證明 2 的平方根是無理數
本週我們將證明 2 的平方根是無理數。不過，在此之前，我先帶給大家本週的邏輯謎題。
邏輯謎題
一位阿拉伯酋長讓他的兩個兒子騎著駱駝比賽，看誰能繼承他的遺產。駱駝跑得慢的獲勝。兄弟倆漫無目的地遊蕩了幾天后，向一位智者尋求指引。得到智者的建議後，他們騎上駱駝，拼命地向城市奔去。智者對他們說了什麼？
答案在簡報底部。
證明 2 的平方根是無理數
我們將使用反證法來證明。這意味著我將證明根號2不是有理數，從而留下它是無理數的另一種可能。
有理數的定義是它可以表示為兩個整數的比。我們稱這兩個整數為 p 和 q。這意味著無理數不能以這種方式表示。為了方便我們用反證法證明，我們暫且假設 p/q 的平方根可以表示為p/ q ，其中分數已化簡到最簡形式。因此，我們有：
√2 = p q2 = p 2 q 2 （兩邊平方）
6; font-family: 'Open Sans', sans-serif; color: #313131 !important; ">2q 2 = p 2此時，p 必定是偶數，因為如果一個數的平方是偶數，那麼這個數本身也是偶數。同樣地，奇數的平方也是奇數。因此，我們可以說 p=2k，其中 k 為某個整數。
2q² = (2k) ²
2q² = 4k²
q 2 = 2k 2
依照同樣的邏輯，q 也必須是偶數。所以，p 和 q 都是偶數。然而，我們一開始假設 p 和 q 都化簡到了最簡形式。但是，如果它們都是偶數，那麼它們都能被 2 整除。
因此，最初的假設√2 = p q已被證明是錯誤的。因此，備擇假設√2 是無理數的必然成立。
邏輯謎題解答
智者說：“換駱駝，趕往遠方的城市。”