2025年瘋狂三月
邏輯謎題
在進入本週瘋狂三月的統計主題之前，讓我們先來做一下每週例行的邏輯謎題。就在這裡。
三位玩家進行遊戲。在玩家看不見的情況下，擲出三枚硬幣，每位玩家一枚。根據擲出的硬幣，該玩家會被蒙住眼睛，並被給予一頂黑色或白色的帽子。之後，摘下眼罩，每位玩家可以看到其他兩位玩家的帽子，但看不到自己的帽子。
然後，每位玩家都會得到一張不記名投票，記錄自己帽子的顏色。選項包括黑色、白色和“通過”。實驗成功的關鍵在於，所有投下白色或黑色的玩家都必須正確。然而，如果三位玩家都投了“通過”，則實驗失敗。
玩家需要一些時間來制定策略。他們可以採取什麼策略才能獲得 75% 的成功率？
瘋狂三月更新
我以前經常在瘋狂三月的投注中投入巨資。一個典型的例子就是預測太平洋十二校聯盟球隊總勝場數的盤口。為了進行這樣的讓分投注，了解特定種子球隊的預期勝場數是很有幫助的。
有些投注在第一輪就已結算。例如，13號種子或以上的球隊能否贏得比賽？以下是今年封面上的一些例子。
下表顯示了特定種子隊以及該種子隊四支球隊中任意一支在第一輪獲勝的機率。該表格基於 1985 年至 2025 年 NCAA 錦標賽的 40 年歷史。
| 種子 | 特定隊伍獲勝 | 任何球隊贏得第一輪 |
|---|---|---|
| 1 | 98.75% | 100.00% |
| 2 | 92.50% | 100.00% |
| 3 | 85.63% | 99.96% |
| 4 | 79.38% | 99.82% |
| 5 | 64.38% | 98.39% |
| 6 | 61.25% | 97.75% |
| 7 | 61.25% | 97.75% |
| 8 | 50.00% | 93.75% |
| 9 | 50.00% | 93.75% |
| 10 | 38.75% | 85.93% |
| 11 | 38.75% | 85.93% |
| 12 | 35.63% | 82.83% |
| 十三 | 20.63% | 60.31% |
| 14 | 14.38% | 46.25% |
| 15 | 7.50% | 26.79% |
| 16 | 1.25% | 4.91% |
今年，首輪晉級的平均種子排名為5.34。總錦標賽平均排名為5.84。
第二輪，晉級甜蜜十六強的平均種子排名為3.44。錦標賽平均排名4.52。晉級兩輪的最低種子排名是10。換句話說，今年的弱隊在前兩輪表現不佳。
第三輪，晉級八強的平均種子排名為1.625。錦標賽平均排名3.30。晉級三輪比賽的最低排名種子排名為3，其中僅有1場。這追平了錦標賽最低排名種子排名3的紀錄。這種情況之前曾發生過兩次，分別在2007年和2009年。 1.625的平均種子排名創下了錦標賽歷史上的新低點。
在最終四強賽中，四支球隊全數排名第一。這種情況在錦標賽歷史上只發生過一次，那是在2008年。現在有一個很受歡迎的投注，賭博究竟有多少支一號種子球隊能進入最終四強。以下是今年Covers的投注。
下表顯示了 40 年的錦標賽歷史中有多少頭號種子球隊進入了四強。
| #1 種子 | 數數 | 可能性 |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 5.00% |
| 3 | 4 | 10.00% |
| 2 | 15 | 37.50% |
| 1 | 16 | 40.00% |
| 0 | 3 | 7.50% |
| 全部的 | 40 | 100.00% |
任何特定的頭號種子進入四強的機率為 41.25%。
毋庸置疑，由於四強賽中的所有四支球隊都是一號種子，因此兩支一號種子球隊將進入冠軍賽並贏得冠軍。
另一個投注選項是冠軍爭奪戰的種子隊。以下是今年的「封面」投注。
下表顯示了每個種子隊贏得冠軍賽的次數。
| 獲勝種子 | 數數 | 可能性 |
|---|---|---|
| 1 | 二十六 | 65.00% |
| 2 | 5 | 12.50% |
| 3 | 4 | 10.00% |
| 4 | 2 | 5.00% |
| 5 | 0 | 0.00% |
| 6 | 1 | 2.50% |
| 7 | 1 | 2.50% |
| 8 | 1 | 2.50% |
| 9至16歲 | 0 | 0.00% |
| 全部的 | 40 | 100.00% |
回到種子預期勝利，這裡有一個更新的表格，包括本賽季的數據。
| 種子 | 平均勝場數 |
|---|---|
| 1 | 3.34 |
| 2 | 2.33 |
| 3 | 1.84 |
| 4 | 1.56 |
| 5 | 1.14 |
| 6 | 1.06 |
| 7 | 0.89 |
| 8 | 0.73 |
| 9 | 0.59 |
| 10 | 0.61 |
| 11 | 0.64 |
| 12 | 0.51 |
| 十三 | 0.24 |
| 14 | 0.16 |
| 15 | 0.11 |
| 16 | 0.01 |
我常被問到的一個問題是，完美分組的機率是多少。假設我的策略是每次都選擇種子排名較高的比賽（或排名較低的比賽），除了在1對1的情況下隨機選擇外，我的更新機率（包括本賽季的數據）是287,548,153分之一。
邏輯謎題答案
該策略應如下：
- • 如果您看到兩頂顏色相反的帽子，則通過。
- • 如果您看到兩頂相同顏色的帽子，請選擇相反的顏色。
根據這三種顏色，我們可以預期會發生以下情況：
- • 三黑：所有玩家看到兩個黑色，並投下白色。所有人都會猜錯，因此實驗失敗。
- • 兩黑一白：白棋玩家將看到兩頂黑色帽子，並正確投下白票。兩名黑方玩家將看到兩種顏色各一頂，並投下棄權票。實驗成功。
- • 一黑兩白：黑方玩家將看到兩頂白帽子，並正確投射。兩名白棋玩家將看到兩種顏色的一頂白帽子，並投下棄權票。實驗成功。
- • 三白：所有玩家都會看到兩白，並投下黑票。所有人都會錯，因此實驗失敗。
三個白色或三個黑色的機率是 2*(1/2) ³ = 25%。另一種選擇是兩種顏色以 2:1 的比例分配，機率為 75%。如上所示，如果以 2:1 的比例分配，實驗將會成功。