請問巫師 #120
假設你從不同的牌堆中發出兩手五張牌的撲克牌。你被告知A手牌至少包含一張A。你被告知B手牌包含一張黑桃A。哪一手牌更有可能包含至少一張A？
下表顯示了完全隨機的一手牌中出現 0 到 4 張 A 的機率。
Ace 機率 — 隨機手牌
| 王牌 | 公式 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 合併（48,5） | 1712304 | 0.658842 |
| 1 | 組合(4,1)×組合(48,4) | 778320 | 0.299474 |
| 2 | 組合(4,2)×組合(48,3) | 103776 | 0.03993 |
| 3 | 組合(4,3)×組合(48,2) | 4512 | 0.001736 |
| 4 | 組合(4,4)×組合(48,1) | 四十八 | 0.000018 |
| 全部的 | 2598960 | 1 |
對 1 到 4 張 A 牌進行求和，我們發現至少出現一張 A 牌的機率為 0.341158。出現兩張或兩張以上 A 牌的機率為 0.041684。
假設至少有一張 A，那麼再出現一張 A 的機率可以用貝葉斯定理重新表述為機率（至少有一張 A 的情況下再出現兩張 A）= 機率（兩張或更多張 A）/機率（至少有一張 A）= 0.041684/ 0.341158 = 0.122185。
對於那些不熟悉貝葉斯定理的人來說，它指出給定 B 時 A 的機率等於 A 和 B 的機率除以 B 的機率，或 Pr(A 給定 B) = Pr(A 和 B)/Pr(B)。
下表顯示了從牌堆中移除黑桃 A 後，其他 A 的每個數量的組合和機率。
A 機率 — 移除 A 牌
| 王牌 | 公式 | 組合 | 可能性 |
|---|---|---|---|
| 0 | 組合(3,0)×組合(48,4) | 194580 | 0.778631 |
| 1 | 組合(3,1)×組合(48,3) | 51888 | 0.207635 |
| 2 | 組合(3,2)×組合(48,2) | 3384 | 0.013541 |
| 3 | 組合(3,3)×組合(48,1) | 四十八 | 0.000192 |
| 全部的 | 249900 | 1 |
這表示至少再出現一張 A 的機率為 0.221369。
為了好玩，我們用貝葉斯定理來解答同樣的問題。假設隨機發牌，直到找到一手包含黑桃 A 的牌。假設牌中包含黑桃 A，那麼至少再出現一張 A 的機率可以改寫為機率（假設手中有黑桃 A，則至少有兩張 A）。根據貝葉斯定理，這等於機率（手中有黑桃 A 且至少還有一張 A）/機率（手中有黑桃 A）。我們可以將分子分解為機率（包括黑桃 A 在內的 2 張 A）+機率（包括黑桃 A 在內的 3 張 A）+機率（4 張 A）。使用第一個表格，這等於 0.039930×(2/4) + 0.001736×(3/4) + 0.000018 = 0.021285。出現黑桃A的機率為5/52 = 0.096154。因此，給定黑桃A，至少出現兩張A的機率為0.021285/0.096154 = 0.221369。
因此，如果至少有一張 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 12.22%，如果是黑桃 A，則出現兩張或兩張以上 A 的機率為 22.14%。
好吧，我相信你的數字，但這對我來說仍然說不通。我認為機率應該是相等的。你拿到一張A牌，花色有什麼差別？
讓我們來看另一個更簡單的情況。假設女性 A說：「我有兩個孩子，至少有一個是男孩。」女性 B 說：「我有兩個孩子，大一點的叫約翰。」我們可以假設沒有一個叫約翰的女孩，也沒有女性會給多個孩子取同一個名字。使用條件機率，女性A的兩個孩子都是男孩的機率是pr（兩個男孩）/pr（至少一個男孩）= pr（兩個男孩）/（1-pr（兩個女孩））= (1/4)/(1-(1/4)) = (1/4)/(3/4) = 1/3。然而，女性B的較小孩子是男孩或兩個孩子都是男孩的機率是？ ，因為說大孩子叫約翰並不能告訴我們任何關於較小孩子的資訊。
再舉一個例子，假設你去捷飛絡 (Jiffy Lube)，他們以相同的價格提供兩個方案。方案 A 是他們會檢查四個零件，只更換第一個發現的瑕疵零件。方案 B 是他們只檢查一個問題，如果發現問題就會修復。你不想選擇方案 A 嗎？你的車進來時預計有相同數量的壞零件，但在方案 A 下發現問題的機率更大，因此在方案 A 下你離開時預計會有少量缺陷零件。同樣，測試任何 A 都可能出現唯一的 A，而測試黑桃 A 時不會檢查其他三種花色，因此它們更有可能是 A。
賭場發雙副牌二十一點最安全的方式是什麼？是面朝上發牌還是手持發牌？
牌面朝下。在牌局結束前，玩家無法看到其他玩家的牌，這導致玩家獲得的資訊較少，這對算牌者不利。
任何賭桌遊戲的點差是如何決定的？例如，最低投注額 5 美元的二十一點賭桌，最高投注額可能高達 200 美元，為什麼？
賭場喜歡根據玩家的下注額來限制他們的投注。原因之一是，高額賭桌的玩家較少，因此大額玩家每小時可以玩更多手牌。另一個原因是，據說玩家喜歡與其他下注額度相似的玩家在一起。如果一位玩家想在 5 美元的賭桌上下注 1000 美元，可能會讓同桌的其他 5 美元玩家感到緊張或不舒服。第三個原因是，這是一種防止作弊的措施。
我知道這個問題沒有確切的答案，但是，在判斷一個讓分方法是否有效時，一個適當的樣本數大概是多少呢？例如，如果我有一個1303-1088的測試樣本，佔比54.5%，是否有理由認為這個方法除了偶然性之外，還有其他因素？
正如我數百次說過的，當你進入「長期」時，並沒有一個神奇的數字。然而，你的成績越令人印象深刻，你需要證明這些成績並非隨機的牌局就越少。就你的情況而言，在2391場比賽中取得54.5%或更高的勝率的機率大約是二十萬分之一。所以我認為這個紀錄值得認真看待。以下是我得出這個數字的方法：
預期勝率 = 2391/2 = 1195.5
實際勝率高於預期 = 107.5
標準差 = sqrt(2391*(1/2)*(1/2)) = 24.45
與預期的標準差 = (107.5 + 0.5)/24.45 = 4.4174
標準差為 4.4174 或以上的機率 = normsdist(-4.4174) = 0.000005 = 200,000 分之一
您可以在所有桌上遊戲中使用策略卡嗎？
是的。我從未聽說過有球員被拒絕使用。
如果您的底牌是同花色的，您如何計算在德州撲克中翻牌時獲得 4 張同花或更好的牌的機率。
再出現兩張同花色牌的機率為 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439。再出現三張同花色牌的機率為 combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418。因此，再出現至少兩張同花色牌的機率為 0.117857。