前 n 個整數總和的證明
本週我將證明一個比較簡單的等式：1+2+3+…+n = n(n+1)/2。我會用兩種非常直觀的方式來展示它。這是我目前為止最簡單的證明。不過，在此之前，我先帶給大家我每週的例行邏輯謎題。
邏輯謎題
愛麗絲、鮑伯和科爾發表了以下聲明：
- • 愛麗絲：鮑伯是個騙子。
- •鮑伯：科爾是個騙子。
- • 科爾：愛麗絲和鮑伯都是騙子。
這三個人要不是總是說真話，就是總是說謊。他們都知道另外兩個人是否說真話。那麼，誰在說真話呢？
答案和解決方案請見簡報最後。
前 n 個整數總和的證明
每個人都應該知道，前n個整數和是n(n+1)/2。換句話說，1+2+3+…+n = n(n+1)/2。我將給出兩個簡單的證明來解釋為什麼這是正確的。
方法一
很容易看出，數列的平均數是 (n+1)/2。數列的項數為 n。和等於項數與平均數的乘積 = n × (n+1)/2 = n(n+1)/2。
同樣的方法也適用於求任意起始數和結束數的和。假設起始數為 a，結束數為 b，則平均值為 (a+b)/2，項數為 (a-b+1)。因此，數列中所有數字總和為 (a-b+1) × (a+b)/2。
方法二
下一個方法用圖示比較容易解釋。請看下圖，其中藍色方塊代表整數 1 到 5。
接下來，複製該部分，並將其放置在原件旁邊，如下所示，形成一個矩形。
注意上圖矩形的邊長是 5 × 6。一般情況下，如果將 1 到 n 的整數相加，則矩形的邊長是 n × (n+1)。然後，由於我們只要求其中一塊區域的面積，所以需要將該面積除以 2。因此，這塊區域的面積是 n(n+1)/2。
邏輯謎題解答
這三個人都有兩種可能的狀態：說真話或說謊。這樣就有2³ = 8 種可能性。我把所有這些可能性都列在下表中。
| 設想 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 愛麗絲 | T | T | T | T | F | F | F | F |
| 鮑伯 | T | T | F | F | T | T | F | F |
| 油菜 | T | F | T | F | T | F | T | F |
注意，鮑伯和科爾互相指責對方說謊。這只有在他們之中一人說真話而另一人說謊的情況下才有可能。因此，我們可以排除鮑伯和科爾都說真話的四種情況。剩下的情況是第2、3、6和7種。讓我們逐一分析。
在情境二中，已知愛麗絲說的是真話。她的真話意味著鮑伯是說謊者。然而，鮑伯在這個情景中也是說真話的，這就導致了矛盾。因此，情景二不成立。
在情境3中，已知愛麗絲是誠實的。她說鮑伯是騙子，這在情境3的假設下是正確的。然而，科爾也被列為誠實的人，但他卻說愛麗絲在說謊。愛麗絲不可能同時又誠實又說謊，所以情境3不成立。
在情境7中，已知愛麗絲在說謊。她說鮑伯是個騙子，這沒錯。然而，這樣一來，愛麗絲就成了說真話的人。愛麗絲不可能既說真話又說謊，所以情境7不成立。
這樣就只剩下第六種情況了。我們來驗證一下。如果愛麗絲說謊，那麼鮑伯就是說真話的。如果鮑伯說真話，那麼愛麗絲、鮑伯或他們兩個就都是說真話的。鮑伯說真話，所以科爾的說法是假的。因此，這個假設成立。鮑伯是唯一說真話的人。