a ₁₁₉₈ - a ₁₁₉₇ ）=（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）

下一個望遠鏡總結：

（a ₂ - a ₁ ）=（1-p）/p*（a ₁ ）
（a ₃ - a ₂ ）=（（1-p）/p） ² *（a ₁ ）
（a ₄ - a ₃ ）=（（1-p）/p） ³ *（a ₁ ）
。
。
。
（a ₁₁₉₉ - a ₁₁₉₈ ）=（（1-p）/p） ¹¹⁹⁸ *（a ₁ ）
(a ₁₂₀₀ - a ₁₁₉₉ ) = ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ *(a ₁ )

接下來將上述方程式相加：

(a ₁₂₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

1 = a ₁ * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

a ₁ = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ¹¹⁹⁹ )

a ₁ = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1)

現在我們知道了₁ ，我們就可以找到₁₀₀₀ ：

（a ₂ - a ₁ ）=（1-p）/p*（a ₁ ）
（a ₃ - a ₂ ）=（（1-p）/p） ² *（a ₁ ）
（a ₄ - a ₃ ）=（（1-p）/p） ³ *（a ₁ ）
。
。
。
(a ₉₉₉ - a ₁₈ ) = ((1-p)/p) ⁹⁹⁹⁸ *(a ₁ )
（a ₁₀₀₀ - a ₁₉ ）=（（1-p）/p） ⁹⁹⁹⁹ *（a ₁ ）

將上述等式相加：

(a ₁₀₀₀ - a ₁ ) = a ₁ * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) ² + ((1-p)/p) ³ + ... + ((1-p)/p) ⁹⁹⁹ )
₁₀₀₀ = ₁ * (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1)) / ((1-p)/p - 1))
₁₀₀₀ = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) ] * [ (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
₁₀₀₀ = (((1-p)/p) ¹⁰⁰⁰ - 1) / (((1-p)/p) ¹²⁰⁰ - 1) =~ 0.004378132。

只要時間足夠，在任何靠運氣的遊戲中，賠率很可能會趕上玩家的節奏，資金也會逐漸減少。但是，如果你下注更多，你的賠率會更高。以下是不同投注額下，贏20%後輸100%的賠率。

5美元：0.336507
10美元：0.564184
25美元：0.731927
50美元：0.785049
100美元：0。809914

有關此類問題的更多數學知識，請參閱我的MathProblems.info網站，問題 116。