無限牌組的二十一點莊家優勢
麥克：大家好，我是「賠率精靈」麥克。在上一個影片中，我向大家展示如何從一張空白的電子表格（現在就在我面前）開始創建二十一點基本策略。在第二部分中，我將向大家展示如何從這裡開始，在二十一點遊戲中獲得莊家優勢。我已經知道玩家在任何一手牌中預期贏或輸的金額。
現在我需要做的就是找到任何起手牌的機率，然後將這些機率乘以預期值，最後對莊家擁有黑傑克的情況進行調整。
讓我們從一頁紙開始，我們稱之為「Prob」（機率）。它代表所有可能的起手牌的機率。玩家可以從5到21或黑傑克的任何點數開始。他也可以持有從13到黑傑克的任何軟點數。所以，對於硬點數，我們會把黑傑克和軟點數放在一起。還有可能的分牌。我們會說從2到10的一對，然後是A。當然，我們根據莊家的明牌來做所有事情。好的。
玩家的第一張牌可能是2到A，也可能是第二張牌。讓我們來計算一下每種可能點數出現的機率。不計算A。這張表顯示了第一張牌和第二張牌每種組合的點數總和。我將去掉對子，因為玩家可以拆分它們，所以我將它們分開處理。好的。這裡是所有可能的點數總和，在這一列中，我將根據它們在這張表中出現的頻率來指示每種點數的機率。所以我將使用“sum if”函數，我一直都在使用這個函數。等等，現在這樣做有點太早。好的。這裡有一個類似的表格。
我要再做一個表格，顯示每個數字的機率。大多數情況下，當數字中沒有10時，機率是13分之一，也就是13分之一。當數字中有一個10時，機率是13分之一，也就是13分之4。
好的。現在我們已經……相等和，我們在這張表中搜尋這個數字，找到後，就把這些數字相加。我必須加上美元符號，這樣當我複製和貼上這個數字時，兩個矩陣的範圍就會保持不變。
我把這個放大點，因為你們可能看不太清楚。抱歉。好的。
所以這裡我們得到了每個玩家硬牌點數從5到19的機率。所以這裡我做的和莊家點數的機率基本上一樣。不過你不用費心。我可以簡單地說，以硬牌5為例，參考我下面的表格，然後乘以1/13，得到莊家明牌中的2。我要減去這個20，因為這個思路和對子有關。好的。
對於莊家牌點數10的牌，我做同樣的操作，但我會乘以4再除以13，因為牌堆裡有四張10點的牌。現在，我還要乘以12和13，因為我們知道底牌不是A。對於A，操作也類似，只不過對於莊家牌點數A和9的牌，我們又要乘以13，再除以13，因為底牌不是10點。所以，這就是玩家每手起手牌硬點數的機率。根據這個機率，67.6%的玩家會拿到硬點數。好的。
大多數軟牌的總數是 2 的倍數，即 13 分之 1 的平方。之所以是 2，是因為以軟 13 為例，兩張牌，A 和 2，可以是“或”或“或”，所以要乘以 2。然後，對於莊家的明牌，也要乘以 13 分之 1。所以，總機率是 2 的倍數，也就是 13 分之 1 的順序排列。這個方法一直適用於軟 20。對於軟 21，出現這種情況的機率更大，因為 10 點牌比其他牌都多。所以我們要用 2 的倍數，即 13 分之 1 的平方，乘以 13 分之 4。好的。
所以我複製貼上了它，一直到莊家的9。實際上我複製貼上太多了。現在我們來算10。同樣，我們要把13點中的一張1改成13點中的4，然後乘以12和13，因為莊家的底牌沒有A。對於軟13，它仍然是一張A。我們可以維持不變，兩次，先把13點中的一張排成隊，然後再乘以9和13，因為我們知道莊家的底牌沒有10點。好的。
玩家面對莊家 10 拿到黑傑克的機率是 13 的 2 倍乘以 4 和 13 的 1/4，乘以 12 再除以 13。玩家面對莊家 A 拿到黑傑克的機率除以——我的意思是，13 的 2 倍乘以 4 和 13，13 的 9 和 13。希望這是正確的。
現在，我們來處理對子。玩家拿到一對2，莊家拿到2的機率是13分之一。我們不用乘以2，因為我們處理的是兩張相同的牌。對於莊家的9，以及一對A，這個機率一直適用。對於莊家拿到一對10，莊家拿到2的機率是4乘以13的平方乘以13分之一。複製貼上下來。好的。
現在我們來做同樣的事情，但莊家的牌是10。也就是1/13的平方，乘以4/13，再乘以12/13。玩家拿到對子10，莊家拿到10的機率，是4/13，乘以12/13。好的。
一對 2 對抗莊家 A 的機率是 13 個排隊中的 1 個乘以 13 中的 9。玩家一對 10 對抗莊家 A 的機率是 13 個排隊中的 4 個的平方乘以 13 中的 1 乘以 13 中的 9。好的。
以上是所有機率，希望它們是正確的。實際上，我們把它們加起來，看看是否正確。好的。
加起來是95.27%。我們缺少的是莊家拿到黑傑克的機率。莊家拿到黑傑克的機率是2乘以4，13乘以13分之一，也就是4.74%。所以，我們把這些加起來，希望它們加起來等於1。結果確實如此，太棒了。這樣就有了一張機率表。
接下來，讓我們製作一張預期回報表。
下一步是建立一個預期收益表，我們簡稱為ER。它將包含任何特定牌型的預期收益，我們已經計算好了。我們將把它匯總到一張方便的表格中，佈局與機率表相同。例如，對於硬5對2的情況，我們只需要參考「要牌、停牌、加倍、投降」表格。複製貼上即可。軟總分也一樣。對子也一樣。但對於對子，我們將參考上一個影片中的分牌表格。
接下來，我們製作一個預期值表，我們稱之為EV。它指的是預期值的機率和任何給定手牌的機率。所以我們只要將機率表中的任一儲存格乘以預期轉牌率表中對應的儲存格即可。對每種可能的起手牌都這樣做。看看加起來是多少。正1.43%。但正如我一直說的，我們一直假設莊家沒有黑傑克。我剛剛意識到，我犯了一個錯誤，在軟21的預期收益表中，我把它當作一張A和一張5。實際上應該是1.5，因為它是黑傑克。所以我把這個1.5複製貼到上面，這樣預期收益就變成了4.02%。但是，一旦你解決了沒有莊家黑傑克的問題，那麼莊家拿到黑傑克的機率是多少呢？那是兩次，13 次中有四次，13 次中有一次，兩次是因為十和 A 可以是任意順序。
所以也存在莊家拿到黑傑克贏錢的可能性。這個機率等於莊家拿到黑傑克的機率乘以玩家沒有黑傑克的機率。我們要乘以-1，因為玩家在這種情況下輸了。也存在莊家拿到黑傑克平手但最終平手的可能性。所以這不是……所以我們需要加減零，所以不用考慮這個問題。那麼總計是多少呢？我們稱之為「無莊家黑傑克」。只需將這兩個單元格相加，答案就是-48.5%。就是這樣。這是我對無限副牌的黑傑克遊戲的預期回報，莊家拿到軟17點停牌，允許分牌後加倍，只允許分牌一次。允許投降，不允許再次分牌A。如果你查看這些規則，但在八副牌的遊戲中，你會得到0.43%。 0.43 和 0.485 之間的差異源自於無限牌堆的假設。所以，這就是答案。 21 點的莊家優勢假設無限牌堆，同樣是從零開始。
謝謝您，希望您喜歡它。