請問巫師 #15
我非常喜歡你的網站，資訊量很大。謝謝你分享你的想法。我注意到Crappers Delight上推薦了一種叫做「經典回歸」的擲骰子投注策略。他建議，在確定點數後，押注6和8。等其中一個點數被擊中後，再撤回。他說，6和8的組合方式有10種，但7的組合方式只有6種。這聽起來很有道理，但我看到你證明了，表面上看似合乎邏輯的東西，一旦分析清楚，就不那麼光彩了。你對這個策略有什麼看法？如果你在一次擊中後撤回投注，真正的賠率是多少？
這和我上週遇到的一個問題類似。沒錯，擲出 6 或 8 有 10 種方法，擲出 7 有 6 種方法。但是，我們不能只看機率，還要將其與收益進行比較。對 6 和 8 的位置注賠率為 7 比 6，而公平賠率是 6 比 5。透過對 6 和 8 進行六個單位的位置注，如果其中一個贏了就放棄另一個，那麼贏得 7 個單位的機率是 62.5%，輸掉 12 個單位的機率是 37.5%。如果玩家必須同時押注 6 和 8，那麼位置注是最好的選擇。這個回報率還不錯，但可以更好。對於優先考慮最小化整體賭場優勢的玩家來說，最好的策略是組合過牌、不過牌、來牌和不來牌，並始終選擇允許的最大賠率。
在像二十一點這樣不計分的劣勢牌局中，我該如何確定平註（不計分、不加註等）的領先賠率？這種牌局玩了大約45,000手後，我的勝率只有0.5%。這有可能嗎？
這是統計學入門課常見的問題。由於大量的隨機變數和總是趨近於鐘形曲線，我們可以使用中心極限定理來得到答案。
從我關於莊家優勢的部分來看，我們發現二十一點的標準差是1.17。如果你沒有學過統計學，你不會理解這一點，但你例子中輸錢的機率應該是Z統計量45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91。
任何基礎統計學書籍都應該有一張標準常態分佈表，其Z統計量為0.8186。所以，在你的例子中，領先的機率大約是18%。
我很好奇——我肯定我的賠率不可能比莊家更高——但我想測試一種適度的賭博方法——即「見好就收」的策略。假設我一開始的賭注是1000美元。假設我一旦中了其中一個就必須離開，我離開時會帶著1200美元而不是一分錢離開的機率是多少？在百家樂中，押閒家贏20%總比輸100%好。
您遺漏了兩個關鍵資訊：您的投注金額以及投注的牌局。我假設您在百家樂中每次投注1美元，押注閒家。假設沒有平局，閒家獲勝的機率為49.3212%。
設i表示玩家擁有 $i 時，在輸光所有錢前，就能達到 $1,200 的機率。設 p 表示任意給定賭注的獲勝機率，即 49.3212%。
0 = 0
a1 = p* a2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
。
a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
1200 = 1
將左側分成兩部分：
p* a1 + (1-p)* a1 = p* a2
p* a2 + (1-p)* a2 = p* a3 + (1-p)* a1
p* a3 + (1-p)* a3 = p* a4 + (1-p)* a2
。
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p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
重新排列，左側為 (1-p) 項，右側為 p 項：
（1-p）*（a 1 ）= p（a 2 - a 1 ）
（1-p）*（a 2 - a 1 ）= p（a 3 - a 2 ）
（1-p）*（ a3 - a2 ）= p（ a4 - a3 ）
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（1-p）*（a 1197 - a 1196 ）= p（a 1198 - a 1197 ）
（1-p）*（a 1198 - a 1197 ）= p（a 1199 - a 1198 ）
接下來將兩邊乘以 1/p：
（1-p）/p*（a 1 ）=（a 2 - a 1 ）
（1-p）/p*（a 2 - a 1 ）=（a 3 - a 2 ）
（1-p）/p*（ a3 - a2 ）=（ a4 - a3 ）
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（1-p）/p*（a 1197 - a 1196 ）=（a 1198 - a 1197 ）
（1-p）/p*（a 1198 - a 1197 ）=（a 1199 - a 1198 ）
下一個望遠鏡總結：
（a 2 - a 1 ）=（1-p）/p*（a 1 ）
（a 3 - a 2 ）=（（1-p）/p） 2 *（a 1 ）
（a 4 - a 3 ）=（（1-p）/p） 3 *（a 1 ）
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（a 1199 - a 1198 ）=（（1-p）/p） 1198 *（a 1 ）
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )
接下來將上述方程式相加：
(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
1 = a 1 * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )
a 1 = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1)
現在我們知道了1 ，我們就可以找到1000 ：
（a 2 - a 1 ）=（1-p）/p*（a 1 ）
（a 3 - a 2 ）=（（1-p）/p） 2 *（a 1 ）
（a 4 - a 3 ）=（（1-p）/p） 3 *（a 1 ）
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(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
（a 1000 - a 19 ）=（（1-p）/p） 9999 *（a 1 ）
將上述等式相加：
(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
1000 = 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) =~ 0.004378132。
只要時間足夠，在任何靠運氣的遊戲中，賠率很可能會趕上玩家的節奏，資金也會逐漸減少。但是，如果你下注更多，你的賠率會更高。以下是不同投注額下，贏20%後輸100%的賠率。
5美元：0.336507
10美元：0.564184
25美元：0.731927
50美元：0.785049
100美元：0。809914
有關此類問題的更多數學知識，請參閱我的MathProblems.info網站，問題 116。
為什麼二十一點基本策略圖表的設定都基於莊家有「10」的理論？而實際上，我相信無論莊家有「10」的牌，勝率都是9比4。我是不是漏掉了什麼？您的網站非常有趣。非常感謝。
假設莊家的牌是10只是一種記憶機制，與基本策略的建構方式毫無關係。當我聽到一個玩家對另一個玩家說：「你總是假設莊家的牌是10。」我無法袖手旁觀。如果真是這樣，那麼玩家面對10就應該拿到19，這顯然是不合理的。