請問巫師 #120
下表顯示了完全隨機的一手牌中出現 0 到 4 張 A 的機率。
Ace 機率 — 隨機手牌
| 王牌 | 公式 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 合併（48,5） | 1712304 | 0.658842 |
| 1 | 組合(4,1)×組合(48,4) | 778320 | 0.299474 |
| 2 | 組合(4,2)×組合(48,3) | 103776 | 0.03993 |
| 3 | 組合(4,3)×組合(48,2) | 4512 | 0.001736 |
| 4 | 組合(4,4)×組合(48,1) | 四十八 | 0.000018 |
| 全部的 | 2598960 | 1 |
對 1 到 4 張 A 牌進行求和，我們發現至少出現一張 A 牌的機率為 0.341158。出現兩張或兩張以上 A 牌的機率為 0.041684。
假設至少有一張 A，那麼再出現一張 A 的機率可以用貝葉斯定理重新表述為機率（至少有一張 A 的情況下再出現兩張 A）= 機率（兩張或更多張 A）/機率（至少有一張 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。
對於那些不熟悉貝葉斯定理的人來說，它指出給定 B 時 A 的機率等於 A 和 B 的機率除以 B 的機率，或 Pr(A 給定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。
下表顯示了從牌堆中移除黑桃 A 後，其他 A 的每個數量的組合和機率。
A 機率 — 移除 A 牌
| 王牌 | 公式 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 組合(3,0)×組合(48,4) | 194580 | 0.778631 |
| 1 | 組合(3,1)×組合(48,3) | 51888 | 0.207635 |
| 2 | 組合(3,2)×組合(48,2) | 3384 | 0.013541 |
| 3 | 組合(3,3)×組合(48,1) | 四十八 | 0.000192 |
| 全部的 | 249900 | 1 |
這表示至少再出現一張 A 的機率為 0.221369。
為了好玩，我們用貝葉斯定理來解答同樣的問題。假設隨機發牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假設牌中包含黑桃 A，那麼至少再出現一張 A 的機率可以改寫為機率（假設手中有黑桃 A，則至少有兩張 A）。根據貝葉斯定理，這等於機率（手中有黑桃 A 且至少還有一張 A）/機率（手中有黑桃 A）。我們可以將分子分解為機率（包括黑桃 A 在內的 2 張 A）+機率（包括黑桃 A 在內的 3 張 A）+機率（4 張 A）。使用第一個表格，這等於 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出現黑桃A的機率為5/52 = 0.096154。因此，給定黑桃A，至少出現兩張A的機率為0.021285/0.096154 = 0.221369。
因此，如果至少有一張 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 12.22%，如果是黑桃 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 22.14%。
再舉一個例子，假設你去捷飛絡 (Jiffy Lube)，他們以相同的價格提供兩個方案。方案 A 是他們會檢查四個零件，只更換第一個發現的瑕疵零件。方案 B 是他們只檢查一個問題，如果發現問題就會修復。你不想選擇方案 A 嗎？你的車進來時預計有相同數量的壞零件，但在方案 A 下發現問題的機率更大，因此在方案 A 下你離開時預計會有少量缺陷零件。同樣，測試任何 A 都可能出現唯一的 A，而測試黑桃 A 時不會檢查其他三種花色，因此它們更有可能是 A。
預期勝率 = 2391/2 = 1195.5
實際勝率高於預期 = 107.5
標準差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
與預期的標準差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
標準差為 4.4174 或以上的機率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 分之一