五張牌梭哈撲克中的機率
大家好，我是麥克，本影片旨在向大家展示如何計算五張牌梭哈撲克的機率。換句話說，從52張牌中隨機抽出5張，組成任一手牌的機率是多少。在回答每手牌的組合數之前，我想問大家一個更簡單的問題，如果你知道如何得到答案，可以直接跳過。
在 El Pollo Loco 中：
他們有八種所謂的經典配菜，我列在左邊。他們也有一些豪華配菜，但我不會拿它們來混淆視聽。如果你點的是12份套餐，你可以從這八種配菜中選三種。假設你必須選擇三種不同的配菜。
問題是…
……八種配菜中，可以點三種不同的配菜嗎？換句話說，假設你每天都去那裡，每天點三種不同的配菜。你能有多少天不重複點這三種配菜？
如果你的單點順序很重要，那麼答案就是 8 x 7 x 6，因為你有 8 種方式可以選擇第一個，7 種方式可以選擇第二個，6 種方式可以選擇第三個，但收銀員並不在乎。重要的是你點菜的順序。
如果你說——
“我想要米飯、豆子和玉米”，無論你說“米飯、豆子和玉米”還是“玉米、豆子和米飯”，你得到的都是一樣的。點三種不同的配菜有多少種不同的方式？假設你喜歡米飯、豆子和玉米。你可以按照這個順序點，像是米飯、玉米、豆子，或是豆子、玉米、米飯。你也可以點豆子、米飯、玉米，或玉米、米飯、豆子，或玉米、豆子、米飯，所以總共有六種可能的方式。
如果不寫下來，我怎麼知道是六呢？
嗯，有一個非常簡單的公式。如果那裡有 N 個物品，那麼你可以對它們進行排序的方式數是 1 x 2 x 3 次，一直到 N。
在這種情況下，問題是，有多少種點菜方式？嗯，有 3 種！也就是 1 x 2 x 3，等於 6。這三種菜色，總共有 8 種點菜方式，總共有 336 種。由於每種組合有 6 種點菜方式，所以除以 6，這樣就剩下 56 種了。
您可能會問，一般公式是什麼？
如果有的話，假設邊數等於 S，允許選擇的次數為 P，那麼從 S 中挑選 P 個物品的方式數量的通用公式是 s! / s - p! xp!。讓我用範例問題來示範這個公式。
在這種情況下：
s = 8，所以 8！等於 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8，則分母是 s - p，或 8 - 3，即 5 或 5！ 。所以，1 x 2 x 3 x 4 x 5，以及 p！或 3！ ，即 1 x 2 x 3。您可以看到 1 x 2 x 3 x 4 x 5 等於 120，分子和分母都是 120，所以讓我們將其消去，剩下 6 x 7 x 8 / 1 x 2 x 3。好吧，2 x 3 = 6，分子和分母中都有 6，所以我們將其除掉。
我們只剩下...
...7 x 8 / 1，等於 56。為了方便本視頻，我先介紹一個函數。我們把 x 和 y 的函數 C 稱為從 x 中選擇 y 項的方式數，或者用數學上的說法，就是 x 選擇 y，我們將其定義為 x! / x - y! 乘以 y!。
以 El Pollo Loco 為例，如果問題是：
“從八張幻燈片中，你有多少種方法可以選擇三張？”
我們可以這樣表達，等於－－switch 等於 56。我想我們終於可以開始討論撲克了。從 52 張牌中選出 5 張牌的方法有多少種？嗯，那就是 52 選 5，也就是 52! / 47!，47 是因為 52 - 5 x 5!，等於 2,598,960。我們先從同花大順開始吧。
嗯，這很簡單。皇家同花順有四種花色：紅桃、黑桃、梅花和方塊。點數必須是10，J、Q、K、A。是的，只有四種。皇家牌、紅桃、方塊、梅花或黑桃。
同花順怎麼樣？
好吧，我們還是有四種花色，但同花順的牌型範圍可以從A開始，也就是A、2、3、4、5，也就是輪盤同花順，一直到9、10、J、Q、K。如果是10、J、Q、K、A，那就是皇家同花順。最小的牌型可以是從A到9的任何牌型。
在這種情況下...
……A 算 1。同花順有 9 種可能的牌型，所以 4 種花色 x 9 種牌型 = 36。對於四條，它有 13 種可能的牌型，例如 Q，然後，在抽出四張牌後，牌堆裡還剩下 48 張牌可以組成單張牌。等於 624。
為了滿座
三條有13種可能的牌型，對子有12種可能的牌型。對於三條，有四種選擇（三種從四張牌中選出三種花色，兩種從四張牌中選出兩種花色）和四種選擇（兩種從四張牌中選出兩種花色）。這等於13 x 12 x 4 x 6，即3,744。對於同花，我們有四種花色。
從給定花色的 13 個牌型中挑選出 5 個牌型，有多少種方法？
嗯，那就是13選5，但其中10種方式可以組成同花順或皇家同花順。例如，5、6、7、8、9可以組成同花順，所以我們必須找出這10組連續的點數。這樣，13選5的結果就是1287，減10再乘以4，就得到5108。
順子怎麼樣？
嗯，正如我們剛才在同花牌中看到的，順子有 10 種可能的排列方式，從 A、2、3、4、5 開始，一直到 10、J、Q、K、A。對於順子中的每張牌，每種點數都有四種可能的花色。 4 x 4 x 4 x 4 x 4= 4^5，即為五張牌選擇不同花色的方法數。如果我們五次都選擇相同的花色，那麼我們還會剩下同花順或皇家同花順。我們需要減去這些花色。 4^5 = 1,024 - 4 = 10,200 種組成順子的方法。
三張一樣的怎麼樣？
嗯，三張同點牌有13種大小選擇方式，然後你必須從剩下的12種花色中為兩張單張牌選擇兩種大小。完成後，你必須從三種花色中為三張同點牌選擇四種花色，然後從四種花色中為兩張單張牌各選擇一種花色。
剩下13種方法可以選擇三條的點數。對於兩張單張牌，有66種方法可以從剩下的12種點數中選擇兩種點數；對於三條牌，有4種方法可以從四種花色中選擇三種花色；對於兩張單張牌，也有4種方法可以選擇一種花色。答案是54,912。
兩對怎麼樣？
嗯，你的兩對牌有13種選擇方法，可以從13種花色中選出兩個等級，然後你的單張牌就剩下一種等級了。對於每一對牌，有4種選擇方法，可以從4種花色中選出兩種花色。你的單張牌有4種花色。 13選2等於78乘以6乘以6乘以4等於－我忘了單張牌的11種等級了。 78 x 11 x 6 x 6 x 4= 123,552。
對於這對夫婦
有 13 種方法可以選擇對子的等級，然後你必須從剩下的 12 種花色中選擇 3 種，用於選擇三張單張牌。對於你的對子，有四種「選二」的方法可以從四種花色中選擇兩種，那麼對於三張單張牌，每張都有四種可能的花色可供選擇。 4 x 4 x 4 是你為三張單張牌選三種花色的方法數，等於 13 x 12——12 選三等於 220 x 6 x 4^3= 64= 1,098,240。
最後
讓我們計算一下左邊A或A以下的機率，我姑且稱之為「垃圾牌」。要算“垃圾牌”，你必須在13張牌中選出5張不同的牌。從10張牌中選出5張不同牌型的方法有13種，但正如我們在同花牌中看到的那樣，我們必須找出構成順子的10張牌型。一旦你選出了5張非連續的牌型，那麼每張牌型都有4種可能的花色。
取四的五次方...
……正如我們在順子中看到的那樣，我們必須減去四，因為每次選擇相同花色的方式數量都會產生同花。 13 選擇五等於 1,287 減 10，對於順子，乘以四的五次方等於 1,024 減去四等於 1,302,540。
下一個
讓我們把這些都放到電子表格裡。我來快速示範如何在 Excel 中完成所有這些操作。我們已經知道，皇家同花順只有四種組合方式：每種花色一種，36 種同花順，四種花色乘以 9 種可能的跨度。對於四條，有 13 種牌型可供選擇，包括四張牌、四張牌和剩下的 48 張單張牌。葫蘆，三條有 13 種牌型，對子有 12 種牌型。
四選三法選出三張牌的花色。四選二法從四張牌中選出兩張花色組成對子。在 Excel 中，這個公式的表達方式是使用這個常用公式，將大數逗號和小數結合起來，就像我之前寫的那樣。這樣就得到了之前得到的 3,744。
對於沖洗
有四種花色可供選擇，13 種選擇方式，每種花色的 13 種牌型中有 5 種牌型可供選擇，減去 10 種可能形成同花順或皇家同花順的牌型（因為它們是連續的）。這樣一來，我們就有 5,108 種同花色。對於順子，有 10 種可能的牌型，每張牌有 4 種花色，但減去 4 種可能形成同花順或皇家同花順的牌型，我們就得到了 10,200 種同花色。
對於三類
三條有13種選擇方式，兩張單張有12種選擇方式。兩張單張有4種選擇方式，即從四種花色中選出三種，兩張單張有4乘以4種選擇方式，即從兩種花色中選擇兩種。三條有554,912種選擇方式。兩對有13種選擇方式，即從13種花色中選擇兩種。單張剩下11種選擇方式，兩對有4種選擇方式，即從四種花色中選出兩種，單張有四種花色。
對於對子，我們有 13 種等級選擇方式，對於三張單張牌，我們有 12 種選擇方式從 12 種等級中選擇 3 種等級。對於對子，我們有 4 種選擇方式從 4 種花色中選擇 2 種花色，對於三張單張牌，我們有 4 的 3 次方種選擇 3 種花色。
最後，對於垃圾
從13種減去10種連續的牌型中選出五個點數，總共有13種選擇五種方式，可以湊成順子；每種花色有四種選擇方式。湊成同花的方式是4的5次方減4。如你所見，所有這些加起來是2,598,960，這也是我們在影片開頭得到的。好的，讓我們來實際應用一下。
我在我的網站Wizard of Odds上介紹的數百種賭場遊戲之一叫做： Let it ride 。
讓我們打開那個頁面，這是一個基於五張牌的撲克遊戲，沒有抽牌，一切都基於 52 張牌中的五張隨機牌。我不會詳細介紹整個遊戲規則，但有一個附加賭注，其賠付僅基於五張牌的撲克牌值。
你可以看到...
……我在這裡列出了九種可能的賠償表，但這裡的第四張表比較常見。我已經把它抄錄到這張表中了，下注成本為 1 美元。如果你拿到同花大順，你將贏得 2 萬美元；拿到同花順，你將贏得 2 萬美元；拿到四條，你將贏得 400 美元。順便說一下，這些賠付的賠率是 4-1，這意味著如果你贏了，你將無法保留原來的賭注。
這是我已經計算出機率的所有組合，這裡的回報列是獲勝次數乘以機率的乘積。
例如：
我們之前知道，拿到皇家同花順的機率大約是四千二百六十萬分之一。如果我們把這個機率乘以2萬，預期報酬就是3.08美分。這就是玩家下註一美元，他可以預期以皇家同花順的形式獲得的回報。如果拿到同花順，他可以預期獲得2.77美分的回報，以此類推。
如果你仔細計算，最終結果是，對玩家來說，下注1美元，他可以預期贏回74.4667美分。換句話說，對於這一美元，玩家可以預期贏回約74美分。47%，賭場將保留 25.53%。
我表達的方式是…
……莊家優勢是25.53%，所以請你花點時間好好想想。賭場會拿走超過25%的賭注，這恰恰印證了我20多年來一直在說的一句話：邊注都是傻瓜賭注。如果你能從這段影片中學到什麼，我希望就是這一點。這段影片已經夠長了，很抱歉這麼長，希望對你有幫助，並且讓你有所收穫。
謝謝觀看。