請問巫師 #149
巫師，我剛剛讀了胡安·帕隆多悖論，覺得你可能會感興趣。它展示瞭如何交替進行兩場失敗的遊戲，從而形成一場勝利的遊戲。總之，我覺得這對博弈論者來說是一個有趣的「小把戲」。我喜歡你的網站！
我個人覺得帕隆多悖論沒什麼意思，但你不是第一個問我這個問題的人，所以我就說說我的看法。它的重點是，如果玩家在兩個特定的失敗遊戲之間交替進行，就能獲得優勢。
舉例來說，在遊戲一中，贏1美元的機率是49%，輸1美元的機率是51%。在遊戲二中，如果玩家的資金能被3整除，那麼他贏1美元的機率是9%，輸1美元的機率是91%。在遊戲二中，如果玩家的資金不能被3整除，那麼他贏1美元的機率是74%，輸1美元的機率是26%。
第一場比賽的預期值顯然是 49%*1 + 51%*-1 = -2%。
在第二局遊戲中，你不能簡單地取兩種可能性的加權平均值。這是因為遊戲很快就會從資金餘數為1的遊戲中獲勝，並且經常在餘數為0和2之間交替。換句話說，資金會不成比例地投入在獲勝機率為9%的遊戲中。整體而言，僅玩第二局遊戲，預期值為-1.74%。
然而，透過交替進行兩場第一局和第二局，我們打破了第二局的交替模式。這會導致75%機率的遊戲玩得更多，而9%機率的遊戲玩得更少。混合這兩種遊戲的方式無窮無盡。 「2+2」策略，即進行兩輪第一局和第二局，然後重複，其預期值為0.48%。
我要強調的是，這在賭場裡毫無實際價值。沒有哪個賭場遊戲會根據玩家資金的模數來改變規則。不過，我預測，遲早會有人發明帕隆多投注系統，在輪盤賭和擲骰子之間交替，這當然會和其他投注系統一樣毫無價值。
我理解的事件「等待時間」是該事件機率的倒數。我感興趣的是計算用一個骰子擲出連續2的等待時間。在模擬中，我平均擲出42次。我該如何將其與擲出連續2的機率連結起來？
對於單一事件，如果機率為 p，則平均等待時間為 1/p，這的確沒錯。然而，對於連續事件，情況會變得更加複雜。設 x 表示最後一次擲出的結果不是 2 的狀態。這也是初始狀態。設 y 表示最後一次擲出的結果為 2 的狀態。第一次擲出結果後，我們有 5/6 的機率仍處於狀態 x，有 1/6 的機率處於狀態 y。設 Ex(x) 表示從狀態 x 開始的擲骰次數的預期，Ex(y) 表示從狀態 y 開始的擲骰次數的預期。那麼…
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y)，且
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)
求解這兩個方程式...
Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
（1/36）*Ex（x）= 7/6
例如（x）= 36 *（7/6）= 42
因此連續兩次擲出 2 的平均等待時間為 42 次。
我遇到了相同類型的問題，只有預期翻轉才能得到兩次正面，在我的數學問題網站上，請參閱問題 128。
我男友和前女友保持著郵件往來，但當她承認自己和他交往的意圖不正當時，他們就結束了這段關係。然而，前女友（她是雙性戀）後來給我男友發了封郵件，痛斥他，說他「被迫」繼續通信，因為他「曾經試圖結束這段關係」。儘管前女友會在假日給他寄卡片，偶爾還會發短信給他，但我並不介意她的意圖，而且這段鬧劇也被揭露了。但有一次，她女朋友給他留了一條奇怪的手機短信，假裝是我約他出去。他仍然堅稱自己回覆的郵件平淡無奇、毫無性趣，而且他對她沒有感覺。然而今晚，在我們常去的一傢俱樂部，他卻變得驚慌失措，把我從朋友身邊拉開，說那兩個人在那裡，我們必須離開──他不想讓他們看到他。我說他隱瞞了什麼。他說他沒有；只是她女朋友情緒不穩定，他根本不知道她會在公共場合做出什麼瘋狂的事情。這到底是怎麼回事？
我認為，一對情侶分手後幾乎不可能再做朋友。你所能期待的最好結果也不過是聖誕賀卡式的友誼。除此之外，至少有一方正在考慮複合。雖然你沒問，但我對分手的建議是，徹底斷絕關係，然後繼續你的生活。我當然不知道到底發生了什麼，但我無風不起浪。你沒有足夠的證據來指控，卻仍然懷疑。
當地一家賭場正在取消加勒比梭哈遊戲，但根據MGC規則，他們必須先支付全部累積獎金。賭桌底注為5美元，累積邊注為1美元。他們支付的賠率是同花150，葫蘆300，四條1500，同花順155,000，賠率12/1。根據我的計算，我在邊注上的優勢高達270%，但幾乎全部都花在了同花順上。僅從較低的三個賠償來看，玩家優勢是8.7%。這足以抵銷主註5.25%左右的賭場優勢嗎？我該如何結合這兩個優勢？如果我認為我有機會拿到同花順，那麼這個賭注顯然是贏家；但如果我假設我沒機會拿到同花順，這個遊戲還值得玩嗎？感謝您抽出時間。
巧合的是，我聽說拉斯維加斯的一家賭場也做了同樣的事情，因為他們想取消他們的加勒比梭哈遊戲。以下是計算同花順贏得全額累積獎金時的預期回報的通用公式。 (((5108*FL+3744*FH+624*FK+40*J)/2598960)-M*0.052243-1)/(M+1)，其中
FL = 同花獲勝
FH = 滿堂彩
FK = 四條
n J = 累積獎金金額
M = 最低底注
您的情況是 (((5108*150+3744*300+624*1500+40*155000)/2598960)-5*0.052243-1)/(5+1) = 36.858%。因此，玩家優勢是總底注加上1美元邊注的36.858%，即每手牌預期利潤2.21美元。
假設一家旅館有 10,000,000 個房間，電子鑰匙數量為 10,000,000 把。由於電腦出錯，每把鑰匙都被編入一個隨機密碼，正確率只有 1/10,000,000。酒店房間已滿。至少有一位顧客持有可用鑰匙的機率是多少？
精確答案：1-(9,999,999/10,000,000) 10,000,000 = 0.632121。這與 (e-1)/e 精確到小數點後七位相同。
我們辦公室好像在討論德州撲克牌中亮牌的問題。如果玩家決定要棄牌，即使還有玩家下注，他可以亮出底牌嗎？有什麼具體規定嗎？
這在撲克禮儀上非常不禮貌。如果你在拉斯維加斯犯了這種錯誤，你很可能會被警告不要再犯。如果再犯，你很可能會被勒令離開牌桌。
我在機器洗牌桌上玩過三張牌撲克、加勒比海梭哈和四張牌撲克。我驚訝地發現，在四張牌撲克遊戲中，可玩的三張牌經常被發出，而在加勒比梭哈遊戲中，可玩的四張牌也經常被發出。這讓我懷疑這些洗牌機是不是預先設定好的，有利於賭場。這些機器真的是隨機的嗎？還是它們被設定為賭場專用的？如果是設定好的，這是否違法？
我堅信洗牌機的製造商至少會盡力讓洗牌機盡可能公平隨機。我敢肯定，故意弄虛作假的洗牌機會違反內華達州的法律。在 x+1 張牌中很容易看出 x 張牌的好牌。例如，三張牌中出現三條的機率是 0.235%，四張牌中出現三條的機率是 0.922%，幾乎是四倍。
我和一個同事已經是好朋友一年了。我一直想著她。我有點猶豫要不要繼續交往下去，因為：a）我不想被拒絕，以免失去我們美好的友誼；b）和同事約會可能會很麻煩，尤其是如果談不攏的話。話說回來，我愛上她的幾率有多大？她愛上我的幾率又有多大？
首先，讓我表達一下我對和同事約會的看法。我完全贊成！我也不尊重那些禁止辦公室戀情的規定。認識新朋友已經夠難的了，更別提每天見面的那些臉了。不過，如果兩個人是同屬一個領導階層，我倒是可以破例。不過，這聽起來不像是這種情況，所以我不會讓B點妨礙你。
你們是朋友，這本身就是個好兆頭。我知道這聽起來很像國中生，但你有沒有一個你信任的人可以派去試探她對你的感覺？如果沒有，或許你可以安排她和其他同事下班後一起吃晚餐。最好是在一個更隨意的場合，她最好喝幾杯酒，這樣你就可以更深入地了解情況。你可以嘗試任何能升溫的方法，但不要直接表白你的感受。如果你這麼做了，而她卻不認同你的想法，那你們的友誼就會毀了。
回答你的問題，你愛上她的可能性顯然接近100%。至於其他可能性，很難說，但大概只有10%左右。不過別灰心，她可能只需要更多時間。祝你好運。我很想知道接下來會發生什麼事。