先走骰子
在玩桌遊時，通常會擲骰子來決定誰先走。例如，有人可能會建議由擲出最高點數的人先走，然後順時針繞著桌子走。然而，這樣做有兩個問題。首先，可能會出現平局，在這種情況下，重新擲骰子會浪費時間。其次，其他位置的位置並不是隨機的。
我的目標是設計一套骰子，隨機化2到4名以上玩家的出場順序，每個順序的機率相同。我傾向於使用五個柏拉圖立體，但也可以靈活運用。絕對不允許出現平局。只需投一次！
兩人玩的話就比較簡單了。如果點數最小的先出，並且允許投硬幣，那麼硬幣的種類可以簡單如下：
硬幣 1：1.4
硬幣 2：2.3
最終結果取決於 1，無論它落在硬幣 2 上的兩個連續數字之上還是之下。為了將其擴展到柏拉圖立體的規則，我們可以複製其面。例如，對於立方體，我們可以：
魔術方塊 1：1,1,1,3,3,3
魔術方塊 2：2,2,2,2,2,2
如果我們必須有所有不同的數字（我喜歡），我們可以這樣做：
6; 字體系列：'Open Sans'，sans-serif；顏色：#313131 !important; ">立方體 1：1,2,3,10,11,12魔術方塊 2：4,5,6,7,8,9
當三人參與時，遊戲就開始變得困難了。我承認，我嘗試過結合代數和在 Excel 中反覆試驗，但失敗了。於是，我稍微作弊，編寫了一個模擬程序，將三個骰子的面隨機編號為 1 到 18，直到我找到答案。程序確實在幾分鐘內找到了答案，如下所示：
魔術方塊 1：3,4,9,10,13,18
魔術方塊 2：2,5,7,12,15,16
魔術方塊 3：1,6,8,11,14,17
三顆骰子共有6³ = 216 種投擲方式。三位玩家有六種可能的順序。相信我，在 216 種可能的結果中，每種順序都出現了 216/6 = 36 次。
我已經為這項任務編寫了一個模擬器，我把它擴展到四人的情況。它運行了好幾個小時，嘗試了數萬億種組合，但都沒有成功。於是，我又回過頭來用數學方法解決這個問題。我的想法是，用以下方法擴展三骰子的解決方案：
| 立方體 1 | 4 | 5 | 10 | 15 | 18 | 23 |
| 立方體 2 | 3 | 6 | 8 | 17 | 20 | 21 |
| 立方體 3 | 2 | 7 | 9 | 16 | 19 | 22 |
| 立方體 4 | 1 | 11 | 12 | 十三 | 14 | 24 |
我的想法是，擲出 4 號骰子的玩家應該有四分之一的機會先走或最後走。讓我們來計算一下先走的機率。如果他擲出 1，那麼無論其他三個骰子是什麼，他都會先走，因為 1 是最小的數字。這個機率顯然是 1/6。如果 4 號骰子的點數是 11 到 14，那麼其他三個玩家需要擲出 15 或更大，才能讓 4 號骰子成為最小的骰子。他們每個人都有 3 個大於 14 的數字。因此，4 號骰子變成最小骰子的機率是 (1/4) + (4/6)*(3/6)^3 = 1/6。這樣一來，每個玩家都有四分之一的機會先走。
然而，如果 4 號魔術方塊的點數最低，其他三名玩家的點數順序就並非均等。例如，如果 1 號到 3 號魔術方塊的點數均為 15 或以上，那麼 1 號魔術方塊成為最低點的機率應該是 1/3，但實際上是機率 (1 號魔術方塊 = 15) + 機率 (1 號魔術方塊 = 18) * 機率 (2 號魔術方塊 = 20 或 21) * 機率 (3 12 (2/3) * (2/3) = 13/27。
因此，我想到將 1 到 3 號立方體變成十二面體（12 面骰），在另外六個立方體上複製原來的六個面，但增加 24 個面，如下所示：
| 立方體 1 | 5 | 6 | 11 | 12 | 15 | 20 | 31 | 三十二 | 三十七 | 三十八 | 41 | 46 |
| 立方體 2 | 4 | 7 | 9 | 14 | 17 | 18 | 三十 | 33 | 三十五 | 40 | 43 | 四十四 |
| 立方體 3 | 3 | 8 | 10 | 十三 | 16 | 19 | 二十九 | 三十四 | 三十六 | 三十九 | 四十二 | 45 |
第四個骰子，我輸入了兩個最小數字和兩個最大數字：1、2、47 和 48。然後輸入了 20 和 29 之間空隙中的八個數字。這樣，第四個骰子成為第一個或最後一個的機率就等於 (2/12) + (8/12)*(6/12)^3 = ¼ 。如果第四個骰子擲出 10 到 39 的點數，就回到三骰子方案，這已被證明是可行的。因此，四骰子方案如下：
| 模具 1 | 5 | 6 | 11 | 12 | 15 | 20 | 31 | 三十二 | 三十七 | 三十八 | 41 | 46 |
| 模具 2 | 4 | 7 | 9 | 14 | 17 | 18 | 三十 | 33 | 三十五 | 40 | 43 | 四十四 |
| 模具 3 | 3 | 8 | 10 | 十三 | 16 | 19 | 二十九 | 三十四 | 三十六 | 三十九 | 四十二 | 45 |
| 模具 4 | 1 | 2 | 21 | 22 | 23 | 24 | 二十五 | 二十六 | 二十七 | 二十八 | 四十七 | 四十八 |
您必須相信我，擲四個骰子有 12^4 = 1,296 種可能的方式，並且有 4!=24 種可能的順序，每種順序有 1296/24 = 54 種組合。
我不能就此止步，轉而討論五人遊戲的情況。用同樣的邏輯來處理四人遊戲的情況，我能想到的最好的方案是使用 840 面骰子。我沒有在這份簡報裡加五頁紙來寫一長串數字，而是在我在 Wizard of Vegas 論壇的“Go First Dice”主題帖中發布了骰子的具體面數。五個 840 面骰子的擲法有 3,485,099,520,000 種，所以我透過隨機模擬檢查了結果，結果令人滿意，骰子達到了預期的效果。
讓我陷入這個困境的影片是Numberphile （我最喜歡的頻道之一！）上的《Go First Dice》。我必須承認，James Grime 講到四骰子的例子和我一樣。不過，我希望我能為討論貢獻一些內容。
本通訊中出現的所有影像均使用Copilot建立。