請問巫師 #124
我不同意你在2004年11月19日專欄中對蒙提霍爾問題的回答。假設汽車在1號門後面，獎品在1號門後面，那麼實際上有以下四種可能性。
- 玩家選擇門 1 --> 顯示 2 --> 切換到 3，輸
- 玩家選擇門 1 --> 顯示 3 --> 切換到 2，輸
- 玩家選擇門 2 --> 顯示 3 --> 切換到 1，獲勝
- 玩家選擇門 3 --> 顯示 2 --> 切換到 1，獲勝
如你所見，無論你換不換，獲勝的機率都是50%。而且，認為換個比較好，這完全違背常識。
你的錯誤在於假設每個事件都有25%的可能性。以下是每個事件的正確機率。
- 玩家選擇門 1 (1/3) * 顯示門 2 (1/2) = 玩家輸 (1/6)
- 玩家選擇門 1 (1/3) * 顯示 3 (1/2) = 玩家輸 (1/6)
- 玩家選擇門 2 (1/3) * 顯示 3 (1/1) = 玩家獲勝 (1/3)
- 玩家選擇門 3 (1/3) * 顯示 2 (1/1) = 玩家獲勝 (1/3)
因此失敗事件的總機率為 2*(1/6) = 1/3，獲勝事件的總機率為 2*(1/3)=2/3。
玩 14,000 手雙鬼牌而沒有拿到四張雙鬼牌的機率是多少？
從我的「2e Wild」部分可以看出，任何一手牌中出現四個2e的機率是0.000204。因此，任何一手牌中沒有出現四個2e的機率是1-0.000204 = 0.999796。14000手牌中沒有出現四個2e的機率是0.999796/ 14000 = 5.75%。
我和朋友去賭博，她早上在紅利視訊撲克上拿到了同花大順。同一天晚些時候，她在同一排的另一台機器上又拿到了同花大順。我想知道同一天拿到兩張同花大順的機率是多少？
這並不罕見。拉斯維加斯賭場有時會推出促銷活動，24 小時內第二次拿到同花大順可獲得雙倍賠償。假設您以每小時 400 手的速度玩了 8 個小時，總共玩了 3200 手。那麼一手牌拿到同花大順的機率是 0.00002476。3200 手牌拿到零個同花大順的機率是 (1-0.00002476) × 200 = 0.923825。拿一個同花大順的機率是 3200*0.923825*(1-0.923825) × 199 = 0.073198。因此，拿到兩個或更多同花大順的機率是 1 - 0.923825 - 0.073198 = 0.002977，約 1/336。
那些告訴你該拿什麼的電子撲克機，會採取最佳策略嗎？如果是這樣，那機器最終輸錢不是必然的嗎？
我見過的大多數會告訴你該留什麼牌的機器確實使用了正確的策略，但賠率表越好，機器就越不可能一開始就給出建議。而且我從未見過一台機器會給正預期，告訴你該留什麼牌。
至於建議的準確性——Microgaming 的網路賭場確實遵循最佳視訊撲克策略。然而，我在特拉華州的賽馬場玩過一些機器，它們會建議玩家持有哪張牌，而這些建議顯然是錯誤的。
擲骰子遊戲中，不通過和100倍賠率的綜合賭場優勢是0.014%（取自您的圖表），這算是所有賭場遊戲中最低的賭場優勢嗎？而且，0.014%的賭場優勢是否意味著你每下注100美元就會輸掉1.4美分？
仍然有一些視訊撲克遊戲，只要策略得當，賠率就能超過 100%。我還在拉斯維加斯的 Fiesta Rancho 和 Slots-a-Fun 賭場看到一場二十一點遊戲，玩家可以用基本策略贏錢。正如我在體育博彩專欄中提到的，在 NFL 主場對陣讓分時，押注弱隊也曾獲得歷史性的優勢。所以，100 倍賠率的擲骰子遊戲仍然是最好的選擇之一，但並非最佳。沒錯，0.014% 意味著每下注 100 美元，平均損失 1.4 美分。
在德州撲克中，兩個玩家擁有不同的四條的機率是多少？
兩位玩家一共9張牌，其中必須包含兩張四條和一張單張。組合數為 combin(13,2)*44 = 3432。從52張牌中抽出9張牌的組合數為 combin(52,9) = 3,679,075,400。因此，你拿到正確牌（但順序不一定正確）的機率為 3432/3,679,075,400 = 1/1,071,992。
然而，卡片是 AAAABBBBC，並不代表兩位玩家的四條牌不同。將它們排列成一手五張牌和兩手兩張牌的組合方式共有 9!/(5!*2!*2!) = 756 種。以下是這 9 張牌的可能排列方式。
四條壞牌組合
三十六
玩家 1 | 玩家 2 | 翻牌 | 鏡像圖案 | 每個模式的組合 | 總組合數 |
AA | BB | 美國商務諮詢委員會 | 2 | 72 | |
AA | AB | ABBBC | 4 | 四十八 | 192 |
AA | AA | BBBBC | 2 | 6 | 12 |
AA | 交流電 | ABBB | 4 | 12 | 四十八 |
AA | 西元前 | 支氣管擴張症候群 | 4 | 24 | 96 |
AB | AB | 美國商務諮詢委員會 | 1 | 144 | 144 |
AB | 交流電 | 支氣管擴張症候群 | 4 | 四十八 | 192 |
其中只有第一組和第五組牌的結果會讓兩位玩家拿到不同的四條。因此，AAAABBBBC 組合牌出現兩張不同的四條的機率為 168/756 = 22.22%。
所以你問題的答案是 (3432/3,679,075,400)*(168/756) = 4,823,963 分之一。更實際的說，派對撲克 (Party Poker) 的輸牌手牌是四個 8，就會有一個爆冷大獎 (bad beat jackpot)。假設有兩張四條，兩張都是 8 或更大的機率是 combin(7,2)/combin(13,2) = 21/78 = 26.92%。所以，兩位玩家中任一手牌贏得這個爆冷大獎的機率是 17,917,577 分之一。
我們都曾在二十一點牌桌上遇到莊家似乎不可能輸的情況。假設你無法算牌，莊家連續贏了3、4或5手，那麼對於莊家的點數，我們可以做什麼假設嗎？還是一切都只是隨機的？你會選擇離開（和/或減少賭注），然後去另一張牌桌，認為點數對你不利，所以才會輸。還是你會認為過去的牌局對下一手牌沒有影響，繼續玩下去？巫師會怎麼做？我知道這和直覺無關，但尤其是在二十一點遊戲中，如果莊家似乎已經贏了（或輸了）很長時間，我們能從中得出關於未來的數學結論嗎？
實際上，如果莊家一直贏錢，很有可能是因為發了很多小牌，這意味著牌堆裡有很多大牌，在這種情況下，下一手牌的賠率實際上會對你有利。但這是一個非常輕微的影響，你不應該相信。我認為在這種情況下你只是運氣不好，換牌桌也無濟於事。為了避免某些完美主義者糾正我，我會說在洗牌之間，二十一點的牌型確實存在輕微的負相關性。如果你問的是輪盤或擲骰子，我會說過去根本沒有差別。如果使用連續洗牌機，那麼二十一點也會如此。但是，由於我剛才解釋的原因，我不能絕對說二十一點的牌型是獨立的。