TED-Ed 的青蛙謎語答案是錯的
TED-Ed 是一個非常好的 YouTube 頻道。我喜歡它的一點是他們經常解答數學和邏輯難題。然而，在這篇簡報中，我批評了他們「青蛙謎語」的錯誤答案。
在繼續之前，我建議您觀看以下連結的影片：
如果您沒有觀看視頻，以下是提供的資訊：
- 你被困在一片巨大的雨林裡，吃了一朵有毒的蘑菇。
- 為了挽救你的生命，你需要某種青蛙排出的解藥。
- 不幸的是，只有該物種的雌性才能產生解毒劑。
- 雄性和雌性的數量相等，且外觀相同。
- 雄性的叫聲很獨特。
- 在左邊，你發現樹樁上有一隻青蛙。
- 在你到達樹樁上的青蛙之前，你聽到對面空地上傳來一聲嘎嘎叫。
- 在空地上，你看到兩隻青蛙，但你不知道哪一隻發出了聲音。
- 你感覺自己失去了意識，只能朝一個方向前進。
- 所有的青蛙都很溫順，如果有人靠近，它們很容易被舔。
問題是你該走哪條路？換句話說，每個方向的生存機率是多少？
這個謎題顯然是對經典的「男孩女孩謎題」的改寫。我們先把青蛙謎題放在一邊，認真地問「男孩女孩謎題」。在這個謎題中，我們得到了：
- 男孩和女孩的數量相等，並且獨立於任何兄弟姐妹（換句話說，我們可以忽略同卵雙胞胎）。
- 有人問一位有兩個孩子的婦女：「你至少有一個男孩嗎？」她回答「是的」。」
問題是她也生一個女孩的機率是多少？
這個問題經常被錯誤地回答為“1/2”。其論點是，「另一個孩子」生男孩或生女孩的機率各佔一半。謬誤在於，根本不存在「另一個孩子」。
正確的解題方法是運用貝葉斯條件機率定理。一般來說，該定理指出，給定資訊 B，語句 A 為真的機率等於兩者均為真的機率除以 B 為真的機率。其表達式為：
Pr(A | B) = Pr(A 和 B) / Pr(B)。
在男孩女孩謎題中：
A = 母親有一個女孩
B = 至少一個男孩
這可以解決為 Pr(男孩和女孩) / Pr(至少一個男孩)。
一般來說，對於二胎家庭來說，機率是：
男孩和女孩=50%
男孩和男孩=25%
女孩和女孩=25%
那麼男孩女孩謎題的答案就是 50%/(50% + 25%) = 50%/75% = 2/3。
解釋 2/3 機率的另一種常見方法是使用下表。
| 兒童1 | 兒童 2 | |
| 男性 | 女性 | |
| 男性 | 不 | 是的 |
| 女性 | 是的 | |
雌性/雌性細胞被塗黑，因為這是不可能的。 「是」表示至少有一隻雌性。你可以看到，在三種可能性中，有三分之二包含雌性。因此，至少有一個雌性的機率是2/3。
現在我們回到青蛙謎語。根據影片中答案的推導，他們顯然利用了雄蛙呱呱叫的部分，得出了空地上至少有一隻青蛙是雄蛙的結論。然而，他們表示，答案部分，也就是呱呱叫的部分，所導致的答案並非2/3。
為了得到正確的答案，我們需要知道某隻雄蛙被聽到呱呱叫的機率。為了方便討論，我們假設這個機率是10%。此外，假設你聽到空地傳來呱呱叫聲，你根本不知道是一隻還是兩隻雄蛙發出的。
我們先來看看原木上的青蛙是雌性的機率。此機率的表達式為：
Pr(雌性 | 無嘶鳴) =
Pr(雌性且不叫)/Pr(不叫) =
Pr(雌性且不叫)/(Pr(雌性且不叫) + Pr(雌性且不叫)) =
(0.5 * 1)/(0.5 * 1 + 0.5 * 0.9) = 0.5/(0.5 + 0.45) = 0.5/0.95 = 10/19 =~ 52.63%。
現在，我們先來看看空地上出現女性的機率。此機率的表達式為：
Pr(雌性 | 嘎嘎叫聲) =
6; 字體系列：'Open Sans'，sans-serif；顏色：#313131 !important; ">Pr(雌性和呱呱叫)/Pr(呱呱叫) =Pr(雌性和呱呱叫)/(Pr(雌性和呱呱叫) =Pr(雌性和呱呱（呱（呱(P.讓我們分別看一下每個單獨的機率：
Pr(雌性和呱呱叫)：必須有一隻雌蛙和一隻呱呱叫的雄蛙。其機率為 2 * 0.5 * 0.5 * 0.1 = 1/20 = 0.05。之所以選擇 2，是因為有兩種方法可以判斷哪一隻青蛙是雌性蛙。
Pr(雌性和呱呱叫的雄鳥) = 與上述相同，因為呱呱叫聲只能來自雄鳥。
Pr(不叫的雄性和叫的雄性) = 2 * 0.5 * 0.5 * 0.9 * 0.1 = 0.045。之所以選擇 2，是因為有兩種方法可以選擇叫的雄性。
Pr（兩隻呱呱叫的雄性）= 0.5 * 0.5 * 0.1 * 0.1 = 0.0025
空地上出現女性的總體機率為 0.05 / (0.05 + 0.045 + 0.0025) = 0.05/0.0975 = 20/39 =~ 51.28% 。
總而言之，兩種方式生存的機率是：
舔木頭上的青蛙=52.63%
舔空地上的兩隻青蛙=51.28%。
因此，你應該舔木頭上的青蛙。
讓我們來看看一般情況，你聽到特定雄性呱呱叫聲的機率是 c。存活的機率是：
舔木頭上的青蛙 = 1/(2-c)
舔空地上的兩隻青蛙 = 2/(4-c)
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">對於任何 c>0 的值，舔原木上的青蛙的幾率都會增大。我們知道 c>0，因為我們聽到了青蛙的叫聲。因此，你應該舔木頭上的青蛙！