請問巫師 #125
您對拋硬幣投注有什麼建議嗎？
是的！我的建議是一開始就押正面朝上。根據科學新聞線上報道，硬幣落地時正面朝上的機率是51%。文章說，原因是拋出的硬幣並非完美地繞軸旋轉，有時看起來像在翻轉，但實際上並沒有。這個假設只適用於硬幣被握在手掌中的情況，這樣硬幣的彈跳就不是問題了。文章也說，旋轉的硬幣落地時反面朝上的機率為80%，因為較重的正面會先向下沉。然而，我對此表示懷疑。我試了20次，得到了11次正面和9次反面。在20次旋轉中，如果成功率為80%，則得到9次或更少反面的機率是1/1775。
親愛的巫師：從數學角度來說，為什麼取消系統不起作用？ （這個系統還有很多其他名稱。為了清楚起見，我指的是那種你從一系列數字開始，然後押注所有外圍數字的總和，贏了就取消它們，等等的系統。）看起來你只需要贏1/3加上你投注的兩倍就能贏。在輪盤賭中，你的勝率大約是45%。所以長遠來看你應該會贏，但你沒有。為什麼呢？
與大多數投注系統一樣，取消系統通常能讓你贏錢，但偶爾也會輸掉巨額賭注。一旦取消系統真的輸了，結果可能就是你最可怕的惡夢。在那些你幾乎總是輸錢的時候，賭注金額會開始幾何級數增長，如果牌局不順，你的資金很快就會耗盡。
在 Yahtzee 遊戲中，如果卡片上只剩下 Yahtzee 本身，那麼成功的可能性是多少？
下表根據您玩 Yahtzee 所需的額外骰子數量顯示了最後一次擲骰子的成功機率。
最後擲骰子機率
| 需要 | 可能性 成功 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 |
| 2 | 0.027778 |
| 3 | 0.00463 |
| 4 | 0.000772 |
下表顯示了改進的機率。左列顯示每次擲骰前需要擲出幾個骰子，上列顯示每次擲骰後需要擲出多少個骰子。正文部分顯示了達到給定改進程度的機率。
改進的可能性
| 滾動前需要 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 全部的 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.833333 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0.027778 | 0.277778 | 0.694444 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 0.00463 | 0.069444 | 0.37037 | 0.555556 | 0 | 1 |
| 4 | 0.000772 | 0.01929 | 0.192901 | 0.694444 | 0.092593 | 1 |
下表顯示了首次擲骰子時需要 0 到 4 個骰子才能擲出 Yahtzee 的機率。
首次擲骰子機率
| 需要 | 可能性 |
| 0 | 0.000772 |
| 1 | 0.019290 |
| 2 | 0.192901 |
| 3 | 0.694444 |
| 4 | 0.092593 |
下表顯示了根據第一次擲骰子後所需擲骰子數，改進並最終成功的機率。例如，如果玩家需要再擲3個骰子才能完成Yahtzee遊戲，那麼第二次擲骰子後改進為再擲2個骰子並在第三次擲骰子時完成Yahtzee遊戲的機率為0.010288066。
根據第二次擲骰子前後所需的數字，第一次擲骰子後 Yahtzee 的機率
| 滾動前需要 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 全部的 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0.166667 | 0.138889 | 0 | 0 | 0 | 0.305556 |
| 2 | 0.027778 | 0.046296 | 0.01929 | 0 | 0 | 0.093364 |
| 3 | 0.00463 | 0.011574 | 0.010288 | 0.002572 | 0 | 0.029064 |
| 4 | 0.000772 | 0.003215 | 0.005358 | 0.003215 | 0.000071 | 0.012631 |
要得到最終答案，請將前兩張牌上擲出所需的數字與最後一列上擲出一張牌的最終成功機率相乘。結果為：0.092593*0.012631+0.694444*0.029064+0.192901*0.093364+0.019290*0.305556+0.000772*1=4.6028643%。為了驗證這一點，我進行了1億次遊戲模擬，模擬的機率為4.60562%。
我了解隨機數產生器、虛擬轉軸停止位和實體轉軸停止位。但我不明白，而且在任何地方都找不到相關信息，那就是遊戲如何確定所選符號的賠付金額。例如，在 IGT 紅、白、藍遊戲編號 SS4335 中，最高累積獎金是紅七、白七、藍七，分別對應於虛擬轉軸位置 044、043、044 和實體轉軸停止位 08、08、08。三個轉軸各有七個符號：紅七、白七、藍七、紅條、白條、藍條和空白。這等於 343 種符號組合。我知道 SS 籌碼不包含包含所有可能組合和賠付的表格。它必須以某種方式編入索引。機器如何知道轉軸停止位 08、08、08 對應於紅七、白七和藍七，以及機器如何知道賠付多少？我希望你能回答這個問題。如果不能，能推薦一些可以回答的文章或書籍嗎？
有一個「查找表」將各種隨機數映射到轉軸上的停止點。然而，我不確定它們是如何從那裡真正決定玩家贏得的。所以我就這個問題諮詢了一位不願透露姓名的前老虎機數學家。他的回答是：「你的第一個想法是正確的。每個轉軸條上的位置都是通過隨機數生成器（RNG）獨立選擇的。然後，代碼會檢查每條投注線上的符號來確定獲勝結果。分散獎勵也可以通過這種方式確定。所有主要的視頻老虎機製造商都這樣做。你可以把這個算法看作一系列
附註：本專欄發表後，我收到了另一封關於這個問題的電子郵件。郵件內容比較長，所以我提供了這個連結。
首先感謝這個很棒的網站。如果每手牌都重新洗牌，那麼算牌就沒有意義了嗎？
不客氣，謝謝你的讚美。這還是有點道理的，尤其是在滿桌的情況下。不過，在典型的單副牌規則下（莊家拿到軟17點，分牌後不加倍），我覺得這不足以克服0.19%的賭場優勢。
在四張牌梭哈中拿到四張 A 的機率是多少？
1/combin(52,4) = 270725 中的 1。
親愛的巫師，您能解釋一下擲骰子位置投注的莊家優勢是怎麼計算的嗎？例如，在真實賠率是二比一的情況下，四比十位置投注的九比五賠付是如何計算出6.67%的莊家優勢的？無論我怎麼計算，都算不出6.67%這個數字。這快把我逼瘋了。如果我能解釋一下，我將不勝感激。
我更喜歡用 1-(pr(贏)*賠償 - pr(輸)) 來計算賭場優勢。在本例中，賭場優勢為 1-((1/3)*1.8 - (2/3)) = 6.67%。但是，如果您知道公平賠付和實際賠付，那麼賭場優勢的一個便捷公式是 (fa)/(f+1)，其中 f=公平賠付，a=實際賠付。在本例中，(2-1.8)/(2+1) = 0.2/3 = 6.67%。
如果您每局下注 50 美元，您會在這兩款電玩撲克遊戲中選擇哪一款（假設兩款遊戲的賠付機制相同，且每手牌最多下注 5 個硬幣）：單局 10 美元，還是十局 1 美元？感謝您抽空考慮。
從數學上講，它們的預期收益當然相同。不過我會選擇10倍投注，因為波動性較小，而且我覺得更有趣。
感謝這個很棒的網站。您最近說過，擲骰子的人平均投擲大約8.5次。我通常會用全賠率投注過關牌，然後再用全賠率投注來牌。考慮到投擲者在三到四次投擲後就拿到7分的長期機率，在四次投擲之後停止投注來牌是否更合理？
不用客氣，謝謝。骰子沒有記憶功能，所以擲四次後，你不會再更接近七點了。即使你擲出1000次非七點，你距離七點的距離也不會比第一次擲出時更近或更遠。來注沒有最佳次數，只要覺得最有趣就下注。
玩歐洲輪盤 15 次，涵蓋 8 個數字但未得到任何數字的機率是多少？
任何一次旋轉失敗的機率是 1-(8/37) = 78.38%。因此，15 次旋轉失敗的機率是 0.7838 /15 = 2.59%。