兩個信封悖論－2019年9月19日
我喜歡好的悖論，信封悖論就是我最喜歡的悖論之一。它有很多種表述方式。我喜歡遊戲節目，所以更喜歡用這種形式來表達。話雖如此，悖論如下：
你在參加一個遊戲節目，主持人給你兩個密封的信封，讓你選一個，你照做了。主持人沒有打開信封，而是解釋說，一個信封裡的錢是另一個信封的兩倍。然後，他讓你選擇換另一個信封。
在考慮是否要換信封時，你推論另一個信封裡的錢是你選擇的那個信封的一半或兩倍。你選擇較低或較高信封的機率為50%。設x是你選擇的信封裡的金額。你計算出另一個信封的期望值是x的一半和x的兩倍的平均值。用更數學的語言來說，另一個信封的期望值等於(1/2)*2x + (1/2)*(x/2) = x + x/4 = 1.25 x。
這似乎讓換信封看起來是個不錯的選擇。然而，如果有機會，你也可以用同樣的道理換回來。如果允許無限次數換信封，你就會無限次地來回切換。顯然，你在這個過程中什麼也沒得到。所以，問題是，另一個信封的期望值是你選擇的信封的1.25倍這個論點的漏洞在哪裡？
這個問題沒有簡單的答案。高級數學期刊上已經有很多長篇文章探討過這個問題。我個人也曾與其他同行數學家就此爭論了好幾個小時。大家都同意1.25倍的論證是有缺陷的，但沒有人知道如何解釋為什麼它有缺陷，尤其是用簡單易懂的語言。
我認為，解釋預期值論證缺陷最簡單的方法是，將2 和 0.5 乘數應用於第一個信封中相同的 x 值。首先，這表示另一個信封中的金額要么是2x ，要么是 0.5x 。 2x與 0.5x 的比值是 4 。問題本身表明，較大的金額是較小金額的兩倍，而不是四倍。所以，這不可能是正確的。
儘管如此，這個論點讓我並不滿意。它或許可以推翻預期值論證，但預期值論證錯在哪裡？我更喜歡這樣解釋：預期值公式之所以不起作用，是因為它假設 x 是固定值。它不是，而是隨機的。乘數與 x 的值 100% 相關。這導致預期值論證站不住腳。
思考這個問題更合理的方法是考慮轉換過程中獲得或損失的金額。這個金額就是兩個信封之間的差額。例如，如果兩個信封分別包含 y 和 2y，那麼轉換將導致 y 的增加或減少。換句話說，轉換後的收益為*y + 0.5*-y = 0 。
不過，我對這個解釋並不完全滿意。我可以安心入睡，但我不知道外行人是否能理解我的論點。他很可能不會。
如果這篇簡報不夠精彩，我深感抱歉。如果您對這個主題感興趣，可以看看我在「維加斯巫師」論壇上偶爾討論的內容。以下是兩個主要討論帖：
com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">MATHPROBLEMS.INFO 上的兩個信封問題